Určení kovu pomocí měření tepelné kapacity
Úloha číslo: 498
Do mosazného kalorimetru o hmotnosti 0,128 kg, ve kterém je 240 g vody o teplotě 8,4 °C, ponoříme kousek neznámého kovu o hmotnosti 192 g zahřátého na teplotu 100 °C. Vypočtete měrnou tepelnou kapacitu tohoto kovu a na základě této kapacity určete pomocí tabulek, o jaký kov se jedná, jestliže se teplota v kalorimetru ustálila na hodnotě 21,5 °C.
Předpokládejte, že měrná tepelná kapacita mosazi je 394 J kg−1K−1.
Nápověda
Uvědomte si, co musí platit pro teplo odevzdané kouskem neznámého kovu a tepla přijatá kalorimetrem a vodou.
Rozbor
Na počátku měl kalorimetr a voda v něm stejnou teplotu. Poté jsme do vody hodili kousek neznámého kovu o vyšší teplotě, který se začal ochlazovat a ohříval vodu i kalorimetr. Teplota se po nějaké době ustálila a kalorimetr, voda i kus kovu měly stejnou teplotu.
Víme, že teplo odevzdané kouskem kovu musí být stejné jako součet tepel, které přijal kalorimetr a voda (tzv. kalorimetrická rovnice). Z této rovnosti už snadno vyjádříme měrnou tepelnou kapacitu neznámého kovu.
Zápis
m0 = 0,128 kg hmotnost mosazného kalorimetru m1 = 240 g = 0,24 kg hmotnost vody t1 = 8,4 °C počáteční teplota vody m2 = 192 g = 0,192 kg hmotnost neznámého kovu t2 = 100 °C počáteční teplota neznámého kovu cm = 394 J kg−1K−1 měrná tepelná kapacita mosazi tv = 21,5 °C ustálená teplota v kalorimetru ck = ? měrná tepelná kapacita neznámého kovu Z tabulek:
cv = 4180 J kg−1K−1 měrná tepelná kapacita vody Řešení
Vzhledem k tomu, že soustava je tepelně izolována, musí být teplo Qod odevzdané kovem rovno součtu tepel Qp1 a Qp2 přijatých vodou a kalorimetrem (tzv. kalorimetrická rovnice
\[Q_{\mathrm{od}}=Q_{\mathrm{p1}}+Q_{\mathrm{p2}}.\]Pro jednotlivá tepla platí v souladu s tím, jak je definována měrná tepelná kapacita, následující vztahy:
Qod = m2 ck (t2 − tv),
Qp1 = m1 cv (tv − t1),
Qp2 = m0 cm (tv − t1),
kde ck je hledaná měrná tepelná kapacita kovu, cv vody a cm mosazi. Po dosazení do kalorimetrické rovnice získáme jednoduchou rovnici
\[Q_{\mathrm{od}}=Q_{\mathrm{p1}}+Q_{\mathrm{p2}},\] \[m_2c_{\mathrm{k}}\left(t_2-t_{\mathrm{v}}\right)=\left(m_0c_{\mathrm{m}}+m_1c_{\mathrm{v}}\right)\left(t_{\mathrm{v}}-t_1\right),\]ze které vyjádříme hledanou kapacitu ck
\[c_{\mathrm{k}}=\frac{\left(m_0c_{\mathrm{m}}+m_1c_{\mathrm{v}}\right)\left(t_{\mathrm{v}}-t_1\right)}{m_2\left(t_2-t_{\mathrm{v}}\right)}.\]Číselné dosazení:
\[c_{\mathrm{k}}=\frac{\left(0{,}128\cdot{394}+0{,}24\cdot{4180}\right)\cdot\left(21{,}5-8{,}4\right)}{0{,}192\cdot\left(100-21{,}5\right)}\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\] \[c_{\mathrm{k}}\dot=916\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\]Porovnání s tabulkovou hodnotou:
Nejblíže je této hodnotě hodnota 900 J kg−1K−1, která je v tabulkách uvedena pro hliník.
Odpověď
Měrná tepelná kapacita neznámého kovu je přibližně 916 J kg−1K−1, což podle tabulek zhruba odpovídá tepelné kapacitě hliníku.
