Hookův zákon a délková roztažnost

Úloha číslo: 329

Ocelový drát byl při teplotě 100 °C upevněn mezi dvě pevné svorky. Teplota prostředí je 20 °C.

a) Přetrhne se drát dříve, než vychladne na teplotu prostředí?

b) Při jaké nejvyšší teplotě smí být drát napnut mezi svorky, aby se při chladnutí na teplotu okolí nepřetrhl?

I když to zcela neodpovídá realitě, předpokládejte, že deformace je až do meze pevnosti pružná.

  • Nápověda

    Zkuste si rozmyslet co se děje s ocelovým drátem při jeho ochlazování a co se stane, pokud oba jeho konce pevně uchytíme.

  • Rozbor

    Ochlazováním drátu se zmenšuje jeho délka. Pokud je na obou koncích pevně upevněn, nemůže se zkracovat a zvyšuje se jeho vnitřní napětí podle Hookova zákona.

    Vztah pro závislost vnitřního napětí v drátu na změně jeho teploty získáme dosazením vztahu pro délkovou teplotní roztažnost do Hookova zákona.

    To, zda se drát přetrhne, zjistíme porovnáním vnitřního napětí v drátu, vzniklého jeho ochlazením, s mezí pevnosti. Pokud vnitřní napětí bude větší než mez pevnosti, pak se drát přetrhne, a naopak.

    Ve druhém úkolu hledáme teplotu, pro kterou platí, že při ochlazení drátu o rozdíl této teploty a teploty prostředí, dosáhne vnitřní napětí v drátu právě meze pevnosti.

  • Zápis

    t0 = 100 °C počáteční teplota drátu
    tp = 20 °C teplota prostředí
    σ = ? vnitřní napětí drátu po jeho ochlazení
    tmax = ? maximální teplota

    Z tabulek:

    σp = 5,0·108 Pa mez pevnosti oceli
    E = 21,0·1010 Pa Youngův modul pružnosti oceli
    α = 1,2·10−5 K−1 součinitel délkové roztažnosti oceli
  • Řešení

    Při ochlazování má drát tendenci se zkracovat, což však vzhledem k jeho upevnění mezi pevné svorky není možné. Důsledkem toho dochází s klesající teplotou k postupnému zvětšování vnitřního napětí v drátu, jež je podle Hookova zákona pro pružné deformace úměrné relativnímu zkrácení drátu ε, k němuž by došlo, kdyby drát nebyl upevněn.

    Z Hookova zákona odvodíme závislost vnitřního normálového napětí σ na teplotě t:

    \[\sigma = E \varepsilon = E\frac{\mathrm{\Delta} l}{l_{0}}=E\frac{l_{0} \alpha (t_{0}-t)}{l_{0}} = E \alpha (t_{0}-t)\,,\]

    kde E je Youngův modul pružnosti oceli, α je součinitel délkové roztažnosti oceli a t0 je počáteční teplota drátu.

    a) Drát se přetrhne, pokud vnitřní napětí, vzniklé ochlazením drátu z počáteční teploty t0 na teplotu prostředí tp, bude větší než je mez pevnosti drátu.

    Napětí v drátu určíme podle vztahu:

    \[\sigma = E \alpha (t_{0}-t_{p})\,.\]

    b) Pro hledanou teplotu tmax musí platit, že vnitřní napětí dosáhne meze pevnosti σp právě ve chvíli, kdy se drát ochladí na teplotu okolí tp. To znamená, že bude v souladu s vzorci uvedenými v části a) platit vztah:

    \[\sigma_{p} = E \alpha (t_{\mathrm{max}}-t_{p})\,,\]

    ze kterého vyjádříme hledanou teplotu tmax:

    \[t_{\mathrm{max}}-t_{p} = \frac{\sigma_{p}}{E \alpha},\] \[t_{\mathrm{max}} = t_{p}+\frac{\sigma_{p}}{E \alpha}.\]
  • Číselné dosazení

    a)

    \[\sigma = E \alpha (t_{0}-t_{p}) = 21\cdot {10^{10}}\cdot{1{,}2}\cdot{10^{-5}}\cdot \left( 100-20 \right) \, \mathrm{Pa} \dot{=} 2\cdot{10^{8}}\, \mathrm{Pa}\] \[\sigma\, <\, \sigma_{p}\]

    b)

    \[t_{\mathrm{max}} = t_{p}+\frac{\sigma_{p}}{E \alpha} = \left(20+\frac{5 \cdot{10^{8}}}{21 \cdot{10^{10}} \cdot{1{,}2} \cdot{10^{-5}}}\right)\, \mathrm{^{\circ}C}\] \[t_{\mathrm{max}} \dot{=} 218{,}4\,\mathrm{^{\circ}C}\]
  • Odpověď

    a) Vnitřní napětí v drátu je menší než jeho mez pevnosti. Drát se tedy nepřetrhne.

    b) Drát smí být napjat mezi svorky maximálně při teplotě 218 °C.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze