Chlazení piva
Úloha číslo: 172
V horském potůčku proudí voda o teplotě 8 °C s průtokem 450 l za minutu. Turisté z nedaleké chaty bez zavedené elektrické energie si v něm ochlazují pivo, které na slunci dosáhlo teploty 22 °C. Jak dlouho bude turista chladit pivo na svých oblíbených 12 °C? Kolik litrů vody za tu dobu proteče potůčkem? Předpokládejte, že do potůčku je ponořena pouze válcová část pivní lahve. Měrnou tepelnou kapacitu piva uvažujte rovnou měrné tepelné kapacitě vody.
Nápověda – kde získat potřebné hodnoty
Součinitel tepelné vodivosti skla naleznete v tabulkách.
Rozměry pivní lahve je třeba buď změřit nebo odhadnout.
Nápověda – z čeho určit potřebný čas
Aby se pivo ochladilo na požadovanou teplotu, musí část své energie předat okolí. Toto teplo bude předáno okolní chladné vodě vedením přes sklo lahve. Vyhledejte si, na čem závisí množství tepla, které je předáno vedením za daný čas.
Nápověda – proměnlivý teplotní rozdíl
Jak bylo uvedeno v předchozí nápovědě, rovnice pro vedení tepla předpokládá, že teplotní rozdíl na obou koncích je konstantní, což v naší úloze není. Teplotu vody sice za konstantní považovat můžeme, ale teplota piva se bude postupně snižovat.
Pro získání odhadu potřebného času dosadíme do rovnice pro vedení tepla „průměrnou“ teplotu piva - průměr z počáteční a koncové teploty piva.
Pokud bychom chtěli úlohu řešit přesně, je třeba řešit příslušnou diferenciální rovnici, která přenos tepla popisuje přesně.
Zápis
tv = 8 °C teplota vody v potůčku q = 450 l/min průtok vody v potůčku t1 = 22 °C počáteční teplota piva t2 = 12 °C koncová (požadovaná) teplota piva τ = ? čas chlazení V = ? objem vody, který proteče potůčkem během chlazení Tabulkové a další potřebné hodnoty: λ = 1 Wm−1K−1 součinitel tepelné vodivosti skla h = 15 cm = 0,15 m výška pivní lahve r = 3 cm = 0,03 m poloměr pivní lahve d = 3 mm = 0,003 m tloušťka skla pivní lahve m = 0,5 kg hmotnost piva c = 4 180 J kg−1 °C−1 měrná tepelná kapacita piva (uvažujeme ji shodnou s vodou) Rozbor
Vzhledem k tomu, že známe počáteční a koncovou (požadovanou) teplotu piva, můžeme určit teplo, které musí pivo odevzdat, aby k tomuto snížení teploty došlo. Pivo bude teplo odevzdávat chladné vodě v potůčku. Protože s ní ale není v přímém kontaktu, bude docházet k vedení tepla přes sklo láhve. Dobu ochlazování určíme jako čas potřebný k tomu, aby dané teplo prošlo sklem.
Rovnice pro vedení tepla říká, že teplo, které projde materiálem za daný čas, je úměrné teplotnímu rozdílu na obou koncích. V našem případě ale tento teplotní rozdíl není konstantní, protože dochází k ochlazování piva. Pro odhad potřebného času tedy použijeme průměr počáteční a koncové teploty piva.
Řešení
Rovnice pro vedení tepla zní:
\[Q=\lambda\frac{S\Delta t}{d}\tau\,,\]kde Q je prošlé teplo, λ je součinitel tepelné vodivosti (charakterizující materiál), který pro sklo vyhledáme v tabulkách, S je obsah plochy a d tloušťka materiálu, přes který teplo prochází; Δt je teplotní rozdíl mezi oběma konci materiálu a τ je čas. Odtud můžeme vyjádřit hledaný čas chlazení τ:
\[\tau=\frac{Qd}{\lambda S\Delta t}\,.\]Teplo Q určíme jako teplo, které pivo musí odevzdat, aby se ochladilo o požadovanou teplotu:
\[Q=cm\left(t_1-t_2\right)\,.\]Tloušťku pivní lahve odhadneme a obsah plochy, přes kterou teplo prochází (danou pláštěm pivní lahve), určíme z rozměrů lahve. Budeme uvažovat, že teplo prochází obvodovými stěnami a spodní podstavou lahve, tj. pro obsah S platí:
\[S=2\pi rh+\pi r^2\,.\]Jak již bylo uvedeno v rozboru, rovnice pro vedení tepla předpokládá, že mezi konci materiálu, který vede teplo, je udržován konstantní teplotní rozdíl. V našem případě ale dochází ke snižování teploty piva, a proto pro získání odhadu potřebného času chlazení do této rovnice dosadíme průměr tp z počáteční t1 a koncové t2 teploty piva, tj.:
\[\Delta t=t_\mathrm{p}-t_\mathrm{v}=\frac{t_1+t_2}{2}-t_\mathrm{v}\,.\]Teď již známe všechny veličiny vyskytující se ve vztahu pro dobu chlazení, takže je můžeme dosadit:
\[\tau=\frac{cm\left(t_1-t_2\right)d}{\lambda\left(2\pi rh+\pi r^2\right)\,\frac{t_1+t_2-2t_v}{2}}=\frac{2cmd\left(t_1-t_2\right)}{\lambda\pi r\left(2h+ r\right)\,\left(t_1+t_2-2t_v\right)}\,,\] \[\tau=\frac{2\cdot{4180}\cdot{0{,}5}\cdot{0{,}003}\cdot\left(22-12\right)}{1\cdot\pi\cdot 0{,}03\cdot\left(2\cdot{0{,}15}+ 0{,}03\right)\,\left(22+12-2\cdot{8}\right)}\,\mathrm{s}\,,\] \[\tau=224\,\mathrm{s}=3\,\mathrm{min}44\,\mathrm{s}\dot{=}4\,\mathrm{min}\,.\]Objem V vody, která za tuto dobu proteče potůčkem, určíme z objemového průtoku:
\[V=q\tau=450\,\frac{1}{min}\cdot\frac{224}{60}\,\mathrm{min}=1680\,\mathrm{l}\,.\]Odpověď
Pivo bude vychlazeno asi za 4 min a za tuto dobu proteče potůčkem přibližně 1680 litrů vody.
