Změna entropie hélia
Úloha číslo: 438
Z nádoby, v níž je uskladněno hélium pod tlakem 10 MPa, začne poškozeným ventilem plyn pomalu utíkat, až tlak klesne na hodnotu tlaku atmosférického 101 325 Pa. Celý děj probíhá izotermicky za pokojové teploty 20 °C. Určete změnu entropie u tohoto ideálního plynu o hmotnosti 1,0 kg.
Zápis
p1 = 10 MPa = 107 Pa počáteční tlak hélia v nádobě p2 = 101325 Pa tlak v nádobě po úniku hélia m = 1 kg hmotnost hélia t = 20 °C => T = 293,15 K teplota v průběhu děje ΔS = ? změna entropie hélia Z tabulek:
Mm = 4 g mol−1 = 4·10−3 kg mol−1 molární hmotnost hélia R = 8,31 JK−1mol−1 molární plynová konstanta Nápověda 1 – O jaký děj se jedná?
Nádoba nemění svůj objem, takže bychom mohli uvažovat děj s plynem při konstantním objemu, ale proměnnou hmotností plynu. Tím bychom ale určovali pouze změnu entropie plynu uvnitř lahve, nikoli celkovou změnu entropie.
Budete tedy uvažovat veškerý plyn, tj. s neproměnnou hmotností. Můžeme si to představit, že unikající plyn se rozpíná do „těsného okolí“ lahve.
Nápověda 2 – změna entropie ΔS
Elementární změna entropie je definována vztahem
\[\mathrm{d}S=\frac{\mathrm{d}Q}{T},\]kde dQ je elementární vyměněné teplo a T termodynamická teplota.
Protože se jedná o izotermický děj, tj. T = konst., lze uvedený vztah jednoduše „zintegrovat“. Pro výpočet změny entropie ΔS tak dostaneme
\[\Delta S=\frac{Q}{T},\]kde Q je celkové vyměněné teplo.
Nápověda 3 – vyjádření tepla
Uvědomte si, že při konstantní teplotě se nemění vnitřní energie plynu, a tudíž bude teplo přijaté při expanzi rovno práci vykonané plynem.
Nápověda 4 – výpočet práce
Rozmyslete si, jak spočítat práci plynu, pokud se jeho tlak v průběhu děje mění (je funkcí objemu).Nápověda 5 – vyjádření tlaku p(V)
K vyjádření tlaku p jako funkci objemu V použijte tzv. Boyle-Mariottův zákon.
Nápověda 6 – vyjádření objemu
K vyjádření neznámého počátečního V1 a koncového V2 objemu použijte stavovou rovnici ideálního plynu ve tvaru
\[pV=\frac{m}{M_m}RT,\]kde m je hmotnost, Mm molární hmotnost, T teplota plynu a R molární plynová konstanta.
Rozbor
Jelikož uvažujeme izotermický děj, vypočítáme změnu entropie jako podíl celkového tepla a termodynamické teploty, za které děj probíhá.
Při izotermickém ději zároveň platí, že se nemění vnitřní energie plynu, proto se teplo přijaté při expanzi rovná práci vykonané plynem. Pro výpočet této práce musíme použít integrální počet, protože tlak je funkcí objemu. Tlak jako funkci objemu vyjádříme z tzv. Boyle-Mariottova zákona.
Pro vyjádření neznámého počátečního a koncového objemu použijeme stavovou rovnici ideálního plynu.
Řešení
Jelikož se jedná o izotermický děj, můžeme změnu entropie ΔS spočítat pomocí vztahu
\[\Delta S=\frac{Q}{T},\]kde Q je celkové teplo a T termodynamická teplota, za níž děj probíhá.
Při izotermickém ději se nemění vnitřní energie plynu, což má v souladu s 1. termodynamickým zákonem za následek, že přijaté teplo Q při expanzi bude rovno práci W vykonané plynem.
Tuto práci můžeme vypočítat pomocí vztahu
\[W=\int\limits_{V_1}^{V_2}p\,\text{d}V,\]kde V1 a V2 jsou počáteční a koncový objem plynu a p je jeho tlak, který se v průběhu expanze mění (je funkcí objemu V).
K vyjádření tlaku p jako funkci objemu V využijeme tzv. Boyle-Mariottův zákon, podle něhož platí:
\[p_1V_1=pV.\]Odtud ihned vyjádříme tlak p:
\[p = \frac{p_1V_1}{V}.\]Nyní můžeme přistoupit k samotné integraci:
\[W = \int\limits_{V_1}^{V_2}p\, \text{d}V = \int\limits_{V_1}^{V_2}\frac{p_1V_1}{V}\, \text{d}V =\]vytkneme konstanty před integrál
\[=p_1V_1 \int\limits_{V_1}^{V_2}\frac{1}{V}\, \text{d}V = \]zintegrujeme a dosadíme meze
\[=p_1V_1\,[\ln V]_{V_1}^{V_2} = p_1V_1\,\ln\,\frac{V_2}{V_1}.\]Ještě vyjádříme neznámý počáteční V1 a koncový V2 objem ze stavové rovnice ideálního plynu
\[p_1V_1=\frac{m}{M_m}RT \qquad \Rightarrow \qquad V_1=\frac{mRT}{p_1M_m},\] \[p_2V_2=\frac{m}{M_m}RT \qquad \Rightarrow \qquad V_2=\frac{mRT}{p_2M_m}.\]Dosazením dostáváme
\[W=p_1\frac{mRT}{p_1M_m}\,\ln{\frac{\frac{mRT}{p_2M_m}}{\frac{mRT}{p_1M_m}}}=\frac{mRT}{M_m}\,\ln{\frac{p_1}{p_2}}.\]Hledaná změna entropie pak je:
\[\Delta S=\frac{Q}{T}=\frac{W}{T} = \frac{\frac{mRT}{M_m}\,\ln{\frac{p_1}{p_2}}}{T}=\frac{mR}{M_m}\,\ln{\frac{p_1}{p_2}}.\]Číselné dosazení
\[\Delta S= \frac{m}{M_m}R\,\ln\,{\frac{p_1}{p_2}}\] \[\Delta S= \frac{1{,}0}{4{,}0\cdot{ 10^{-3}}}\cdot{ 8{,}31}\cdot \ln{\left(\frac{10^7}{101\,325}\right)}\,\mathrm{JK^{-1}}\dot{=}9\,500\,\mathrm{JK^{-1}}\]Odpověď
Entropie plynu se při uvedeném ději zvýší přibližně o 9500 JK−1.
