Sbírka řešených úloh

Rozsah teploměru

Úloha číslo: 394

• Nápověda

  Zvětšení objemu rtuti, resp. lihu při maximální teplotě, na kterou lze teploměr použít, se rovná objemu kapiláry.

• Zápis

  V = 4,5 cm3		objem baňky s kapalinou
  l = 20 cm		délka trubičky
  S = 0,90 mm2		obsah průřezu trubičky
  Δt = ?
  Z tabulek
  βlíh = 1,1·10−3 °C−1		teplotní součinitel objemové roztažnosti lihu (etanolu)
  βHg = 0,2·10−3 °C−1		teplotní součinitel objemové roztažnosti rtuti

• Rozbor

  Kapalinový teploměr využívá teplotní roztažnosti měřící látky (zde rtuti nebo lihu). Rozsah teploměru je rozdíl mezi maximální a minimální teplotou, které můžeme tímto teploměrem měřit. Při minimální teplotě bude hladina např. rtuti dosahovat přesně spodního konce trubičky. Pokud by hladina rtuti klesla ještě níže (byla až v nádobce), nelze s dostatečnou přesností určovat její polohu, a tedy ani teplotu. Při maximální teplotě je hladina rtuti u horního konce trubičky. Rozsah teploměru je tedy dán rozdílem teplot, jemuž odpovídá změna objemu rtuti stejná, jako je vnitřní objem trubičky.

• Řešení

  Objem kapaliny při maximální teplotě t_max, kterou lze teploměrem měřit:

  $$V_{max} = V_o [1 + \beta (t_{max}-t_o)]$$

  kde V_o je objem kapaliny při vztažné teplotě t_o. Stejným způsobem vyjádříme objem kapaliny při minimální teplotě t_min:

  $$V_{min} = V_o [1 + \beta (t_{min}-t_o)]$$

  Rozdíl maximální objemu V_max a minimálního objemu V_min odpovídá vnitřnímu objemu trubičky teploměru:

  $$V_{\mathrm{trub}}=Sl$$ $$V_{\mathrm{trub}}=V_{max}-V_{min}$$ $$Sl=V_o[1+\beta(t_{max}-t_o)]-V_o[1+\beta(t_{min}-t_o)]$$ $$Sl=V_o\beta(t_{max}-t_o-t_{min}+t_o)$$ $$Sl=V_o\beta(t_{max}-t_{min})$$ $$Sl=V_o\beta\Delta t$$

  Předpokládejme, že minimální teplota bude blízká vztažné teplotě. Potom objem V₀ bude odpovídat objemu nádobky V.

  $$Sl=V\beta\Delta t$$ Dostáváme tedy vztah, ze kterého můžeme vyjádřit neznámý teplotní rozdíl Δt: $$\Delta t=\frac{Sl}{V\beta}$$

  Dosadíme zadané hodnoty pro obě teploměrné látky:

  $$\Delta t=\frac{Sl}{V\beta_{lih}}=\frac{0{,}009\,\mathrm{cm^2}\,\cdot\,20\,\mathrm{cm}}{4{,}5\,\mathrm{cm}^3\,\cdot\,1{,}1\,\cdot\,10^{-3}\,\mathrm{^oC{-1}}}\dot{=}36\,\mathrm{^oC}$$ $$\Delta t=\frac{Sl}{V\beta_{Hg}}=\frac{0{,}009\,\mathrm{cm^2}\,\cdot\,20\,\mathrm{cm}}{4{,}5\,\mathrm{cm}^3\,\cdot\,2\,\cdot\,10^{-4}\,\mathrm{^oC{-1}}}\dot{=}200\,\mathrm{^oC}$$

• Odpověď

  Lihový teploměr uvedené konstrukce by měl rozsah 36 °C. Rtuťový teploměr uvedené konstrukce by měl rozsah až 200 °C.

  Přesněji měřit teplotu by nám umožnil lihový teploměr, protože dílek stupnice odpovídající změně teploty o jeden stupeň Celsia by na něm byl větší. Na druhou stranu má líh skoro dvacetkrát větší měrnou tepelnou kapacitu, proto nebude reagovat tak rychle a více ovlivní měřenou teplotu.

• Poznámka

  Pokud porovnáme součinitele teplotní roztažnosti obou kapalin a skla

  $$\beta= 3\alpha_{\mathrm{sklo}} = 3\cdot{8}\cdot{10^{-6}} \,\mathrm{K^{-1}} = 2{,}4\cdot{10^{-5}} \,\mathrm{K^{-1}}$$

  vidíme, že sklo se s teplotou roztahuje mnohem méně, a tedy zanedbání jeho teplotní roztažnosti bylo v této úloze oprávněné.