Vlastnosti reciproké mříže
Úloha číslo: 2279
Ukažte, že reciproká mříž má následující vlastnosti:
a) \(\overrightarrow{a_i} \cdot \overrightarrow{b_j} = 2\pi\) pokud \(i=j\) a \(\overrightarrow{a_i} \cdot \overrightarrow{b_j} = 0\) pokud \(i\neq j,\)
b) \(V_r=\frac{(2\pi)^3}{V_p}\), kde \(V_r\) je objem primitivní buňky reciproké mříže a \(V_p\) je objem primitivní buňky přímé mříže.
Nápověda k části b)
Při řešení lze použít následující užitečné vektorové identity:
\[(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{d})=(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c})(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d})-(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d})(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}).\]Řešení části a)
Zapišme si obecně vztah pro výpočet translačního vektoru reciproké mříže:
\[\overrightarrow{b_i}=\frac{2\pi}{V}(\overrightarrow{a_j} \times \overrightarrow{a_k}),\]kde \((i,j,k)\) patří do množiny obsahující prvky \((1{,}2,3)\), \((2{,}3,1)\) a \((3{,}1,2)\). Pokud tento vektor vynásobíme skalárně s \(\overrightarrow{a_i}\), dostáváme
\[\overrightarrow{a_i} \cdot \overrightarrow{b_i}=\frac{2\pi}{V}\overrightarrow{a_i}\cdot (\overrightarrow{a_j} \times \overrightarrow{a_k})=\frac{2\pi}{V}V=2\pi.\]Pokud budeme skalárně násobit s \(\overrightarrow{a_j}\) nebo \(\overrightarrow{a_k}\), dostáváme na pravé straně smíšený součin \(\overrightarrow{a_j}\cdot (\overrightarrow{a_j} \times \overrightarrow{a_k})\) nebo \(\overrightarrow{a_k}\cdot (\overrightarrow{a_j} \times \overrightarrow{a_k})\). Z vlastností vektorového součinu plyne, že vektor \(\overrightarrow{a_j} \times \overrightarrow{a_k}\) je kolmý jak na vektor \(\overrightarrow{a_j}\), tak na vektor \(\overrightarrow{a_k}\). Při skalárním násobení vektorem \(\overrightarrow{a_j}\), případně \(\overrightarrow{a_k}\) budeme skalárně násobit dva kolmé vektory. Protože z vlastností skalárního součinu plyne, že skalární součin dvou kolmých vektorů je roven nule, bude platit
\[\overrightarrow{a_j} \cdot \overrightarrow{b_i}=\overrightarrow{a_k} \cdot \overrightarrow{b_i}=0.\]Řešení části b)
Objem primitivní buňky reciproké mříže je možné vyjádřit pomocí translačních vektorů reciproké mříže \(\overrightarrow{b_1}, \overrightarrow{b_2}, \overrightarrow{b_3}\) jako
\[V_r=\overrightarrow{b_1} \cdot (\overrightarrow{b_2} \times \overrightarrow{b_3}).\]Dosaďme do tohoto vztahu za \(\overrightarrow{b_1}\)
\[\overrightarrow{b_1}=\frac{2\pi}{V_p}(\overrightarrow{a_2} \times \overrightarrow{a_3}),\]kde \(V_p\) je objem přímé mříže \(V_p=\overrightarrow{a_1} \cdot (\overrightarrow{a_2} \times \overrightarrow{a_3})\) a \(\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}, \overrightarrow{a_3}\) jsou translační vektory přímé mříže:
\[V_r = \frac{2\pi}{V_p}(\overrightarrow{a_2} \times \overrightarrow{a_3}) \cdot (\overrightarrow{b_2} \times \overrightarrow{b_3}).\]Nakonec tento vztah upravme pomocí vektorové identity
\[(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{d})=(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c})(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d})-(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d})(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c})\]a pomocí vlastností translačních vektorů přímé a reciproké mříže odvozených v části a):
\[V_r=\frac{2\pi}{V_p}(\overrightarrow{a_2} \times \overrightarrow{a_3}) \cdot (\overrightarrow{b_2} \times \overrightarrow{b_3})= \frac{2\pi}{V_p} [(\overrightarrow{a_2} \cdot \overrightarrow{b_2})(\overrightarrow{a_3} \cdot \overrightarrow{b_3})-(\overrightarrow{a_3} \cdot \overrightarrow{b_2})(\overrightarrow{a_2} \cdot \overrightarrow{b_3})]= \frac{2\pi}{V_p} [2\pi \cdot 2\pi - 0]=\frac{(2\pi)^3}{V_p}. \]Poznámka ke konvenci s vektory reciproké mříže
V této sbírce značíme vektory přímé mříže jako \(\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}, \overrightarrow{a_3}\) a vektory reciproké mříže \(\overrightarrow{b_1}, \overrightarrow{b_2}, \overrightarrow{b_3}\). Lze se setkat i s jinými konvencemi, například vektory přímé mříže mohou být značeny \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) a vektory reciproké mříže se mohou označovat \(\overrightarrow{a^*}, \overrightarrow{b^*}, \overrightarrow{c^*}\).
Ve sbírce používáme konvenci pro definici vektorů reciproké mříže
\[\overrightarrow{b_1}=\frac{2\pi}{V}(\overrightarrow{a_2} \times \overrightarrow{a_3}),\] \[\overrightarrow{b_2}=\frac{2\pi}{V}(\overrightarrow{a_3} \times \overrightarrow{a_1}),\] \[\overrightarrow{b_3}=\frac{2\pi}{V}(\overrightarrow{a_1} \times \overrightarrow{a_2}).\]Pro vektory přímé a reciproké mříže poté skutečně platí, že \(\overrightarrow{a_i} \cdot \overrightarrow{b_j} = 2\pi\) pokud \(i=j\).
V případě, že bychom použili druhou možnou konvenci pro definici vektorů reciproké mříže a tyto vektory by byly definovány pomocí vztahů
\[\overrightarrow{b_1}=\frac{1}{V}(\overrightarrow{a_2} \times \overrightarrow{a_3}),\] \[\overrightarrow{b_2}=\frac{1}{V}(\overrightarrow{a_3} \times \overrightarrow{a_1}),\] \[\overrightarrow{b_3}=\frac{1}{V}(\overrightarrow{a_1} \times \overrightarrow{a_2}),\]pak by platilo, že \(\overrightarrow{a_i} \cdot \overrightarrow{b_j} = 1\) pokud \(i=j\).
