Určení kovu pomocí měření tepelné kapacity

Úloha číslo: 498

Do mosazného kalorimetru o hmotnosti 0,128 kg, ve kterém je 240 g vody o teplotě 8,4 °C, ponoříme kousek neznámého kovu o hmotnosti 192 g zahřátého na teplotu 100 °C. Vypočtete měrnou tepelnou kapacitu tohoto kovu a na základě této kapacity určete pomocí tabulek, o jaký kov se jedná, jestliže se teplota v kalorimetru ustálila na hodnotě 21,5 °C.

Předpokládejte, že měrná tepelná kapacita mosazi je 394 J kg−1K−1.

  • Nápověda

    Uvědomte si, co musí platit pro teplo odevzdané kouskem neznámého kovu a tepla přijatá kalorimetrem a vodou.

  • Rozbor

    Na počátku měl kalorimetr a voda v něm stejnou teplotu. Poté jsme do vody hodili kousek neznámého kovu o vyšší teplotě, který se začal ochlazovat a ohříval vodu i kalorimetr. Teplota se po nějaké době ustálila a kalorimetr, voda i kus kovu měly stejnou teplotu.

    Víme, že teplo odevzdané kouskem kovu musí být stejné jako součet tepel, které přijal kalorimetr a voda (tzv. kalorimetrická rovnice). Z této rovnosti už snadno vyjádříme měrnou tepelnou kapacitu neznámého kovu.

  • Zápis

    m0 = 0,128 kg hmotnost mosazného kalorimetru
    m1 = 240 g = 0,24 kg hmotnost vody
    t1 = 8,4 °C počáteční teplota vody
    m2 = 192 g = 0,192 kg hmotnost neznámého kovu
    t2 = 100 °C počáteční teplota neznámého kovu
    cm = 394 J kg−1K−1 měrná tepelná kapacita mosazi
    tv = 21,5 °C ustálená teplota v kalorimetru
    ck = ? měrná tepelná kapacita neznámého kovu

    Z tabulek:

    cv = 4180 J kg−1K−1 měrná tepelná kapacita vody
  • Řešení

    Vzhledem k tomu, že soustava je tepelně izolována, musí být teplo Qod odevzdané kovem rovno součtu tepel Qp1 a Qp2 přijatých vodou a kalorimetrem (tzv. kalorimetrická rovnice

    \[Q_{\mathrm{od}}=Q_{\mathrm{p1}}+Q_{\mathrm{p2}}.\]

    Pro jednotlivá tepla platí v souladu s tím, jak je definována měrná tepelná kapacita, následující vztahy:

    Qod = m2 ck (t2 − tv),

    Qp1 = m1 cv (tv − t1),

    Qp2 = m0 cm (tv − t1),

    kde ck je hledaná měrná tepelná kapacita kovu, cv vody a cm mosazi. Po dosazení do kalorimetrické rovnice získáme jednoduchou rovnici

    \[Q_{\mathrm{od}}=Q_{\mathrm{p1}}+Q_{\mathrm{p2}},\] \[m_2c_{\mathrm{k}}\left(t_2-t_{\mathrm{v}}\right)=\left(m_0c_{\mathrm{m}}+m_1c_{\mathrm{v}}\right)\left(t_{\mathrm{v}}-t_1\right),\]

    ze které vyjádříme hledanou kapacitu ck

    \[c_{\mathrm{k}}=\frac{\left(m_0c_{\mathrm{m}}+m_1c_{\mathrm{v}}\right)\left(t_{\mathrm{v}}-t_1\right)}{m_2\left(t_2-t_{\mathrm{v}}\right)}.\]

    Číselné dosazení:

    \[c_{\mathrm{k}}=\frac{\left(0{,}128\cdot{394}+0{,}24\cdot{4180}\right)\cdot\left(21{,}5-8{,}4\right)}{0{,}192\cdot\left(100-21{,}5\right)}\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\] \[c_{\mathrm{k}}\dot=916\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\]

    Porovnání s tabulkovou hodnotou:

    Nejblíže je této hodnotě hodnota 900 J kg−1K−1, která je v tabulkách uvedena pro hliník.

  • Odpověď

    Měrná tepelná kapacita neznámého kovu je přibližně 916 J kg−1K−1, což podle tabulek zhruba odpovídá tepelné kapacitě hliníku.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze