Sbírka řešených úloh

Debyeův-Scherrerův difraktogram

Úloha číslo: 2282

• Debye-Scherrerova metoda

  Debyeova-Scherrerova metoda využívá rentgenovou difrakci na velmi jemných prášcích uzavřených ve skleněné kapiláře. V prášku je velmi mnoho krystalků, z nichž každý je orientován určitým způsobem. V celém vzorku jsou potom přibližně stejně zastoupeny všechny možné orientace. Pokud použijeme monochromatické rentgenové záření, budou difraktovat všechny roviny ${hkl}$ splňující Braggovu podmínku

  $$2d_{hkl}\sin\theta_{hkl}=n\lambda,$$

  kde $d_{hkl}$ je mezirovinná vzdálenost, $\theta_{hkl}$ je difrakční úhel a $\lambda$ je vlnová délka použitého záření. Ze vzorku nám tedy budou vycházet kužele difragovaných paprsků s vrcholovým úhlem $4\theta_{hkl}$.

  Situaci pro dvě různé množiny rovin ukazuje obrázek.

  

  Pro nějakou mezirovinnou vzdálenost $d_1$ najdeme krystalky vhodně orientované tak, že množina rovin s mezirovinnými vzdálenostmi $d_1$ v nich bude s přicházejícím zářením svírat úhel $\theta_1$, pro který bude platit Braggova podmínka $2d_{1}\sin\theta_{1}=\lambda$. V našem případě jsou to ty oranžové. Tato množina rovin je poté zodpovědná za kužel difragovaného záření s vrcholovým úhlem $4\theta_{1}$.

  Podobně si můžeme vzít jinou mezirovinnou vzdálenosti $d_2$, ke které najdeme jinak vhodně orientované krystalky, v obrázku zelené. Opět pro množinu rovin s mezirovinnou vzdáleností $d_2$ v těchto vhodně orientovaných krystalcích bude platit Braggova podmínka ve tvaru $2d_{2}\sin\theta_{2}=\lambda$, kde $\theta_{2}$ je úhel mezi přicházejícím zářením a množinou rovin. Ze vzorku bude vycházet další kužel o vrcholovém úhlu $4\theta_{2}$.

  Tyto kužely budou tvořit na detektoru soustředné kružnice. Z jejich polohy určíme Braggovy úhly $\theta$. Poté můžeme z Braggovy podmínky pro první difrakční řád $n=1$ zapsat

  $$\sin^2 \theta=\frac{\lambda^2}{4 d^2_{hkl}}.$$

  Pro látky s kubickou mřížkou platí

  $$d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}},$$

  a proto

  $$\sin^2 \theta=\frac{(h^2+k^2+l^2)\lambda^2}{4 a^2}.$$

  Změříme-li Braggovy úhly $\theta$ příslušející různým množinám rovin ${hkl}$ a odhadneme-li, jakému součtu $h^2+k^2+l^2$ tyto reflexe přísluší, můžeme mřížový parametr $a$ určit lineární regresí z předchozího vztahu.

• Nápověda: Indexování difrakčního záznamu

  Nejprve musíme difrakční záznam oindexovat, to znamená rozhodnout se, kterému Braggovu úhlu $\theta$ přísluší jaké hodnoty $h,k,l$ a tudíž i součet $h^2+k^2+l^2$. To se obvykle dělá metodou „poučený pokus-omyl“.

• Řešení: Indexování difrakčního záznamu

  Je rozumné předpokládat, že nejnižší Braggův úhel $19{,}48°$ bude příslušet nízkým indexům $h,k,l$. Nejjednodušší možností je $h=1$ a $k=l=0$, a tedy $h^2+k^2+l^2=1$.

  Ze vztahu uvedeného v teoretické části

  $$\sin^2 \theta=\frac{(h^2+k^2+l^2)\lambda^2}{4 a^2}$$

  si vyjádříme mřížový parametr:

  $$a=\sqrt{\frac{(h^2+k^2+l^2)\lambda^2}{4 \sin^2 \theta}}.$$

  Pokud si z něho vypočteme mřížový parametr pro naše první hodnoty $\theta=19{,}48°$, $h^2+k^2+l^2=1$ a $\lambda=1{,}5406\,Å$, získáme hodnotu

  $$a=2{,}310\,Å.$$

  Hodnoty $h,k,l$ pro další Braggovské úhly $\theta$ budeme dále volit tak, aby nám i pro ně tento mřížový parametr vycházel podobně. Pokud by se nám to nedařilo, znamenalo by to, že jsme už u prvního úhlu udělali chybu a nebyla to ve skutečnosti reflexe od množiny rovin $(100)$. Jak se můžete přesvědčit, to ovšem není náš případ.

• Nápověda: Určení mřížového parametru regresí

  Pokud máme celý difrakční záznam oindexovaný, můžeme přikročit k určení mřížového parametru. To můžeme udělat lineární regresí na základě vztahu

  $$\sin^2 \theta=\frac{(h^2+k^2+l^2)\lambda^2}{4 a^2}.$$

• Celé řešení: Určení mřížového parametru

  Difrakční záznam po oindexování vypadá takto:

  $\theta$	$\sin^2\theta$	$h$	$k$	$l$	$h^2+k^2+l^2$	$a$
  $19{,}48°$	$0{,}11121$	$1$	$0$	$0$	$1$	$2{,}3099$
  $22{,}64°$	$0{,}14818$	$1$	$1$	$0$	$2$	$2{,}8300$
  $33{,}00°$	$0{,}29663$	$1$	$1$	$1$	$3$	$2{,}4497$
  $39{,}68°$	$0{,}40768$	$2$	$0$	$0$	$4$	$2{,}4128$
  $41{,}83°$	$0{,}44479$	$2$	$1$	$0$	$5$	$2{,}5827$
  $50{,}35°$	$0{,}59283$	$2$	$1$	$1$	$6$	$2{,}4506$
  $57{,}05°$	$0{,}7042$	$2$	$2$	$0$	$8$	$2{,}5964$
  $59{,}42°$	$0{,}74118$	$2$	$2$	$1$	$9$	$2{,}6842$

  Použitím lineární regrese dospějeme k hodnotě mřížového parametru

  $$a=2{,}673\,Å.$$