Sbírka řešených úloh

Atomy v železném závaží

Úloha číslo: 333

• Nápověda: Látkové množství

  Vzhledem k tomu, že běžná množství látek obsahují velmi vysoký počet částic, nepočítáme jejich počet obvykle na kusy, ale jako jedna ze základních jednotek soustavy SI je zavedena jednotka mol. Příslušné fyzikální veličině říkáme látkové množství n.

  Látkové množství 1 mol znamená přibližně 6,02·10²³ částic. Tento počet vyjadřuje tzv. Avogadrova konstanta \(N_\mathrm{A}\,\dot=\, 6{,}02 \cdot{10^{23}}\,\mathrm{mol^{-1}}\). Látkové množství n tedy můžeme určit jako podíl celkového počtu částic v tělese N a Avogadrovy konstanty N_A:

  \[n\,=\,\frac{N}{N_\mathrm{A}}\,.\]

• Nápověda: Hmotnosti

  V tabulkách nalezneme tzv. relativní atomovou hmotnost A_r jednotlivých prvků, jedná se o bezrozměrné číslo, které se číselně rovná hmotnosti tělesa o látkovém množství jeden mol v gramech. To znamená, že pro molární hmotnost M_m (= hmotnost 1 molu částic) platí:

  \[M_\mathrm{m}\,=\,A_\mathrm{r} \,\cdot\, 1 \,\mathrm{\frac{g}{mol}}\,=\,A_\mathrm{r} \,\cdot\, 10^{-3}\, \mathrm{\frac{kg}{mol}}\,.\]

  Současně se relativní atomová hmotnost rovná podílu hmotnosti jedné částice (např. atomu) m₀ a atomové hmotnostní konstanty \(m_\mathrm{u}\,\dot=\, 1{,}66 \cdot{10^{-27}}\,\mathrm{kg}.\) Tedy

  \[A_\mathrm{r}\,=\, \frac{m_0}{m_\mathrm{u}}\hspace{20px} \Rightarrow\hspace{20px} m_0\,=\,A_\mathrm{r} \,m_\mathrm{u}\,.\]

  Dvojí význam relativní atomové hmotnosti je dán tím, že mezi oběma výše uvedenými konstantami platí  m_u N_A = 10^-3 kg mol^-1 (daný definicí obou konstant).

• Definice a komentář k významu konstant

  Atomová hmotnostní konstanta m_u je definována jako \(\frac{1}{12}\) klidové hmotnosti atomu uhlíku \(^{12}_{\,\,6}\mathrm{C}\). Tento atom se skládá ze šesti protonů, šesti neutronů a šesti elektronů. Hmotnost elektronu je v porovnání s hmotností protonu a neutronu zanedbatelná. Naopak hmotnosti protonu a neutronu jsou velmi blízké. Z toho plyne, že atomovou hmotnostní konstantu bychom mohli také chápat jako přibližnou hmotnost jednoho nukleonu (= protonu nebo neutronu) a relativní atomovou hmotnost potom jako počet nukleonů v atomu. Odtud plyne, že hmotnost atomu m₀ lze spočítat jako součin „počtu nukleonů“ a „hmotnosti jednoho nukleonu“.

  Avogadrova konstanta N_A je definována jako počet atomů ve dvanácti gramech nuklidu uhlíku \(^{12}_{\,\,6}\mathrm{C}\). Pokud si promyslíte definice obou konstant, lehce zdůvodníte vztah mezi nimi uvedený v předchozím oddílu.

• a) Řešení: Látkové množství

  V tabulkách nalezneme pro železo: A_r = 55,845.

  To znamená, že molární hmotnost železa je M_m = 55,845·10^-3 kg mol^-1.

  Látkové množství (= „počet molů“) zjistíme tak, že celkovou hmotnost závaží m vydělíme molární hmotností M_m:

  \[n\,=\,\frac{m}{M_\mathrm{m}}\,=\,\frac{1 \mathrm{kg}}{55{,}845 \,\cdot\, 10^{-3}\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}}\,\dot=\,17{,}9\,\mathrm{mol}.\]

• b) Řešení: Počet atomů

  Počet atomů N v závaží můžeme spočítat dvěma různými způsoby. Můžeme využít známé látkové množství n a Avogadrovu konstantu N_A:

  \[ N\,=\,n N_\mathrm{A}\,=\,\frac{m N_\mathrm{A}}{M_\mathrm{m}}\,,\] \[N\,=\,\frac{1 \mathrm{kg}\,\cdot\,6{,}022\,\cdot\,10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}}{55{,}845 \,\cdot\, 10^{-3}\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}}\,,\] \[N\,\dot=\,1{,}08 \,\cdot\,10^{25}\]

  nebo využijeme znalost hmotnosti jedné částice (z relativní atomové hmotnosti):

  \[N\,=\,\frac{m}{m_0}\,=\,\frac{m}{A_\mathrm{r} m_\mathrm{u}}\,,\] \[N\,=\,\frac{1 \mathrm{kg}}{55{,}845 \,\cdot\,1{,}66\,\cdot\, 10^{-27}\,\mathrm{kg}}\,,\] \[N\,\dot=\,1{,}08 \,\cdot\,10^{25}\,.\]

• c) Řešení: Počet elektronů

  Jeden atom železa obsahuje 26 elektronů, z toho je 8 elektronů valenčních (2 patří do slupky 4s² a 6 jich patří do slupky 3d⁶).

  Celkový počet elektronů:

  \[N_\mathrm{e}\,=\,26N\,.\]

  N jsme vypočítali v předchozím oddíle: \(N\,\dot=\,1{,}08 \,\cdot\,10^{25}\). Tedy:

  \[N_\mathrm{e}\,=\,26\,\cdot\, 1{,}08 \,\cdot\, 10^{25}\,=\, 2{,}8\,\cdot\, 10^{26}.\]

  Celkový počet valenčních elektronů:

  \[N_\mathrm{v}\,=\,8N\,=\, 8\,\cdot\,1{,}08\,\cdot\,10^{25}\,=\, 8{,}6\,\cdot\,10^{25}.\]

• d) Řešení: Hmotnost elektronů

  Hmotnost jednoho elektronu m_e = 9,11·10^-31 kg.

  Hmotnost všech elektronů:

  \[m_\mathrm{{elektronu}}\,=\,N_\mathrm{e} m_\mathrm{e} \] \[ m_\mathrm{{elektronu}}\,=\,2{,}8\,\cdot\, 10^{26}\,\cdot\, 9{,}11\,\cdot\,10^{-31} \,\mathrm{kg}, \] \[ m_\mathrm{{elektronu}}\,\dot=\, 2{,}6\,\cdot\, 10^{-4} \,\mathrm{kg}\,,\]

  což odpovídá 0,026 % = 0,26 ‰.

  Elektrony přispívají zanedbatelně k celkové hmotnosti atomu.

• e) Řešení: Objem připadající na jeden atom

  K tomu, abychom určili objem připadající na jeden atom, musíme určit nejprve objem celého závaží pomocí hustoty ρ = 7 900 kg m^-3:

  \[V\,=\,\frac{m}{\varrho}\,=\,\frac{1}{7\,900}\,\mathrm{m}^3, \] \[V\,\dot=\,1{,}27\,\cdot\,10^{-4}\,\mathrm{m}^3.\]

  Objem připadající na jeden atom V₀ získáme vydělením celkového objemu počtem atomů:

  \[V_0\,=\,\frac{V}{N}\,\dot=\,\frac{1{,}27\,\cdot\, 10^{-4}}{1{,}08\,\cdot\, 10^{25}}\,\mathrm{m}^3\,, \] \[V_0\,\dot=\,1{,}17\,\cdot\,10^{-29}\,\mathrm{m}^3\,.\]

  Nebo můžeme do předchozího vztahu za N dosadit obecný vzorec a vztah upravit:

  \[V_0\,=\,\frac{V}{N}\,=\,\frac{m}{N \varrho}\,=\,\frac{m}{\frac{m N_\mathrm{A}}{M_\mathrm{m}}\,\varrho}\,=\,\frac{M_\mathrm{m}}{\varrho\,N_\mathrm{A}}\] \[V_0\,\dot=\,\frac{55{,}845\,\cdot\, 10^{-3}}{6{,}022\,\cdot\, 10^{23}\,\cdot\,7900}\,\mathrm{m}^3\] \[V_0\,\dot=\,1{,}17\,\cdot\, 10^{-29}\,\mathrm{m}^3\]

• f) a g) Řešení: Hrana krychle a délka řady

  f) Pro objem krychle V platí: V = a³, kde a je délka její hrany.

  Délka hrany pomyslné „jednoatomové krychličky“ tedy bude:

  \[a\,=\, \sqrt[3]{V_0}\dot=\,\sqrt[3]{1{,}17\,\cdot\,10^{-29}}\,\mathrm{m}\,,\] \[a\,\dot=\,2{,}27\,\cdot\,10^{-10}\,\mathrm{m}\,.\]

  g) Pokud bychom srovnali tyto krychličky do řady za sebe, tak délka řady by byla:

  \[l\,=\, N \cdot\,a\,\dot=\,1{,}08\,\cdot\,10^{25}\,\cdot\, 2{,}27\,\cdot\,10^{-10}\,\mathrm{m}\,,\] \[l\,\dot=\,2{,}45\,\cdot\,10^{15}\,\mathrm{m}\,.\]

  Tato vzdálenost odpovídá asi čtvrtině světelného roku.

• Odpověď

  V kilogramovém železném závaží je 1,08·10²⁵ atomů, což odpovídá látkovému množství přibližně 17,9 molu atomů. Celkem je zde 2,8·10²⁶ elektronů a z toho 8,6·10²⁵ z nich je valenčních.

  Hmotnost všech elektronů je asi 0,26 g, tj. elektrony přispívají velmi nepatrně k hmotnosti celého závaží.

  Na jeden atom připadá objem asi 1,17·10^-29 m³, tj. krychlička o hraně asi 0,227 nm. Pokud bychom tyto krychličky naskládali do řady, bude dlouhá asi čtvrtinu světelného roku.