Rozsah teploměru

Úloha číslo: 394

Základem kapalinového teploměru je skleněná baňka s teploměrnou látkou o objemu 4,5 cm3, z níž vychází trubička délky 20 cm a s vnitřním obsahem příčného řezu 0,90 mm2. Určete maximální teplotní rozsahy teploměru v případech, že teploměrnou látkou je líh nebo rtuť. Který z nich by byl přesnější? Teplotní roztažnost skla zanedbejte.

  • Nápověda

    Zvětšení objemu rtuti, resp. lihu při maximální teplotě, na kterou lze teploměr použít, se rovná objemu kapiláry.

  • Zápis

    V = 4,5 cm3 objem baňky s kapalinou
    l = 20 cm délka trubičky
    S = 0,90 mm2 obsah průřezu trubičky
    Δt = ?
    Z tabulek
    βlíh = 1,1·10−3 °C−1 teplotní součinitel objemové roztažnosti lihu (etanolu)
    βHg = 0,2·10−3 °C−1 teplotní součinitel objemové roztažnosti rtuti
  • Rozbor

    Kapalinový teploměr využívá teplotní roztažnosti měřící látky (zde rtuti nebo lihu). Rozsah teploměru je rozdíl mezi maximální a minimální teplotou, které můžeme tímto teploměrem měřit. Při minimální teplotě bude hladina např. rtuti dosahovat přesně spodního konce trubičky. Pokud by hladina rtuti klesla ještě níže (byla až v nádobce), nelze s dostatečnou přesností určovat její polohu, a tedy ani teplotu. Při maximální teplotě je hladina rtuti u horního konce trubičky. Rozsah teploměru je tedy dán rozdílem teplot, jemuž odpovídá změna objemu rtuti stejná, jako je vnitřní objem trubičky.

  • Řešení

    Objem kapaliny při maximální teplotě tmax, kterou lze teploměrem měřit:

    \[V_{max} = V_o [1 + \beta (t_{max}-t_o)]\]

    kde Vo je objem kapaliny při vztažné teplotě to. Stejným způsobem vyjádříme objem kapaliny při minimální teplotě tmin:

    \[V_{min} = V_o [1 + \beta (t_{min}-t_o)]\]

    Rozdíl maximální objemu Vmax a minimálního objemu Vmin odpovídá vnitřnímu objemu trubičky teploměru:

    \[V_{\mathrm{trub}}=Sl\] \[V_{\mathrm{trub}}=V_{max}-V_{min}\] \[Sl=V_o[1+\beta(t_{max}-t_o)]-V_o[1+\beta(t_{min}-t_o)]\] \[Sl=V_o\beta(t_{max}-t_o-t_{min}+t_o)\] \[Sl=V_o\beta(t_{max}-t_{min})\] \[Sl=V_o\beta\Delta t\]

    Předpokládejme, že minimální teplota bude blízká vztažné teplotě. Potom objem V0 bude odpovídat objemu nádobky V.

    \[Sl=V\beta\Delta t\] Dostáváme tedy vztah, ze kterého můžeme vyjádřit neznámý teplotní rozdíl Δt: \[\Delta t=\frac{Sl}{V\beta}\]

    Dosadíme zadané hodnoty pro obě teploměrné látky:

    \[\Delta t=\frac{Sl}{V\beta_{lih}}=\frac{0{,}009\,\mathrm{cm^2}\,\cdot\,20\,\mathrm{cm}}{4{,}5\,\mathrm{cm}^3\,\cdot\,1{,}1\,\cdot\,10^{-3}\,\mathrm{^oC{-1}}}\dot{=}36\,\mathrm{^oC}\] \[\Delta t=\frac{Sl}{V\beta_{Hg}}=\frac{0{,}009\,\mathrm{cm^2}\,\cdot\,20\,\mathrm{cm}}{4{,}5\,\mathrm{cm}^3\,\cdot\,2\,\cdot\,10^{-4}\,\mathrm{^oC{-1}}}\dot{=}200\,\mathrm{^oC}\]
  • Odpověď

    Lihový teploměr uvedené konstrukce by měl rozsah 36 °C. Rtuťový teploměr uvedené konstrukce by měl rozsah až 200 °C.

    Přesněji měřit teplotu by nám umožnil lihový teploměr, protože dílek stupnice odpovídající změně teploty o jeden stupeň Celsia by na něm byl větší. Na druhou stranu má líh skoro dvacetkrát větší měrnou tepelnou kapacitu, proto nebude reagovat tak rychle a více ovlivní měřenou teplotu.

  • Poznámka

    Pokud porovnáme součinitele teplotní roztažnosti obou kapalin a skla

    \[\beta= 3\alpha_{\mathrm{sklo}} = 3\cdot{8}\cdot{10^{-6}} \,\mathrm{K^{-1}} = 2{,}4\cdot{10^{-5}} \,\mathrm{K^{-1}} \]

    vidíme, že sklo se s teplotou roztahuje mnohem méně, a tedy zanedbání jeho teplotní roztažnosti bylo v této úloze oprávněné.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na hodnocení
Zaslat komentář k úloze