Sbírka řešených úloh

Měrná tepelná kapacita směsi tří plynů

Úloha číslo: 503

• Nápověda 1

  Vyhledejte si vztah mezi měrnou tepelnou kapacitou při stálém objemu a měrnou tepelnou kapacitou při stálém tlaku.

• Řešení nápovědy 1

  Pro přepočet měrné tepelné kapacity při stálém objemu c_v na měrnou tepelnou kapacitu při stálém tlaku c_p se používá tzv. Mayerův vztah:

  \[c_{\mathrm{p}}=c_{\mathrm{v}}+\frac{R}{M_m}\,\mathrm{,}\]

  kde R je molární plynová konstanta a M_m molární hmotnost látky.

• Nápověda 2

  Měrná tepelná kapacita při stálém tlaku směsi tří plynů se vypočítá jako vážený průměr měrných tepelných kapacit při stálém tlaku jednotlivých složek směsi, přičemž příslušnými váhami jsou hmotnosti složek směsi.

• Řešení nápovědy 2

  Tady si vysvětlíme, proč měrnou tepelnou kapacitu směsi počítáme jako vážený průměr měrných tepelných kapacit jednotlivých složek, kde příslušnými vahami jsou hmotnosti jednotlivých složek.

  Pro jednotlivé složky směsi platí vztahy:

  Q₁ = m₁ c_p (CO) Δt,

  Q₂ = m₂ c_p (N₂) Δt,

  Q₃ = m₃ c_p (O₂) Δt,

  kde Q_i je teplo dodané nebo přijaté jednotlivými složkami, m_i jsou hmotnosti jednotlivých složek, c_p jsou měrné tepelné kapacity při stálém tlaku jednotlivých složek směsi a Δt je změna teploty.

  Celkové teplo dodané nebo přijaté směsí vypočítáme jako součet tepel pro jednotlivé složky:

  Q = Q₁ + Q₂ + Q₃ = m₁ c_p (CO) Δt + m₂ c_p (N₂) Δt + m₃ c_p (O₂) Δt

  Nyní vzorec upravíme tak, abychom v něm měli součin celkové hmotnosti směsi, a změny teploty a „zbytku“, který bude představovat právě hledanou měrnou tepelnou kapacitu směsi při stálém tlaku. Tj. chceme dostat:

  Q = m c_p Δt,

  kde m = m₁ + m₂ + m₃ a c_p je hledaná měrná tepelná kapacita směsi při stálém tlaku.

  Ve vztahu pro teplo Q vytkneme změnu teploty Δt:

  \[Q=\left(m_1c_p\left(\mathrm{CO}\right)+m_2c_p\left(\mathrm{N_2}\right)+m_3c_p\left(\mathrm{O_2}\right)\right)\mathrm{\Delta}t\]

  a rozšíříme celkovou hmotností m = m₁ + m₂ + m₃:

  \[Q=\left(m_1+m_2+m_3\right)\left[\frac{m_1c_p\left(\mathrm{CO}\right)+m_2c_p\left(\mathrm{N_2}\right)+m_3c_p\left(\mathrm{O_2}\right)}{m_1+m_2+m_3}\right]\mathrm{\Delta}t\]

  Nyní už vidíme, že pro c_p platí vztah:

  \[c_p=\frac{m_1c_p\left(\mathrm{CO}\right)+m_2c_p\left(\mathrm{N_2}\right)+m_3c_p\left(\mathrm{O_2}\right)}{m_1+m_2+m_3}\,\mathrm{,}\]

  což je vážený průměr měrných tepelných kapacit při stálém tlaku jednotlivých složek směsi, kde příslušnými váhami jsou hmotnosti jednotlivých složek.

• Zápis

  m1 = 3 g	hmotnost CO
  m2 = 1 g	hmotnost N2
  m3 = 2,2 g	hmotnost O2
  cv (CO) = 745 J kg−1K−1	měrná tepelná kapacita CO při stálém objemu
  cv (N2) = 741 J kg−1K−1	měrná tepelná kapacita N2 při stálém objemu
  cv (O2) = 648 J kg−1K−1	měrná tepelná kapacita O2 při stálém objemu
  cp = ?	měrná tepelná kapacita při stálém tlaku pro směs těchto tří plynů

  Z tabulek:

  R = 8,31 J K−1mol−1	molární plynová konstanta
  Mm (CO) = 28 g mol−1= 28·10−3 kg mol−1	molární hmotnost CO
  Mm (N2) = 28 g mol−1= 28·10−3 kg mol−1	molární hmotnost N2
  Mm (O2) = 32 g mol−1= 32·10−3 kg mol−1	molární hmotnost O2

• Řešení

  Nejprve si pomocí Mayerova vztahu vyjádříme měrné tepelné kapacity při stálém tlaku pro jednotlivé složky. Bude platit:

  \[c_{\mathrm{p}}\left(\mathrm{CO}\right)=c_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{CO}\right)+\frac{R}{M_m\left(\mathrm{CO}\right)}\,\mathrm{,}\] \[c_{\mathrm{p}}\left(\mathrm{N_2}\right)=c_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{N_2}\right)+\frac{R}{M_m\left(\mathrm{N_2}\right)}\,\mathrm{,}\] \[c_{\mathrm{p}}\left(\mathrm{O_2}\right)=c_{\mathrm{v}}\left(\mathrm{O_2}\right)+\frac{R}{M_m\left(\mathrm{O_2}\right)}\,\mathrm{.}\]

  Pozor, za molární hmotnosti je nutné dosazovat v kilogramech na mol!

  Kapacitu směsi pak spočteme jako vážený průměr z uvedených kapacit jednotlivých složek, přičemž příslušnými váhami jsou hmotnosti jednotlivých složek. Platí tedy:

  \[c_{\mathrm{p}}=\frac{m_1c_{\mathrm{p}}\left(\mathrm{CO}\right)+m_2c_{\mathrm{p}}\left(\mathrm{N_2}\right)+m_3c_{\mathrm{p}}\left(\mathrm{O_2}\right)}{m_1+m_2+m_3}\,\mathrm{.}\]

  Číselné dosazení:

  Výpočet měrných tepelných kapacit při stálem tlaku pro jednotlivé složky směsi:

  \[c_{\mathrm{p}}\left(\mathrm{CO}\right)= \left(745+\frac{8{,}31}{28\cdot{10^{-3}}}\right)\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\dot=1041{,}8\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\] \[c_{\mathrm{p}}\left(\mathrm{N_2}\right)=\left(741+\frac{8{,}31}{28\cdot{10^{-3}}}\right)\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\dot=1037{,}8\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\] \[c_{\mathrm{p}}\left(\mathrm{O_2}\right)=\left(648+\frac{8{,}31}{32\cdot{10^{-3}}}\right)\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\dot=907{,}7\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\]

  Výpočet měrné tepelné kapacity při stálém tlaku pro směs tří plynů:

  \[c_{\mathrm{p}}=\frac{3\cdot{1041{,}8}+1\cdot{1037{,}8}+2{,}2\cdot{907{,}7}}{3+1+2{,}2}\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\] \[c_{\mathrm{p}}\dot=994\,\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}\]

• Odpověď

  Měrná tepelná kapacita směsi při stálém tlaku je přibližně 994 J kg⁻¹K⁻¹.