Práce, tlak a teplo vzduchu při izotermické expanzi

Úloha číslo: 436

Ideální plyn o objemu 1 m3 a počátečním tlaku 200 kPa izotermicky expanduje na dvojnásobný objem. Určete práci, kterou plyn při expanzi vykoná, výsledný tlak plynu a množství přivedeného tepla.

  • Zápis

    V1 = 1 m3 počáteční objem plynu
    p1 = 200 kPa = 2·105 Pa počáteční tlak plynu
    V2 = 2V1 objem plynu po expanzi
    W = ? práce vykonaná plynem
    p2 = ? výsledný tlak
    Q = ? přivedené teplo
  • Nápověda 1 – práce W

    Rozmyslete si, jak spočítat práci vzduchu, pokud je tlak funkcí objemu.

  • Nápověda 2 – vyjádření tlaku p(V)

    K vyjádření tlaku p jako funkci objemu V použijte tzv. Boyle-Mariottův zákon.

  • Nápověda 3 – výsledný tlak

    K určení výsledného tlaku vzduchu použijte rovněž Boyle-Mariottův zákon.

  • Nápověda 4 – přijaté teplo

    Při izotermickém ději se nemění vnitřní energie U plynu, a proto se všechno přijaté teplo Q změní v práci W, kterou plyn vykoná.

  • Rozbor

    Pro výpočet práce vzduchu musíme použít integrální počet, protože tlak je funkcí objemu.

    Tlak vzduchu vyjádříme z tzv. Boyle-Mariottova zákona, který platí pro izotermické děje, a získanou funkci zintegrujeme podle objemu. Jako meze integrálu použijeme počáteční a koncový objem vzduchu.

    Z Boyle-Mariottova zákona rovněž vyjdeme při výpočtu výsledného tlaku vzduchu.

    Při izotermickém ději je přijaté teplo rovno práci vykonané plynem (vnitřní energie se nemění).

  • Řešení

    Pro velikost práce W vykonané vzduchem při izotermické expanzi platí obecný vztah

    \[W = \int\limits_{V_1}^{V_2}p(V)\, \text{d}V,\]

    kde p je tlak, V1 počáteční a V2 koncový objem vzduchu.

    Proto nyní musíme vyjádřit tlak p jako funkci objemu V. K tomu využijeme tzv. Boyle-Mariottův zákon, podle něhož platí:

    \[p_1V_1 = pV. \]

    Odtud ihned vyjádříme tlak p:

    \[p = \frac{p_1V_1}{V}.\]

    Nyní můžeme přistoupit k samotné integraci

    \[W = \int\limits_{V_1}^{V_2}p\, \text{d}V = \int\limits_{V_1}^{2V_1}\frac{p_1V_1}{V}\, \text{d}V =\]

    vytkneme konstanty před integrál

    \[=p_1V_1 \int\limits_{V_1}^{2V_1}\frac{1}{V}\, \text{d}V = \]

    zintegrujeme a dosadíme meze

    \[=p_1V_1[\ln\,V]_{V_1}^{2V_1} = p_1V_1\,\ln \frac{2V_1}{V_1}= p_1V_1\,\ln\,2.\]

    Výsledný tlak p2 vzduchu určíme z již zmíněného Boyle-Mariottova zákona

    \[p_1V_1=p_2V_2.\]

    Odtud výsledný tlak rovnou vyjádříme

    \[p_2=\frac{p_1V_1}{V_2}=\frac{p_1V_1}{2V_1}= \frac{p_1}{2}.\]

    Při izotermickém ději se všechno přijaté teplo Q změní v práci W, kterou plyn vykoná (vnitřní energie U se nemění). Platí tedy

    \[Q=W.\]
  • Číselné dosazení

    \[W=p_1V_1\,\ln\,2= 2\cdot{ 10^5}\cdot 1\cdot \ln\,2\,\mathrm{J}\dot{=} 138\,629\,\mathrm{J}\dot{=} 140\,\mathrm{kJ}\] \[p_2=\frac{p_1}{2}=\frac{2\cdot{ 10^5}}{2}\,\mathrm{Pa}= 10^5\,\mathrm{Pa}=100\,\mathrm{kPa}\] \[Q=W\dot{=}140\,\mathrm{kJ}\]
  • Odpověď

    Při izotermické expanzi vzduch vykonal práci přibližně 140 kJ, bylo mu dodáno teplo také 140 kJ a jeho výsledný tlak byl 100 kPa.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze