Sbírka řešených úloh

Ohřev vody ve varné konvici

Úloha číslo: 316

• Zápis

  V = 1,2 l = 1,2·10−3 m3	objem vody
  ρ = 1000 kg m3	hustota vody
  tv = 100 °C	teplota varu vody
  t = 15 °C	počáteční teplota vody
  P = 2000 W	výkon varné konvice
  Δτ = 30 s	rozdíl skutečné a předpokládáné doby ohřevu
  τ = ?	doba ohřevu vody
  η = ?	účinnost varné konvice

  Z tabulek:

  cv = 4180 J kg−1K−1

  měrná tepelná kapacita vody

• Nápověda a)

  Uvědomte si, jaký vztah platí mezi výkonem konvice, dodaným teplem a časem.

• Rozbor a)

  Vodě musíme dodat teplo, aby se ohřála z počáteční teploty na teplotu varu. Výkon varné konvice nám říká, jaké teplo dodá konvice vodě za 1 s. Ze známého výkonu a potřebného tepla tedy můžeme určit dobu ohřevu.

• Řešení a)

  Nejprve spočteme teplo, jež musíme vodě dodat, aby začala vřít (musíme ji tedy zahřát na teplotu t_v = 100 °C).

  Pro dodané teplo Q platí vztah:

  $$Q=mc_{\mathrm{v}}(t_{\mathrm{v}}-t)=V\rho c_{\mathrm{v}}(t_{\mathrm{v}}-t)\,,$$

  kde m je hmotnost vody, kterou ohříváme z teploty t na teplotu t_v, a c_v je měrná tepelná kapacita vody. Hmotnost vody jsme si vyjádřili pomocí jejího objemu V a hustoty ρ.

  Dobu τ potřebnou k ohřevu pak získáme jako podíl dodaného tepla Q a výkonu P:

  $$\tau=\frac{Q}{P}=\frac{V \rho c_{\mathrm{v}} (t_{\mathrm{v}}-t)}{P}\,.$$

  Číselné dosazení:

  $$\tau=\frac{V \rho c_{\mathrm{v}} (t_{\mathrm{v}}-t)}{P}=\frac{1{,}2\cdot{10^{-3}}\cdot{1000}\cdot{4180}\cdot{(100-15)}}{2000}\,\mathrm s\dot=213\,\mathrm s\,.$$

• Nápověda b)

  Uvědomte si, co znamená účinnost spotřebiče a proč je obvykle menší než 100 %?

• Rozbor b)

  To, že ve skutečnosti trval ohřev déle, svědčí o tom, že účinnost varné konvice je menší než 100 %, neboť se ohřívá také materiál, ze kterého je konvice vyrobená, a část tepla uniká do okolí. Důležitou roli hraje také to, že se voda odpařuje a  to odebírá část energie.

  Účinnost lze vypočítat jako podíl energie využité k ohřevu vody a celkové dodané energie. Jak bude odvozeno v oddíle Řešení, rovná se účinnost také podílu předpokládané a skutečné doby ohřevu.

• Řešení b)

  To, že ve skutečnosti trval ohřev déle, je způsobeno omezenou účinností spotřebiče. Účinnost je definována jako podíl výkonu P a příkonu P₀:

  $$\eta =\frac{P}{P_0}\,,$$

  tedy podíl energie, která se spotřebovala na ohřev vody, a energie, kterou spotřebovala varná konvice.

  Energii, která se spotřebovala na ohřátí vody, můžeme vyjádřit jako součin příkonu varné konvice P₀ a času τ vypočítaného v úkolu a) (tedy jako předanou energii při 100% účinnosti varné konvice).

  Energii, kterou konvice spotřebovala ve skutečnosti, vyjádříme jako součin příkonu P₀ a skutečného času, po který trvalo ohřátí vody τ + Δτ.

  Můžeme tedy psát:

  $$\eta=\frac{P_0\tau}{P_0\left(\tau+\mathrm{\Delta}\tau\right)}\,.$$

  Po vykrácení P₀ dostáváme vztah:

  $$\eta =\frac{\tau}{\tau+\mathrm{\Delta}\tau}\,,$$

  do kterého už můžeme dosadit.

  Číselné dosazení:

  $$\eta =\frac{\tau}{\tau+\mathrm{\Delta}\tau}=\frac{213}{213+30}\dot= 0{,}877=87{,}7\%$$

• Odpověď

  a) Při 100% účinnosti konvice by měl ohřev vody trvat přibližně 213 s.

  b) Skutečná doba ohřevu je delší kvůli omezené účinnosti spotřebiče, která je v tomto případě asi 87,7 %.

• Pro zajímavost

  V této úloze nám vyšla účinnost varné konvice téměř 88 %. Výrobci uvádějí, že účinnost varné konvice může dosahovat až 90 %. Záleží ale na konkrétním typu varné konvice a ve většině případů bude zřejmě účinnost o něco menší.

  Velkou roli pro hodnotu účinnosti při konkrétním ohřevu také hraje to, jestli zahříváme plnou nebo poloprázdnou konvici. Čím je konvice plnější, tím je účinnost ohřevu vody větší.

• Odkaz na pokus

  Pokus na podobné téma najdete zde: Experimentální určení měrné tepelné kapacity vody.