Ohřev vody ve varné konvici

Úloha číslo: 316

Do varné konvice s výkonem 2000 W jsme nalili vodu o objemu 1,2 l a teplotě 15 °C. Když se voda začala vařit, konvice vypnula.

a) Jak dlouho by trval ohřev v ideálním případě?

b) Ve skutečnosti byl ohřev asi o 30 s delší, co z toho plyne?

  • Zápis

    V = 1,2 l = 1,2·10−3 m3 objem vody
    ρ = 1000 kg m3 hustota vody
    tv = 100 °C teplota varu vody
    t = 15 °C počáteční teplota vody
    P = 2000 W výkon varné konvice
    Δτ = 30 s rozdíl skutečné a předpokládáné doby ohřevu
    τ = ? doba ohřevu vody
    η = ? účinnost varné konvice

    Z tabulek:

    cv = 4180 J kg−1K−1 měrná tepelná kapacita vody
  • Nápověda a)

    Uvědomte si, jaký vztah platí mezi výkonem konvice, dodaným teplem a časem.

  • Rozbor a)

    Vodě musíme dodat teplo, aby se ohřála z počáteční teploty na teplotu varu. Výkon varné konvice nám říká, jaké teplo konvice dodá vodě za 1 s. Ze známého výkonu a potřebného tepla tedy můžeme určit dobu ohřevu.

  • Řešení a)

    Nejprve spočteme teplo, jež musíme vodě dodat, aby začala vřít (musíme ji tedy zahřát na teplotu tv = 100 °C).

    Pro dodané teplo Q platí vztah:

    \[Q=mc_{\mathrm{v}}(t_{\mathrm{v}}-t)=V\rho c_{\mathrm{v}}(t_{\mathrm{v}}-t)\,,\]

    kde m je hmotnost vody, kterou ohříváme z teploty t na teplotu tvcv je měrná tepelná kapacita vody. Hmotnost vody jsme si vajádřili pomocí jejího objemu V a hustoty ρ.

    Dobu τ potřebnou k ohřevu pak získáme jako podíl dodaného tepla Q a výkonu P:

    \[\tau=\frac{Q}{P}=\frac{V \rho c_{\mathrm{v}} (t_{\mathrm{v}}-t)}{P}\,.\]

    Číselné dosazení:

    \[\tau=\frac{V \rho c_{\mathrm{v}} (t_{\mathrm{v}}-t)}{P}=\frac{1{,}2\cdot{10^{-3}}\cdot{1000}\cdot{4180}\cdot{(100-15)}}{2000}\,\mathrm s\dot=213\,\mathrm s\,.\]
  • Nápověda b)

    Uvědomte si, co znamená účinnost spotřebiče a proč je obvykle menší než 100 %?

  • Rozbor b)

    To, že ve skutečnosti trval ohřev déle, svědčí o tom, že účinnost varné konvice je menší než 100 %, neboť se ohřívá také materiál, ze kterého je konvice vyrobená a část tepla uniká do okolí. Důležitou roli hraje také to, že se voda odpařuje a na to odebírá část energie.

    Účinnost lze vypočítat jako podíl energie využité k ohřevu vody a celkové dodané energie. Jak bude odvozeno v oddíle Řešení, rovná se účinnost také podílu předpokládané a skutečné doby ohřevu.

  • Řešení b)

    To, že ve skutečnosti trval ohřev déle, je způsobeno omezenou účinností spotřebiče. Účinnost je definována jako podíl výkonu P a příkonu P0:

    \[\eta =\frac{P}{P_0}\,,\]

    tedy podíl energie, která se spotřebovala na ohřev vody, a energie, kterou spotřebovala varná konvice.

    Energii, která se spotřebovala na ohřátí vody můžeme vyjádřit jako součin příkonu varné konvice P0 a času τ, vypočítaného v úkolu a) (tedy jako předanou energii při 100 % účinnosti varné konvice).

    Energii, kterou konvice spotřebovala ve skutečnosti, vyjádříme jako součin příkonu P0 a skutečného času po který trvalo ohřátí vody τ + Δτ.

    Můžeme tedy psát:

    \[\eta=\frac{P_0\tau}{P_0\left(\tau+\mathrm{\Delta}\tau\right)}\,.\]

    Po vykrácení P0 dostáváme vztah:

    \[\eta =\frac{\tau}{\tau+\mathrm{\Delta}\tau}\,,\]

    do kterého už můžeme dosadit.

    Číselné dosazení:

    \[\eta =\frac{\tau}{\tau+\mathrm{\Delta}\tau}=\frac{213}{213+30}\dot= 0{,}877=87{,}7\%\]
  • Odpověď

    a) Při 100 % účinnosti konvice by měl ohřev vody trvat přibližně 213 s.

    b) Skutečná doba ohřevu je delší díky omezené účinnosti spotřebiče, která je v tomto případě asi 87,7 %.

  • Pro zajímavost

    V této úloze nám vyšla účinnost varné konvice téměř 88 %. Výrobci uvádějí, že účinnost varné konvice může dosahovat až 90 %. Záleží ale na konkrétním typu varné konvice a ve většině případů bude zřejmě účinnost o něco menší.

    Velkou roli pro hodnotu účinnosti při konkrétním ohřevu také hraje to, jestli zahříváme plnou nebo poloprázdnou konvici. Čím je konvice plnější, tím je účinnost ohřevu vody větší.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze