Sbírka řešených úloh

Odhad hustoty vodíku použitím modelu ideálního plynu

Úloha číslo: 361

• Nápověda 1

  Napište si stavovou rovnici pro ideální plyn a uvědomte si, co v této rovnici znáte a co musíte ještě vyjádřit.

  Nezapomeňte, že hustota je podíl hmotnosti a objemu.

• Nápověda 2

  Relativní atomová hmotnost vodíku je A_r(H) = 1,008.

  Vodík ale tvoří dvouatomové molekuly H₂, jejichž relativní molekulová hmotnost je M_r(H₂) = 2,016.

• Rozbor

  Nejprve si napíšeme stavovou rovnici. V ní se kromě známého tlaku, teploty a plynové konstanty nachází objem, který využijeme při výpočtu hustoty, a látkové množství. Neznámé látkové množství vodíku si vyjádříme jako podíl celkové hmotnosti vodíku a jeho molární hmotnosti (pozor: vodík tvoří dvouatomové molekuly).

  Hustota je podíl hmotnosti a objemu, tento podíl vyjádříme ze stavové rovnice.

• Zápis

  p = 101 325 Pa	normální tlak
  T = 293,15 K	teplota
  ρ = ?	hustota vodíku H2

  Z tabulek:

  R = 8,31 J K−1mol−1	molární plynová konstanta
  Ar(H) = 1,008	relativní atom. hmotnost vodíku H

• Řešení

  Vyjdeme ze stavové rovnice ideálního plynu:

  \[pV=nRT,\]

  do níž dosadíme za látkové množství n:

  \[n=\frac{m}{M_{\mathrm{m}}}\,.\]

  Z takto upraveného vztahu pak již můžeme snadno vyjádřit hledanou hustotu:

  \[pV=\frac{m}{M_{\mathrm{m}}}RT,\] \[pM_{\mathrm{m}}=\frac{m}{V}RT,\] \[pM_{\mathrm{m}}=\rho RT,\] \[\rho=\frac{pM_{\mathrm{m}}}{RT}.\]

  Číselné dosazení:

  Před číselným dosazením je třeba si ještě uvědomit, že molární hmotnost vodíku je

  \[M_{\mathrm{m}}=2{,}016\,\mathrm{g\,·mol^{-1}}\,,\]

  protože vodík tvoří dvouatomové molekuly:

  \[\rho=\frac{pM_{\mathrm{m}}}{RT}=\frac{101325\cdot{ 2{,}016}\cdot{10^{-3}}}{8{,}31\cdot{293{,}15}}\,\mathrm{kg\,m^{-3}}\dot= 0{,}084\,\mathrm{kg·m^{-3}}\,.\]

   

  Porovnání s tabulkovou hodnotou:

  Tabulková hodnota hustoty vodíku je

  ρ_t = 0,08988 kg·m⁻³.

  Rozdíl mezi vypočítanou a tabulkovou hodnotou je nepatrný, což znamená, že vodík za normálních podmínek lze s dostatečnou přesností pokládat za ideální plyn.

   

  Pro zajímavost:

  Hustota suchého vzduchu v nulové nadmořské výšce za daného tlaku a teploty je dle tabulek:

  ρ_vz = 1,205 kg·m⁻³.

  Hustota vodíku za normálního tlaku a teploty je mnohem menší než hustota vzduchu.

• Odpověď

  Vypočtená hustota vodíku při normálním tlaku a teplotě je rovna 0,084 kg·m⁻³. Od tabulkové hodnoty se liší jen nepatrně, proto můžeme vodík za normálních podmínek s dostatečnou přesností považovat za ideální plyn.