Součinitel difúze
Úloha číslo: 454
Průměr atomu hélia je 0,2 nm. Stanovte součinitel difúze hélia za normálních podmínek.
Nápověda 1
V zadání je uvedeno, že děj probíhá za normálních podmínek. Co to znamená?
Nápověda 2 – součinitel difúze
Součinitel difúze D, zjednodušeně řečeno, udává, jak rychle se bude vyrovnávat koncentrace daného plynu v nádobě, kde byl na počátku plyn nahuštěn pouze v jedné oblasti. Objevuje se v tzv. rovnici difúze, což je parciální diferenciální rovnice používaná při řešení celé řady fyzikálních i technických problémů. Metodami kinetické teorie plynů se dá odvodit, že součinitel difúze D závisí na střední rychlosti molekul plynu \(\bar{v}\) a střední volné dráze \(\bar{\lambda}\) vztahem
\[D\,=\,\frac{1}{2}\bar{v}\bar{\lambda}.\]Vzorce, pomocí nichž lze vyjádřit střední rychlost molekul a střední volnou dráhu, jsou uvedené v části Řešení.
Zápis
d = 0,2 nm = 2·10−10 m průměr atomu hélia D = ? součinitel difúze
Z tabulek:
T = 273,15 K teplota za normálních podmínek p = 101 325 Pa tlak za normálních podmínek Mm = 0,004 kg mol−1 molární hmotnost hélia R = 8,31 JK−1mol−1 molární plynová konstanta k = 1,38·10−23 JK−1 Boltzmannova konstanta Rozbor
Součinitel difúze, zjednodušeně řečeno, udává, jak rychle se bude vyrovnávat koncentrace daného plynu v nádobě, kde byl na počátku plyn nahuštěn pouze v jedné oblasti.
Pro jeho výpočet použijeme vzorec, podle kterého je součinitel difúze přímo úměrný střední rychlosti molekul a střední volné dráze.
Zmíněné veličiny určíme pomocí známých vzorců.
Řešení
Pro výpočet součinitele difúze D použijeme vztah
\[D=\frac{1}{2}\bar{v}\bar{\lambda},\]kde \(\bar{v}\) je střední rychlost molekul a \(\bar{\lambda}\) střední volná dráha.
Tyto dvě veličiny nemáme zadané, můžeme je však určit pomocí vzorců:
\[\bar{v}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{m}}},\] \[\bar{\lambda}=\frac{kT}{p d^{2}\pi \sqrt{2}},\]kde R je molární plynová konstanta, T teplota za normálních podmínek, Mm molární hmotnost hélia, k Boltzmannova konstanta, p tlak za normálních podmínek a d průměr atomu hélia.
Dosazením do původního vzorce pro součinitel difúze D ihned dostáváme
\[D=\frac{1}{2}\bar{v}\bar{\lambda}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{m}}}\,\frac{kT}{p d^{2}\pi\sqrt{2}}.\]Číselné dosazení
\[D=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{m}}}\,\frac{kT}{p d^{2}\pi\sqrt{2}}\] \[D=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{8\cdot{8{,}31}\cdot{273{,}15}}{\pi\cdot{0{,}004}}}\cdot\frac{1{,}38\cdot{10^{-23}}\cdot{273{,}15}}{101\,325\cdot{2^2}\cdot{10^{-20}}\cdot\pi\cdot\sqrt{2}}\,\mathrm{m^{2}s^{-1}}\] \[D\dot{=}1{,}26\cdot{10^{-4}}\,\mathrm{m^{2}s^{-1}}\]Odpověď
Součinitel difúze hélia je za normálních podmínek přibližně 1,26·10−4 m2s−1.
Přesnost řešení
U vzorce pro koeficient difúze není konstanta přesně 1/2, jak jsme uvedli v úloze. Tento údaj vychází z přibližného teoretického výpočtu, podrobnější rozbor dává poněkud jiné hodnoty. Proto je možné, že se náš výsledek zcela neshoduje se skutečnou hodnotou.
