Atomy v železném závaží

Úloha číslo: 333

Představte si železné závaží o hmotnosti 1 kg. Určete:

a) O jaké látkové množství se jedná?

b) Kolik obsahuje atomů?

c) Kolik obsahuje elektronů celkem a kolik jich je valenčních?

d) Určete, kolik procent hmotnosti tohoto závaží je tvořeno elektrony?

e) Jak velký objem odpovídá jednomu atomu?

f) Kdybychom si představili atomy jako malé krychličky naskládané vedle sebe, jak velká by byla hrana takové „jednoatomové krychličky“?

g) Jak dlouhá řada by vznikla, pokud bychom tyto „krychličky“ seřadili těsně za sebe? Přirovnejte tuto vzdálenost ke vzdálenosti nějakých dvou skutečných míst.

  • Nápověda: Látkové množství

    Vzhledem k tomu, že běžná množství látek obsahují velmi vysoký počet částic, nepočítáme jejich počet obvykle na kusy, ale jako jedna ze základních jednotek soustavy SI je zavedena jednotka mol. Příslušné fyzikální veličině říkáme látkové množství n.

    Látkové množství 1 mol znamená přibližně 6,02·1023 částic. Tento počet vyjadřuje tzv. Avogadrova konstanta \(N_A\,\dot=\, 6{,}02 \cdot{10^{23}}\,\mathrm{mol^{-1}}\). Látkové množství n tedy můžeme určit jako podíl celkového počtu částic v tělese N a Avogadrovy konstanty NA

    \[n\,=\,\frac{N}{N_A}\,.\]
  • Nápověda: Hmotnosti

    V tabulkách nalezneme tzv. relativní atomovou hmotnost Ar jednotlivých prvků, jedná se o bezrozměrné číslo, které se číselně rovná hmotnosti tělesa o látkovém množství jeden mol v gramech. To znamená, že pro molární hmotnost Mm (= hmotnost 1 molu částic) platí:

    \[M_m\,=\,A_r \,\cdot\, 1 \,\mathrm{\frac{g}{mol}}\,=\,A_r \,\cdot\, 10^{-3}\, \mathrm{\frac{kg}{mol}}\,.\]

    Současně se relativní atomová hmotnost rovná podílu hmotnosti jedné částice (např. atomu) m0 a atomové hmotnostní konstanty \(m_u\,\dot=\, 1{,}66 \cdot{10^{-27}}\,\mathrm{kg}.\) Tedy

    \[A_r\,=\, \frac{m_0}{m_u}\hspace{20px} \Rightarrow\hspace{20px} m_0\,=\,A_r \,m_u\,.\]

    Dvojí význam relativní atomové hmotnosti je dán tím, že mezi oběma výše uvedenými konstantami platí  mu NA = 10-3 kg mol-1 (daný definicí obou konstant).

  • Definice a komentář k významu konstant

    Atomová hmotnostní konstanta mu je definována jako \(\frac{1}{12}\) klidové hmotnosti atomu uhlíku \(^{12}_{\,\,6}\mathrm{C}\). Tento atom se skládá ze šesti protonů, šesti neutronů a šesti elektronů. Hmotnost elektronu je v porovnání s hmotností protonu a neutronu zanedbatelná. Naopak hmotnosti protonu a neutronu jsou velmi blízké. Z toho plyne, že atomovou hmotnostní konstantu bychom mohli také chápat jako přibližnou hmotnost jednoho nukleonu (= protonu nebo neutronu) a relativní atomovou hmotnost potom jako počet nukleonů v atomu. Odtud plyne, že hmotnost atomu m0 lze spočítat jako součin „počtu nukleonů“ a „hmotnosti jednoho nukleonů“.

    Avogadrova konstanta NA je definována jako počet atomů ve dvanácti gramech nuklidu uhlíku \(^{12}_{\,\,6}\mathrm{C}\). Pokud si promyslíte definice obou konstant, lehce zdůvodníte vztah mezi nimi uvedený v předchozím oddílu.

  • a) Řešení: Látkové množství

    V tabulkách nalezneme pro železo: Ar = 55,845

    To znamená, že molární hmotnost železa je Mm = 55,845·10-3 kg mol-1.

    Látkové množství (= „počet molů“) zjistíme tak, že celkovou hmotnost závaží m vydělíme molární hmotností Mm:

    \[n\,=\,\frac{m}{M_m}\,=\,\frac{1 \mathrm{kg}}{55{,}845 \,\cdot\, 10^{-3}\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}}\,\dot=\,17{,}9\,\mathrm{mol}\]
  • b) Řešení: Počet atomů

    Počet atomů N v závaží můžeme spočítat dvěma různými způsoby. Můžeme využít známé látkové množství n a Avogadrovu konstantu NA:

    \[ N\,=\,n N_A\,=\,\frac{m N_A}{M_m}\,,\] \[N\,=\,\frac{1 \mathrm{kg}\,\cdot\,6{,}022\,\cdot\,10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}}{55{,}845 \,\cdot\, 10^{-3}\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}}\,,\] \[N\,\dot=\,1{,}08 \,\cdot\,10^{25}\]

    nebo využijeme znalost hmotnosti jedné částice (z relativní atomové hmotnosti):

    \[N\,=\,\frac{m}{m_0}\,=\,\frac{m}{A_r m_u}\,,\] \[N\,=\,\frac{1 \mathrm{kg}}{55{,}845 \,\cdot\,1{,}66\,\cdot\, 10^{-27}\,\mathrm{kg}}\,,\] \[N\,\dot=\,1{,}08 \,\cdot\,10^{25}\,.\]
  • c) Řešení: Počet elektronů

    Jeden atom železa obsahuje 26 elektronů, z toho je 8 elektronů valenčních (2 patří do slupky 4s2 a 6 jich patří do slupky 3d6).

    Celkový počet elektronů:

    \[N_e\,=\,26N\,.\]

    N jsme vypočítali v předchozím oddíle \(N\,\dot=\,1{,}08 \,\cdot\,10^{25}\).

    \[N_e\,=\,26\,\cdot\, 1{,}08 \,\cdot\, 10^{25}\,=\, 2{,}8\,\cdot\, 10^{26}\]

    Celkový počet valenčních elektronů:

    \[N_v\,=\,8N\,=\, 8\,\cdot\,1{,}08\,\cdot\,10^{25}\,=\, 8{,}6\,\cdot\,10^{25}\]
  • d) Řešení: Hmotnost elektronů

    Hmotnost jednoho elektronu me = 9,11·10-31 kg.

    Hmotnost všech elektronů:

    \[m_\mathrm{{elektronu}}\,=\,N_e m_e \] \[ m_\mathrm{{elektronu}}\,=\,2{,}8\,\cdot\, 10^{26}\,\cdot\, 9{,}11\,\cdot\,10^{-31} \,\mathrm{kg} \] \[ m_\mathrm{{elektronu}}\,\dot=\, 2{,}6\,\cdot\, 10^{-4} \,\mathrm{kg}\,,\]

    což odpovídá 0,026 % = 0,26 ‰.

    Elektrony přispívají zanedbatelně k celkové hmotnosti atomu.

  • e) Řešení: Objem připadající na jeden atom

    K tomu, abychom určili objem připadající na jeden atom, musíme určit nejprve objem celého závaží pomocí hustoty: ρ = 7 900 kg m-3.

    \[V\,=\,\frac{m}{\varrho}\,=\,\frac{1}{7\,900}\,\mathrm{m}^3 \] \[V\,\dot=\,1{,}27\,\cdot\,10^{-4}\,\mathrm{m}^3\]

    Objem připadající na jeden atom V0 získáme vydělením celkové objemu počtem atomů:

    \[V_0\,=\,\frac{V}{N}\,\dot=\,\frac{1{,}27\,\cdot\, 10^{-4}}{1{,}08\,\cdot\, 10^{25}}\,\mathrm{m}^3\,, \] \[V_0\,\dot=\,1{,}17\,\cdot\,10^{-29}\,\mathrm{m}^3\,.\]

    Nebo můžeme do předchozího vztahu za N dosadit obecný vzorec a vztah upravit:

    \[V_0\,=\,\frac{V}{N}\,=\,\frac{m}{N \varrho}\,=\,\frac{m}{\frac{m N_A}{M_m}\,\varrho}\,=\,\frac{M_m}{\varrho\,N_A}\] \[V_0\,\dot=\,\frac{55{,}845\,\cdot\, 10^{-3}}{6{,}022\,\cdot\, 10^{23}\,\cdot\,7900}\,\mathrm{m}^3\] \[V_0\,\dot=\,1{,}17\,\cdot\, 10^{-29}\,\mathrm{m}^3\]
  • f) a g) Řešení: Hrana krychle a délka řady

    f) Pro objem krychle V platí: V = a3, kde a je délka její hrany.

    Délka hrany pomyslné „jednoatomové krychličky“ tedy bude:

    \[a\,=\, \sqrt[3]{V_0}\dot=\,\sqrt[3]{1{,}17\,\cdot\,10^{-29}}\,\mathrm{m}\,,\] \[a\,\dot=\,2{,}27\,\cdot\,10^{-10}\,\mathrm{m}\,.\]

    g) Pokud bychom srovnali tyto krychličky do řady za sebe, tak délka řady by byla:

    \[l\,=\, N \cdot\,a\,\dot=\,1{,}08\,\cdot\,10^{25}\,\cdot\, 2{,}27\,\cdot\,10^{-10}\,\mathrm{m}\,,\] \[l\,\dot=\,2{,}45\,\cdot\,10^{15}\,\mathrm{m}\,.\]

    Tato vzdálenost odpovídá asi čtvrtině světelného roku.

  • Odpověď

    V kilogramovém železném závaží je 1,08·1025 atomů, což odpovídá látkovému množství přibližně 17,9 molu atomů. Celkem je zde 2,8·1026 elektronů a z toho 8,6·1025 z nich je valenčních.

    Hmotnost všech elektronů je asi 0,26 g, tj. elektrony přispívají velmi nepatrně k hmotnosti celého závaží.

    Na jeden atom připadá objem asi 1,17·10-29 m3, tj. krychlička o hraně asi 0,227 nm. Pokud bychom tyto krychličky naskládali do řady, bude dlouhá asi čtvrtinu světelného roku.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze