Sbírka řešených úloh

Práce, tlak a teplo vzduchu při izotermické expanzi

Úloha číslo: 436

• Zápis

  V1 = 1 m3	počáteční objem plynu
  p1 = 200 kPa = 2·105 Pa	počáteční tlak plynu
  V2 = 2V1	objem plynu po expanzi
  W = ?	práce vykonaná plynem
  p2 = ?	výsledný tlak
  Q = ?	přivedené teplo

• Nápověda 1 – práce W

  Rozmyslete si, jak spočítat práci vzduchu, pokud je tlak funkcí objemu.

• Řešení nápovědy

  Protože tlak p v této úloze není konstantní, ale je funkcí objemu, tj. p(V), musíme pro výpočet práce použít integrální počet, a tudíž pro vykonanou práci platí vztah

  \[W = \int\limits_{V_1}^{V_2}p(V)\, \text{d}V,\]

  kde V₁ je počáteční a V₂ koncový objem vzduchu.

• Nápověda 2 – vyjádření tlaku p(V)

  K vyjádření tlaku p jako funkci objemu V použijte tzv. Boyle-Mariottův zákon.

• Boyle-Mariottův zákon

  Podle Boyle-Mariottova zákona platí:

  \[pV=konst,\]

  kde p je tlak a V objem plynu při izotermickém ději.

• Nápověda 3 – výsledný tlak

  K určení výsledného tlaku vzduchu použijte rovněž Boyle-Mariottův zákon.

• Nápověda 4 – přijaté teplo

  Při izotermickém ději se nemění vnitřní energie U plynu, a proto se všechno přijaté teplo Q změní v práci W, kterou plyn vykoná.

• Rozbor

  Pro výpočet práce vzduchu musíme použít integrální počet, protože tlak je funkcí objemu.

  Tlak vzduchu vyjádříme z tzv. Boyle-Mariottova zákona, který platí pro izotermické děje, a získanou funkci zintegrujeme podle objemu. Jako meze integrálu použijeme počáteční a koncový objem vzduchu.

  Z Boyle-Mariottova zákona rovněž vyjdeme při výpočtu výsledného tlaku vzduchu.

  Při izotermickém ději je přijaté teplo rovno práci vykonané plynem (vnitřní energie se nemění).

• Řešení

  Pro velikost práce W vykonané vzduchem při izotermické expanzi platí obecný vztah

  \[W = \int\limits_{V_1}^{V_2}p(V)\, \text{d}V,\]

  kde p je tlak, V₁ počáteční a V₂ koncový objem vzduchu.

  Proto nyní musíme vyjádřit tlak p jako funkci objemu V. K tomu využijeme tzv. Boyle-Mariottův zákon, podle něhož platí:

  \[p_1V_1 = pV. \]

  Odtud ihned vyjádříme tlak p:

  \[p = \frac{p_1V_1}{V}.\]

  Nyní můžeme přistoupit k samotné integraci

  \[W = \int\limits_{V_1}^{V_2}p\, \text{d}V = \int\limits_{V_1}^{2V_1}\frac{p_1V_1}{V}\, \text{d}V =\]

  vytkneme konstanty před integrál

  \[=p_1V_1 \int\limits_{V_1}^{2V_1}\frac{1}{V}\, \text{d}V = \]

  zintegrujeme a dosadíme meze

  \[=p_1V_1[\ln\,V]_{V_1}^{2V_1} = p_1V_1\,\ln \frac{2V_1}{V_1}= p_1V_1\,\ln\,2.\]

  Výsledný tlak p₂ vzduchu určíme z již zmíněného Boyle-Mariottova zákona

  \[p_1V_1=p_2V_2.\]

  Odtud výsledný tlak rovnou vyjádříme

  \[p_2=\frac{p_1V_1}{V_2}=\frac{p_1V_1}{2V_1}= \frac{p_1}{2}.\]

  Při izotermickém ději se všechno přijaté teplo Q změní v práci W, kterou plyn vykoná (vnitřní energie U se nemění). Platí tedy

  \[Q=W.\]

• Číselné dosazení

  \[W=p_1V_1\,\ln\,2= 2\cdot{ 10^5}\cdot 1\cdot \ln\,2\,\mathrm{J}\dot{=} 138\,629\,\mathrm{J}\dot{=} 140\,\mathrm{kJ}\] \[p_2=\frac{p_1}{2}=\frac{2\cdot{ 10^5}}{2}\,\mathrm{Pa}= 10^5\,\mathrm{Pa}=100\,\mathrm{kPa}\] \[Q=W\dot{=}140\,\mathrm{kJ}\]

• Odpověď

  Při izotermické expanzi vzduch vykonal práci přibližně 140 kJ, bylo mu dodáno teplo také 140 kJ a jeho výsledný tlak byl 100 kPa.