Hookův zákon a délková roztažnost
Úloha číslo: 329
Ocelový drát byl při teplotě 100 °C upevněn mezi dvě pevné svorky. Teplota prostředí je 20 °C.
a) Přetrhne se drát dříve, než vychladne na teplotu prostředí?
b) Při jaké nejvyšší teplotě smí být drát napnut mezi svorky, aby se při chladnutí na teplotu okolí nepřetrhl?
I když to zcela neodpovídá realitě, předpokládejte, že deformace je až do meze pevnosti pružná.
Nápověda
Zkuste si rozmyslet, co se děje s ocelovým drátem při jeho ochlazování a co se stane, pokud oba jeho konce pevně uchytíme.
Rozbor
Ochlazováním drátu se zmenšuje jeho délka. Pokud je na obou koncích pevně upevněn, nemůže se zkracovat a zvyšuje se jeho vnitřní napětí podle Hookova zákona.
Vztah pro závislost vnitřního napětí v drátu na změně jeho teploty získáme dosazením vztahu pro délkovou teplotní roztažnost do Hookova zákona.
To, zda se drát přetrhne, zjistíme porovnáním vnitřního napětí v drátu vzniklého jeho ochlazením s mezí pevnosti. Pokud vnitřní napětí bude větší než mez pevnosti, pak se drát přetrhne, a naopak.
Ve druhém úkolu hledáme teplotu, pro kterou platí, že při ochlazení drátu o rozdíl této teploty a teploty prostředí, dosáhne vnitřní napětí v drátu právě meze pevnosti.
Zápis
t0 = 100 °C počáteční teplota drátu tp = 20 °C teplota prostředí σ = ? vnitřní napětí drátu po jeho ochlazení tmax = ? maximální teplota Z tabulek:
σp = 5,0·108 Pa mez pevnosti oceli E = 21,0·1010 Pa Youngův modul pružnosti oceli α = 1,2·10−5 K−1 součinitel délkové roztažnosti oceli Řešení
Při ochlazování má drát tendenci se zkracovat, což však vzhledem k jeho upevnění mezi pevné svorky není možné. Důsledkem toho dochází s klesající teplotou k postupnému zvětšování vnitřního napětí v drátu. To je podle Hookova zákona pro pružné deformace úměrné relativnímu zkrácení drátu ε, k němuž by došlo, kdyby drát nebyl upevněn.
Z Hookova zákona odvodíme závislost vnitřního normálového napětí σ na teplotě t:
\[\sigma = E \varepsilon = E\frac{\mathrm{\Delta} l}{l_{0}}=E\frac{l_{0} \alpha (t_{0}-t)}{l_{0}} = E \alpha (t_{0}-t)\,,\]kde E je Youngův modul pružnosti oceli, α je součinitel délkové roztažnosti oceli a t0 je počáteční teplota drátu.
a) Drát se přetrhne, pokud vnitřní napětí vzniklé ochlazením drátu z počáteční teploty t0 na teplotu prostředí tp bude větší, než je mez pevnosti drátu.
Napětí v drátu určíme podle vztahu:
\[\sigma = E \alpha (t_{0}-t_\mathrm{p})\,.\]b) Pro hledanou teplotu tmax musí platit, že vnitřní napětí dosáhne meze pevnosti σp právě ve chvíli, kdy se drát ochladí na teplotu okolí tp. To znamená, že bude v souladu se vzorci uvedenými v části a) platit vztah:
\[\sigma_\mathrm{p} = E \alpha (t_{\mathrm{max}}-t_\mathrm{p})\,,\]ze kterého vyjádříme hledanou teplotu tmax:
\[t_{\mathrm{max}}-t_\mathrm{p} = \frac{\sigma_\mathrm{p}}{E \alpha},\] \[t_{\mathrm{max}} = t_\mathrm{p}+\frac{\sigma_\mathrm{p}}{E \alpha}.\]Číselné dosazení
a)
\[\sigma = E \alpha (t_{0}-t_\mathrm{p}) = 21\cdot {10^{10}}\cdot{1{,}2}\cdot{10^{-5}}\cdot \left( 100-20 \right) \, \mathrm{Pa} \dot{=} 2\cdot{10^{8}}\, \mathrm{Pa}\] \[\sigma\, <\, \sigma_\mathrm{p}\]b)
\[t_{\mathrm{max}} = t_\mathrm{p}+\frac{\sigma_\mathrm{p}}{E \alpha} = \left(20+\frac{5 \cdot{10^{8}}}{21 \cdot{10^{10}} \cdot{1{,}2} \cdot{10^{-5}}}\right)\, \mathrm{^{\circ}C}\] \[t_{\mathrm{max}} \dot{=} 218{,}4\,\mathrm{^{\circ}C}\]Odpověď
a) Vnitřní napětí v drátu je menší než jeho mez pevnosti. Drát se tedy nepřetrhne.
b) Drát smí být napjat mezi svorky maximálně při teplotě 218 °C.
