Sbírka řešených úloh

Problém laboratorní

Úloha číslo: 392

• Nápověda

  Se zvyšující se teplotou se bude zvětšovat objem vody, ale také se bude roztahovat odměrný válec. Naším úkolem je tedy zjistit, zda se více zvětší objem vody nebo vnitřku odměrného válce.

• Jak určit zvětšení vnitřku nádoby?

  Vzorec pro teplotní roztažnost nám říká, jak se zvětšují tělesa. Lze ho ale použít i na „vnitřek nádoby“, tj. dutinu uvnitř tělesa?

  Ano, použít ho můžeme. Stačí si představit, že odměrný válec vyplníme skleněným válcem. Potom obojí – odměrný válec i jeho výplň ohřejeme. Protože se jedná o stejný materiál, budou se roztahovat stejně. To znamená, že zvětšený vnitřek odměrného válce přesně odpovídá zvětšenému objemu skla, kterým jsme ho vyplnili.

• Zápis

  Vo = 100 ml		objem vody v odměrném válci
  to = 20 °C		počáteční teplota
  to = 30 °C		konečná teplota
  Z tabulek
  βv = 0,2·10−3K−1		teplotní součinitel objemové roztažnosti vody
  αs = 8·10−6K−1		teplotní součinitel délkové roztažnosti skla

• Rozbor

  Na první pohled by se mohlo zdát, že úloha má naprosto jednoznačné řešení. Při zvýšení teploty dojde ke zvětšení objemu vody, takže voda bude nad ryskou. Při důkladnějším prozkoumání si ale uvědomíme, že nejenom voda, ale také sklo se s teplotou roztahuje, takže při zvýšení teploty se zvětší vnitřní objem odměrného válce. Pokud by převážilo roztahování skla, bude naopak voda pod ryskou. Naším úkolem je tedy porovnat tyto dva protichůdné vlivy.

• Řešení

  Nejprve určíme objem vody při vyšší teplotě. Pro objemovou roztažnost vody platí

  $$V_v = V_0 (1 + \beta_v\Delta t).$$

  Dále určíme vnitřní objem odměrného válce při vyšší teplotě. V tabulkách ale najdeme pouze teplotní součinitel délkové roztažnosti. Proto použijeme vztah pro výpočet objemu válce V = πr²h, kde r je poloměr podstavy válce a h jeho výška. Rozměry válce při počáteční teplotě označíme stejnými písmeny a odlišíme je indexem 0.

  Do vzorce pro objem válce dosadíme vztahy, které vyjadřují změnu rozměrů válce s teplotou:

  $$r = r_0 (1 + \alpha_s\Delta t)$$ $$h = h_0 (1 + \alpha_s\Delta t)$$ $$V_s=\pi r^2 h=\pi r_0^2(1+\alpha_s\Delta t)^2h_0(1+\alpha_s\Delta t)$$ $$V_s=\pi r_0^2h_0(1+\alpha_s\Delta t)^3$$ $$V_s=V_0(1+\alpha_s\Delta t)^3$$

  Závorku roznásobíme a uvědomíme si, že členy, ve kterých se vyskytuje α ve vyšší mocnině, budou vzhledem k hodnotě α a Δt příliš malé, a proto je můžeme zanedbat:

  $$V_s=V_0(1 + 3\alpha_s\Delta t+3\alpha_s^2\Delta^2 t+3\alpha_s^3\Delta t^3)$$

  Z poslední rovnosti je patrné, že mezi teplotním součinitelem délkové roztažnosti α_s a teplotním objemové roztažnosti β_s platí s dostatečnou přesností vztah:

  $$\beta_s\dot{=}3\alpha _s.$$

  Naším úkolem je tedy porovnat objemy vyjádřené pomocí vztahů

  $$V_v = V_0 (1 + \beta_v\Delta t),$$ $$V_s = V_0 (1 + 3\alpha_s\Delta t).$$

  Protože platí β_s > 3 α_s, více zvětší svůj objem voda, než se zvětší vnitřní objem odměrného válce. Hladina vody bude tedy nad ryskou.

  Dosaďme ještě číselné hodnoty:

  $$V_v = V_0 (1 + \beta_v\Delta t)=100\cdot[1+2\cdot{10^{-4}}\cdot(30-20)]\,\mathrm{ml}$$ $$V_v = 100{,}2\,\mathrm{ml}$$ $$V_s = V_0 (1 + 3\alpha_s\Delta t)=100\cdot[1+3\cdot{8}\cdot{10^{-6}}\cdot(30-20)]\,\mathrm{ml}$$ $$V_s=100{,}024\,\mathrm{ml}$$

  a vidíme, že skutečně vnitřní objem válce se zvýší o menší hodnotu, než vnitřní objem vody a voda tedy bude při vyšší teplotě nad ryskou.

• Odpověď

  Po zvýšení teploty bude hladina vody nad ryskou.

• Poznámka o relativní teplotní roztažnosti

  Teplotní roztažnost skla je velmi malá (zvláště pro určité druhy skla, např. sklo křemenné), a proto je možné ji ve většině situací zanedbat.