Změna volné entalpie při izotermickém stlačení plynu

Úloha číslo: 413

Určete změnu volné entalpie dusíku o hmotnosti 100 g, jestliže byl plyn při teplotě 300 K izotermicky stlačen na tři čtvrtiny původního objemu.

  • Nápověda 1 – volná entalpie

    Volná entalpie neboli Gibbsova energie je termodynamický potenciál definovaný vztahem

    \[G=H-TS,\]

    kde H je entalpie, T termodynamická teplota a S entropie.

    Jednotkou volné entalpie je joule.

    Nezaměňujte volnou entalpii G a entalpii H, jedná se o dva různé potenciály!

  • Nápověda 2 – elementární změna volné entalpie dG

    Vyjádření elementární změny volné entalpie dG dostanete diferenciací definičního vztahu pro volnou entalpii, tedy

    \[\text{d}G = \text{d}H-T\,\text{d}S-S\,\text{d}T.\]

    Rozmyslete si, jak tento vztah upravit (zjednodušit), aby v něm vystupovaly jen zadané veličiny. Zejména je třeba odstranit elementární změnu entalpie dH.

  • Nápověda 3 – celková změna volné entalpie ΔG

    Celkovou změnu volné entalpie ΔG určete integrací vztahu pro elementární změnu volné entalpie dG podle tlaku p.

  • Nápověda 4 – vyjádření objemu V(p)

    K vyjádření objemu V jako funkci tlaku p použijte tzv. Boyle-Mariottův zákon.

    Pomocí tohoto zákona můžete také určit tlak p2.

  • Nápověda 5

    K vyjádření změny volné entalpie pouze pomocí zadaných veličin nakonec využijte stavovou rovnici ideálního plynu.

  • Zápis

    m = 100 g = 0,1 kg hmotnost dusíku
    T = 300 K teplota plynu
    \(V_{2} = \frac{3}{4}V_{1}\) objem po stlačení je tvořen třemi čtvrtinami původního objemu
    ΔG = ? změna volné entalpie

    Z tabulek:

    Mm = 0,028 kg mol− 1 molární hmotnost dusíku
    R = 8,31 J K−1 mol−1 univerzální plynová konstanta
  • Rozbor

    Abychom mohli spočítat celkovou změnu volné entalpie, vyjádříme si nejdříve její elementární změnu diferenciací jejího definičního vztahu. K  zjednodušení získaného výrazu využijeme vztah pro elementární změnu entalpie a první a druhý termodynamický zákon (oba použijeme v diferenciálním tvaru). Další zjednodušení vyplyne z toho, že zadaný děj je izotermický.

    Celkovou změnu volné entalpie získáme zintegrováním vztahu pro její elementární změnu podle tlaku.

    Objem jako funkci tlaku vyjádříme z Boyle-Mariottova zákona. Ze stejného zákona určíme i konečný tlak plynu.

    Výsledek ještě upravíme pomocí vhodné stavové rovnice pro ideální plyn, tak abychom mohli dosadit zadané hodnoty.

  • Řešení

    Gibbsova energie čili volná entalpie je termodynamický potenciál definovaný vztahem

    \[G = H-TS,\]

    kde H je entalpie, T termodynamická teplota a S entropie.

    Diferenciací definičního vzorce a využitím vztahu pro elementární změnu entalpie (viz úloha Změna entalpie dusíku)

    \[\text{d}H = \text{d}U+p\,\text{d}V+V\,\text{d}p\]

    dostáváme

    \[\text{d}G= \text{d}H-T\,\text{d}S-S\,\text{d}T = \text{d}U+p\,\text{d}V+V\,\text{d}p-T\,\text{d}S-S\,\text{d}T.\]

    Výraz pro elementární změnu volné entalpie ještě upravíme pomocí znalosti 1. a 2. termodynamického zákona.

    Matematická formulace 2. termodynamického zákona má tvar:

    \[\mathrm{d}S = \frac{\mathrm{d}Q}{T}.\]

    První termodynamický zákon v diferenciálním tvaru zní:

    \[\mathrm{d}U = \mathrm{d}Q - p\mathrm{d}V.\]

    Spojením obou zákonů dostáváme:

    \[\mathrm{d}U = T\mathrm{d}S - p\mathrm{d}V \;\;\; \Rightarrow \;\;\; \mathrm{d}U - T\mathrm{d}S + p\mathrm{d}V = 0.\]

    Dosazením tohoto vztahu do vyjádření dG máme

    \[\mathrm{d}G = V\mathrm{d}p - S\mathrm{d}T.\]

    Uvážíme-li navíc, že se jedná o izotermický děj, pro který platí dT = 0, můžeme pro tento případ rovnou psát:

    \[\mathrm{d}G = V\mathrm{d}p.\]

    Celkovou změnu volné entalpie ΔG potom určíme integrací v mezích od p1 do p2. Přitom nezapomeneme, že pro izotermický děj, platí tzv. Boyle-Mariottův zákon

    \[pV = p_{1}V_{1} = konst.,\]

    ze kterého ihned dostáváme vyjádření objemu V jako funkci tlaku p:

    \[V=\frac{p_1V_1}{p}.\]

    Navíc pokud došlo ke snížení objemu z hodnoty V1 na hodnotu

    \[V_{2} = \frac{3}{4}V_{1},\]

    tlak se naopak zvýšil z počátečního stavu p1 na koncový

    \[p_{2} = \frac{4}{3}p_{1}.\]

    Nyní můžeme přistoupit k samotné integraci

    \[\Delta G = \int\limits_{p_1}^{p_2}V\,\text{d}p = \int\limits_{p_1}^{p_2}\frac{p_1V_1}{p}\,\text{d}p =\]

    vytkneme konstanty před integrál

    \[= p_{1}V_{1}\int_{p_{1}}^{p_{2}}\frac{1}{p}\, \mathrm{d}p = p_{1}V_{1}\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}= \]

    zintegrujeme a dosadíme meze

    \[=p_1V_1\,\left[\ln{p}\right]^{p_2}_{p_1}= p_1V_1\,\ln{\frac{p_2}{p_1}}= p_1V_1\,\ln{\frac{\frac{4}{3}p_{1}}{p_1}}= p_1V_1\,\ln{\frac{4}{3}}.\]

    S uvážením stavové rovnice ideálního plynu ve tvaru

    \[p_1V_1=\frac{m}{M_m}RT_1,\]

    kde m je hmotnost, Mm molární hmotnost dusíku a R molární plynová konstanta, nakonec můžeme psát

    \[\Delta G=\frac{m}{M_{m}}RT\ln{\frac{4}{3}}.\]
  • Číselné dosazení

    \[\mathrm{\Delta} G = \frac{m}{M_{m}}RT\ln\frac{4}{3} = \frac{0{,}1}{0{,}028}\cdot{8{,}31}\cdot 300\cdot {\ln\frac{4}{3}}\, \mathrm{J}\] \[\mathrm{\Delta} G \dot{=} 2\,600\, \mathrm{J}\]
  • Odpověď

    Volná entalpie plynu se zvětšila o hodnotu přibližně 2,6 kJ.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze