Změna objemu hélia

Úloha číslo: 373

Kolik tepla musíme dodat héliu o objemu 3 l, aby při stálém tlaku 0,2 MPa zvětšilo svůj objem na dvojnásobný?

  • Nápověda

    Hélium považujte za ideální plyn s molární tepelnou kapacitou při stálém tlaku

    \[C_p = \frac{5}{2}R.\]
  • Nápověda – dodané teplo

    Použijte vztah mezi teplem a molární tepelnou kapacitou za stálého tlaku a uvědomte si, co v něm znáte a co musíte ještě vyjádřit.

  • Nápověda – změna teploty

    Pro vyjádření změny teploty použijte tzv. Gay-Lussacův zákon.

  • Nápověda – látkové množství

    Látkové množství n vyjádřete ze stavové rovnice ideálního plynu pro počáteční situaci.

  • Rozbor

    Dodané teplo lze vypočítat jako součin látkového množství, molární tepelné kapacity za stálého tlaku a změny teploty.

    K určení změny teploty použijeme Gay-Lussacův zákon platící pro izobarický děj, který říká, že objem plynu je přímo úměrný jeho termodynamické teplotě.

    Látkové množství můžeme vyjádřit ze stavové rovnice ideálního plynu pro stav na počátku uvažovaného děje.

  • Zápis

    V1 = 3 l = 3·10−3 m3 počáteční objem hélia
    p = 0,2 MPa = 0,2·106 Pa tlak
    V2 = 2V1 koncový objem hélia
    Q = ? dodané teplo
  • Řešení

    Hélium pokládáme za ideální plyn mající molární tepelnou kapacitu při stálém tlaku

    \[C_p = \frac{5}{2}R.\]

    Díky tomu můžeme spočítat při izobarickém ději dodané teplo podle vztahu

    \[Q = nC_p(T_2 - T_1).\]

    Po dosazení za Cp dostaneme

    \[ Q = \frac{5}{2}nR(T_2 - T_1).\]

    V tomto vzorci ovšem neznáme ani látkové množství n ani změnu teploty T2T1. Víme však, že při izobarickém ději platí Gay-Lussacův zákon, podle něhož je

    \[\frac{V}{T} = konst.\]

    Díky tomu se teplota musela zvýšit stejně jako objem na dvojnásobek. Platí tedy vzorec T2 = 2T1.

    Dále ze stavové rovnice ideálního plynu pro situaci na začátku uvažovaného děje

    \[pV_1=nRT_1\]

    můžeme rovnou vyjádřit látkové množství n:

    \[n = \frac{pV_1}{RT_1}.\]

    Po dosazení do výše uvedeného vzorečku pak můžeme psát

    \[Q = \frac{5}{2}nR(T_2-T_1) = \frac{5}{2}\frac{pV_1}{RT_1}R(2T_1-T_1)\]

    a po úpravě dostáváme

    \[Q = \frac{5}{2}pV_1. \]
  • Číselné dosazení

    \[Q = \frac{5}{2}pV_1=\frac{5}{2}\cdot{0{,}2}\cdot 10^6\cdot{3}\cdot{10^{-3}}\,\mathrm{J}=1500 \,\mathrm{J}\]
  • Odpověď

    Aby helium zvýšilo za stálého tlaku svůj objem na dvojnásobek, musíme dodat teplo 1500 J.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na syntézu
Zaslat komentář k úloze