Sbírka řešených úloh

Práce van der Waalsova plynu

Úloha číslo: 417

• Nápověda

  Van der Waalsovův plyn je popsán stavovou rovnicí

  \[\left( p+\frac{n^{2}a}{V_{1}^{2}}\right) \left( V_{1}-nb\right) = nRT,\]

  kde V je objem plynu, p tlak plynu, n látkové množství, R univerzální molární plynová konstanta, T termodynamická teplota, a a b zadané konstanty (charakterizující konkrétní plyn).

  Rozmyslete si, jak spočítat práci plynu, pokud je tlak funkcí objemu.

• Rozbor

  V této úloze musíme pro výpočet práce plynu použít integrální počet, protože tlak je funkcí objemu. Ze stavové rovnice van der Waalsova plynu vyjádříme tlak pomocí objemu a získanou funkci zintegrujeme podle objemu. Jako meze integrálu použijeme počáteční a koncový objem.

  Pro získání číselného výsledku bude ještě potřeba z rovnice pro van der Waalsův plyn spočítat teplotu.

• Zápis

  a = 0,137 J m3 mol−2	konstanta z modelu pro van der Waalsův plyn
  b = 38,7·10−6 m3 mol−1	konstanta z modelu pro van der Waalsův plyn
  V1 = 10 l = 10 dm3 = 0,01 m3	počáteční objem plynu
  V2 = 5V1 = 0,05 m3	objem po izotermickém rozepnutí
  p1 = 300 kPa = 3·105 Pa	počáteční tlak plynu
  n = 1 mol	látkové množství plynu
  W = ?	práce vykonaná plynem při izotermickém rozepnutí

  Z tabulek:

  R = 8,31 J K−1 mol−1

  univerzální plynová konstanta

• Řešení

  Z van der Waalsovy stavové rovnice

  \[\left( p+\frac{n^{2}a}{V^{2}}\right) \left( V-nb\right) = nRT,\]

  kde V je objem plynu, p tlak plynu, n látkové množství, R univerzální plynová konstanta, T termodynamická teplota, a a b zadané konstanty,

  si nejprve spočteme teplotu plynu T. Plyn se rozpíná izotermicky, proto je teplota T konstantní. Vyjádříme ji pomocí počátečního objemu V₁ a tlaku p₁.

  Dostaneme:

  \[T = \frac{\left( p_1+\frac{n^{2}a}{V_{1}^{2}}\right) \left( V_{1}-nb\right) }{nR}.\]

   

  Nyní si uvědomíme, že práci plynu vykonanou při malé změně objemu dV spočítáme pomocí vztahu

  \[\mathrm{d}W = p\mathrm{d}V.\]

  Celkovou vykonanou práci pak stanovíme integrací v mezích daných počátečním objemem plynu V₁ a koncovým objemem V₂ = 5V₁. (K integraci musíme přistoupit proto, že se tlak plynu během děje spojitě mění. Není proto možné použít jednoduchý vzorec W =p(V₂-V₁), jenž platí pro izobarický děj, kdy je tlak konstantní!).

  Ze základního tvaru van der Waalsovy rovnice si vyjádříme tlak jako funkci objemu; budeme za něj muset v dalším výpočtu dosadit:

  \[\left( p+\frac{n^{2}a}{V^{2}}\right) \left( V-nb\right) = nRT \Rightarrow p+\frac{n^{2}a}{V^{2}} = \frac{nRT}{V-nb}\Rightarrow\] \[\Rightarrow p= \frac{nRT}{V-nb}-\frac{n^{2}a}{V^{2}}.\]

  Nyní již můžeme přistoupit k samotné integraci:

  \[W = \int_{V_{1}}^{V_{2}}{p}\, \mathrm{d}V = \int_{V_{1}}^{5V_{1}}{\left( \frac{nRT}{V-nb}-\frac{n^{2}a}{V^{2}}\right)} \, \mathrm{d}V =\]

  vytkneme konstanty před integrály

  \[=nRT\int_{V_{1}}^{5V_{1}}{\frac{1}{V-nb}}\, \mathrm{d}V - n^{2}a \int_{V_{1}}^{5V_{1}}{\frac{1}{V^{2}}}\, \mathrm{d}V =\]

  zintegrujeme a dosadíme meze

  \[=nRT\left[ \ln \left( V-nb\right) \right] _{V_{1}}^{5V_{1}} + n^{2}a\left[ \frac{1}{V} \right] _{V_{1}}^{5V_{1}} =\] \[=nRT\ln \frac{5V_{1}-nb}{V_{1}-nb}+n^{2}a\left( \frac{1}{5V_{1}}-\frac{1}{V_{1}}\right) \] \[=nRT\ln \frac{5V_{1}-nb}{V_{1}-nb}- \frac{4n^{2}a}{5V_{1}}.\]

• Číselné dosazení

  \[T = \frac{\left( p+\frac{n^{2}a}{V_{1}^{2}}\right) \left( V_{1}-nb\right) }{nR} = \frac{\left( 3\cdot{ 10^{5}}+\frac{0{,}137}{10^{-4}}\right) \cdot \left( 0{,}01-38{,}7\cdot{ 10^{-6}}\right) }{8{,}31}\, \mathrm{K}\] \[T \dot{=} 361{,}3\, \mathrm{K}\]

   

  \[W=nRT\ln \frac{5V_{1}-nb}{V_{1}-nb}-\frac{4n^{2}a}{5V_{1}} \] \[W=\left(8{,}31\cdot{ 361{,}3}\cdot \ln \frac{0{,}05-38{,}7\cdot{ 10^{-6}}}{0{,}01-38{,}7\cdot{ 10^{-6}}}- \frac{4\cdot{0{,}137}}{0{,}05}\right) \, \mathrm{J}\] \[W \dot{=} 4830{,}5\, \mathrm{J}\dot{=} 4{,}8\, \mathrm{kJ}\]

• Odpověď

  Plyn chovající se podle modelu van der Waalsovského plynu vykonal při expanzi práci asi 4,8 kJ.