Problém laboratorní

Úloha číslo: 392

Pečlivý laborant odměřil ráno, kdy byla v laboratoři teplota 20°C, do odměrného válce přesně 100 ml vody. Během letního dne teplota v laboratoři stoupla na 30°C. Pokud bychom zanedbali vypařování vody a uvažovali pouze teplotní roztažnost vody a skla, bude hladina vody pod ryskou nebo nad ryskou určující objem 100 ml?

  • Nápověda

    Se zvyšující se teplotou se bude zvětšovat objem vody, ale také se bude roztahovat odměrný válec. Naším úkolem je tedy zjistit, zda se více zvětší objem vody nebo vnitřku odměrného válce.

  • Zápis

    Vo = 100 ml objem vody v odměrném válci
    to = 20 °C počáteční teplota
    to = 30 °C konečná teplota
    Z tabulek
    βv = 0,2·10−3K−1 teplotní součinitel objemové roztažnosti vody
    αs = 8·10−6K−1 teplotní součinitel délkové roztažnosti skla
  • Rozbor

    Na první pohled by se mohlo zdát, že úloha má naprosto jednoznačné řešení. Při zvýšení teploty dojde ke zvětšení objemu vody, takže voda bude nad ryskou. Při důkladnějším prozkoumání si ale uvědomíme, že nejenom voda, ale také sklo se s teplotou roztahuje, takže při zvýšení teploty se zvětší vnitřní objem odměrného válce. Pokud by převážilo roztahování skla, bude naopak voda pod ryskou. Naším úkolem je tedy porovnat tyto dva protichůdné vlivy.

  • Řešení

    Nejprve určíme objem vody při vyšší teplotě. Pro objemovou roztažnost vody platí

    \[V_v = V_0 (1 + \beta_v\Delta t).\]

    Dále určíme vnitřní objem odměrného válce při vyšší teplotě. V tabulkách ale najdeme pouze teplotní součinitel délkové roztažnosti. Proto použijeme vztah pro výpočet objemu válce V = πr2h, kde r je poloměr podstavy válce a h jeho výška. Rozměry válce při počáteční teplotě označíme stejnými písmeny a odlišíme je indexem 0.

    Do vzorce pro objem válce dosadíme vztahy, které vyjadřují změnu rozměrů válce s teplotou:

    \[r = r_0 (1 + \alpha_s\Delta t)\] \[h = h_0 (1 + \alpha_s\Delta t)\] \[V_s=\pi r^2 h=\pi r_0^2(1+\alpha_s\Delta t)^2h_0(1+\alpha_s\Delta t)\] \[V_s=\pi r_0^2h_0(1+\alpha_s\Delta t)^3\] \[V_s=V_0(1+\alpha_s\Delta t)^3\]

    Závorku roznásobíme a uvědomíme si, že členy, ve kterých se vyskytuje α ve vyšší mocnině, budou vzhledem k hodnotě α a Δt příliš malé, a proto je můžeme zanedbat:

    \[V_s=V_0(1 + 3\alpha_s\Delta t+3\alpha_s^2\Delta^2 t+3\alpha_s^3\Delta t^3)\]

    Z poslední rovnosti je patrné, že mezi teplotním součinitelem délkové roztažnosti αs a teplotním objemové roztažnosti βs platí s dostatečnou přesností vztah:

    \[\beta_s\dot{=}3\alpha _s.\]

    Naším úkolem je tedy porovnat objemy vyjádřené pomocí vztahů

    \[V_v = V_0 (1 + \beta_v\Delta t),\] \[V_s = V_0 (1 + 3\alpha_s\Delta t).\]

    Protože platí βs > 3 αs, více zvětší svůj objem voda, než se zvětší vnitřní objem odměrného válce. Hladina vody bude tedy nad ryskou.

    Dosaďme ještě číselné hodnoty:

    \[V_v = V_0 (1 + \beta_v\Delta t)=100\cdot[1+2\cdot{10^{-4}}\cdot(30-20)]\,\mathrm{ml}\] \[V_v = 100{,}2\,\mathrm{ml}\] \[V_s = V_0 (1 + 3\alpha_s\Delta t)=100\cdot[1+3\cdot{8}\cdot{10^{-6}}\cdot(30-20)]\,\mathrm{ml}\] \[V_s=100{,}024\,\mathrm{ml}\]

    a vidíme, že skutečně vnitřní objem válce se zvýší o menší hodnotu, než vnitřní objem vody a voda tedy bude při vyšší teplotě nad ryskou.

  • Odpověď

    Po zvýšení teploty bude hladina vody nad ryskou.
  • Poznámka o relativní teplotní roztažnosti

    Teplotní roztažnost skla je velmi malá (zvláště pro určité druhy skla, např. sklo křemenné), a proto je možné ji ve většině situací zanedbat.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha řešená úvahou
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na řešení problémových situací
Úloha na objevování na základě vlastních úvah
Zaslat komentář k úloze