Problém laboratorní
Úloha číslo: 392
Pečlivý laborant odměřil ráno, kdy byla v laboratoři teplota 20°C, do odměrného válce přesně 100 ml vody. Během letního dne teplota v laboratoři stoupla na 30°C. Pokud bychom zanedbali vypařování vody a uvažovali pouze teplotní roztažnost vody a skla, bude hladina vody pod ryskou nebo nad ryskou určující objem 100 ml?
Nápověda
Se zvyšující se teplotou se bude zvětšovat objem vody, ale také se bude roztahovat odměrný válec. Naším úkolem je tedy zjistit, zda se více zvětší objem vody nebo vnitřku odměrného válce.
Zápis
Vo = 100 ml objem vody v odměrném válci to = 20 °C počáteční teplota to = 30 °C konečná teplota Z tabulek βv = 0,2·10−3K−1 teplotní součinitel objemové roztažnosti vody αs = 8·10−6K−1 teplotní součinitel délkové roztažnosti skla Rozbor
Na první pohled by se mohlo zdát, že úloha má naprosto jednoznačné řešení. Při zvýšení teploty dojde ke zvětšení objemu vody, takže voda bude nad ryskou. Při důkladnějším prozkoumání si ale uvědomíme, že nejenom voda, ale také sklo se s teplotou roztahuje, takže při zvýšení teploty se zvětší vnitřní objem odměrného válce. Pokud by převážilo roztahování skla, bude naopak voda pod ryskou. Naším úkolem je tedy porovnat tyto dva protichůdné vlivy.
Řešení
Nejprve určíme objem vody při vyšší teplotě. Pro objemovou roztažnost vody platí
\[V_v = V_0 (1 + \beta_v\Delta t).\]Dále určíme vnitřní objem odměrného válce při vyšší teplotě. V tabulkách ale najdeme pouze teplotní součinitel délkové roztažnosti. Proto použijeme vztah pro výpočet objemu válce V = πr2h, kde r je poloměr podstavy válce a h jeho výška. Rozměry válce při počáteční teplotě označíme stejnými písmeny a odlišíme je indexem 0.
Do vzorce pro objem válce dosadíme vztahy, které vyjadřují změnu rozměrů válce s teplotou:
\[r = r_0 (1 + \alpha_s\Delta t)\] \[h = h_0 (1 + \alpha_s\Delta t)\] \[V_s=\pi r^2 h=\pi r_0^2(1+\alpha_s\Delta t)^2h_0(1+\alpha_s\Delta t)\] \[V_s=\pi r_0^2h_0(1+\alpha_s\Delta t)^3\] \[V_s=V_0(1+\alpha_s\Delta t)^3\]Závorku roznásobíme a uvědomíme si, že členy, ve kterých se vyskytuje α ve vyšší mocnině, budou vzhledem k hodnotě α a Δt příliš malé, a proto je můžeme zanedbat:
\[V_s=V_0(1 + 3\alpha_s\Delta t+3\alpha_s^2\Delta^2 t+3\alpha_s^3\Delta t^3)\]Z poslední rovnosti je patrné, že mezi teplotním součinitelem délkové roztažnosti αs a teplotním objemové roztažnosti βs platí s dostatečnou přesností vztah:
\[\beta_s\dot{=}3\alpha _s.\]Naším úkolem je tedy porovnat objemy vyjádřené pomocí vztahů
\[V_v = V_0 (1 + \beta_v\Delta t),\] \[V_s = V_0 (1 + 3\alpha_s\Delta t).\]Protože platí βs > 3 αs, více zvětší svůj objem voda, než se zvětší vnitřní objem odměrného válce. Hladina vody bude tedy nad ryskou.
Dosaďme ještě číselné hodnoty:
\[V_v = V_0 (1 + \beta_v\Delta t)=100\cdot[1+2\cdot{10^{-4}}\cdot(30-20)]\,\mathrm{ml}\] \[V_v = 100{,}2\,\mathrm{ml}\] \[V_s = V_0 (1 + 3\alpha_s\Delta t)=100\cdot[1+3\cdot{8}\cdot{10^{-6}}\cdot(30-20)]\,\mathrm{ml}\] \[V_s=100{,}024\,\mathrm{ml}\]a vidíme, že skutečně vnitřní objem válce se zvýší o menší hodnotu, než vnitřní objem vody a voda tedy bude při vyšší teplotě nad ryskou.
Odpověď
Po zvýšení teploty bude hladina vody nad ryskou.Poznámka o relativní teplotní roztažnosti
Teplotní roztažnost skla je velmi malá (zvláště pro určité druhy skla, např. sklo křemenné), a proto je možné ji ve většině situací zanedbat.
