Změna objemu hélia
Úloha číslo: 373
Kolik tepla musíme dodat héliu o objemu 3 l, aby při stálém tlaku 0,2 MPa zvětšilo svůj objem na dvojnásobný?
Nápověda
Hélium považujte za ideální plyn s molární tepelnou kapacitou při stálém tlaku
\[C_p = \frac{5}{2}R.\]Nápověda – dodané teplo
Použijte vztah mezi teplem a molární tepelnou kapacitou za stálého tlaku a uvědomte si, co v něm znáte a co musíte ještě vyjádřit.
Nápověda – změna teploty
Pro vyjádření změny teploty použijte tzv. Gay-Lussacův zákon.
Nápověda – látkové množství
Látkové množství n vyjádřete ze stavové rovnice ideálního plynu pro počáteční situaci.
Rozbor
Dodané teplo lze vypočítat jako součin látkového množství, molární tepelné kapacity za stálého tlaku a změny teploty.
K určení změny teploty použijeme Gay-Lussacův zákon platící pro izobarický děj, který říká, že objem plynu je přímo úměrný jeho termodynamické teplotě.
Látkové množství můžeme vyjádřit ze stavové rovnice ideálního plynu pro stav na počátku uvažovaného děje.
Zápis
V1 = 3 l = 3·10−3 m3 počáteční objem hélia p = 0,2 MPa = 0,2·106 Pa tlak V2 = 2V1 koncový objem hélia Q = ? dodané teplo Řešení
Hélium pokládáme za ideální plyn mající molární tepelnou kapacitu při stálém tlaku
\[C_p = \frac{5}{2}R.\]Díky tomu můžeme spočítat při izobarickém ději dodané teplo podle vztahu
\[Q = nC_p(T_2 - T_1).\]Po dosazení za Cp dostaneme
\[ Q = \frac{5}{2}nR(T_2 - T_1).\]V tomto vzorci ovšem neznáme ani látkové množství n ani změnu teploty T2−T1. Víme však, že při izobarickém ději platí Gay-Lussacův zákon, podle něhož je
\[\frac{V}{T} = konst.\]Díky tomu se teplota musela zvýšit stejně jako objem na dvojnásobek. Platí tedy vzorec T2 = 2T1.
Dále ze stavové rovnice ideálního plynu pro situaci na začátku uvažovaného děje
\[pV_1=nRT_1\]můžeme rovnou vyjádřit látkové množství n:
\[n = \frac{pV_1}{RT_1}.\]Po dosazení do výše uvedeného vzorečku pak můžeme psát
\[Q = \frac{5}{2}nR(T_2-T_1) = \frac{5}{2}\frac{pV_1}{RT_1}R(2T_1-T_1)\]a po úpravě dostáváme
\[Q = \frac{5}{2}pV_1. \]Číselné dosazení
\[Q = \frac{5}{2}pV_1=\frac{5}{2}\cdot{0{,}2}\cdot 10^6\cdot{3}\cdot{10^{-3}}\,\mathrm{J}=1500 \,\mathrm{J}\]Odpověď
Aby helium zvýšilo za stálého tlaku svůj objem na dvojnásobek, musíme dodat teplo 1500 J.
