Rozsah teploměru
Úloha číslo: 394
Základem kapalinového teploměru je skleněná baňka s teploměrnou látkou o objemu 4,5 cm3, z níž vychází trubička délky 20 cm a s vnitřním obsahem příčného řezu 0,90 mm2. Určete maximální teplotní rozsahy teploměru v případech, že teploměrnou látkou je líh nebo rtuť. Který z nich by byl přesnější? Teplotní roztažnost skla zanedbejte.
Nápověda
Zvětšení objemu rtuti, resp. lihu při maximální teplotě, na kterou lze teploměr použít, se rovná objemu kapiláry.
Zápis
V = 4,5 cm3 objem baňky s kapalinou l = 20 cm délka trubičky S = 0,90 mm2 obsah průřezu trubičky Δt = ? Z tabulek βlíh = 1,1·10−3 °C−1 teplotní součinitel objemové roztažnosti lihu (etanolu) βHg = 0,2·10−3 °C−1 teplotní součinitel objemové roztažnosti rtuti Rozbor
Kapalinový teploměr využívá teplotní roztažnosti měřící látky (zde rtuti nebo lihu). Rozsah teploměru je rozdíl mezi maximální a minimální teplotou, které můžeme tímto teploměrem měřit. Při minimální teplotě bude hladina např. rtuti dosahovat přesně spodního konce trubičky. Pokud by hladina rtuti klesla ještě níže (byla až v nádobce), nelze s dostatečnou přesností určovat její polohu, a tedy ani teplotu. Při maximální teplotě je hladina rtuti u horního konce trubičky. Rozsah teploměru je tedy dán rozdílem teplot, jemuž odpovídá změna objemu rtuti stejná, jako je vnitřní objem trubičky.
Řešení
Objem kapaliny při maximální teplotě tmax, kterou lze teploměrem měřit:
\[V_{max} = V_o [1 + \beta (t_{max}-t_o)]\]kde Vo je objem kapaliny při vztažné teplotě to. Stejným způsobem vyjádříme objem kapaliny při minimální teplotě tmin:
\[V_{min} = V_o [1 + \beta (t_{min}-t_o)]\]Rozdíl maximální objemu Vmax a minimálního objemu Vmin odpovídá vnitřnímu objemu trubičky teploměru:
\[V_{\mathrm{trub}}=Sl\] \[V_{\mathrm{trub}}=V_{max}-V_{min}\] \[Sl=V_o[1+\beta(t_{max}-t_o)]-V_o[1+\beta(t_{min}-t_o)]\] \[Sl=V_o\beta(t_{max}-t_o-t_{min}+t_o)\] \[Sl=V_o\beta(t_{max}-t_{min})\] \[Sl=V_o\beta\Delta t\]Předpokládejme, že minimální teplota bude blízká vztažné teplotě. Potom objem V0 bude odpovídat objemu nádobky V.
\[Sl=V\beta\Delta t\] Dostáváme tedy vztah, ze kterého můžeme vyjádřit neznámý teplotní rozdíl Δt: \[\Delta t=\frac{Sl}{V\beta}\]Dosadíme zadané hodnoty pro obě teploměrné látky:
\[\Delta t=\frac{Sl}{V\beta_{lih}}=\frac{0{,}009\,\mathrm{cm^2}\,\cdot\,20\,\mathrm{cm}}{4{,}5\,\mathrm{cm}^3\,\cdot\,1{,}1\,\cdot\,10^{-3}\,\mathrm{^oC{-1}}}\dot{=}36\,\mathrm{^oC}\] \[\Delta t=\frac{Sl}{V\beta_{Hg}}=\frac{0{,}009\,\mathrm{cm^2}\,\cdot\,20\,\mathrm{cm}}{4{,}5\,\mathrm{cm}^3\,\cdot\,2\,\cdot\,10^{-4}\,\mathrm{^oC{-1}}}\dot{=}200\,\mathrm{^oC}\]Odpověď
Lihový teploměr uvedené konstrukce by měl rozsah 36 °C. Rtuťový teploměr uvedené konstrukce by měl rozsah až 200 °C.
Přesněji měřit teplotu by nám umožnil lihový teploměr, protože dílek stupnice odpovídající změně teploty o jeden stupeň Celsia by na něm byl větší. Na druhou stranu má líh skoro dvacetkrát větší měrnou tepelnou kapacitu, proto nebude reagovat tak rychle a více ovlivní měřenou teplotu.
Poznámka
Pokud porovnáme součinitele teplotní roztažnosti obou kapalin a skla
\[\beta= 3\alpha_{\mathrm{sklo}} = 3\cdot{8}\cdot{10^{-6}} \,\mathrm{K^{-1}} = 2{,}4\cdot{10^{-5}} \,\mathrm{K^{-1}} \]vidíme, že sklo se s teplotou roztahuje mnohem méně, a tedy zanedbání jeho teplotní roztažnosti bylo v této úloze oprávněné.
