Úloha na směšování
Úloha číslo: 405
V nádobě je voda o hmotnosti 3 kg a teplotě 10 °C. Kolik vody o teplotě 90 °C musíme přilít, aby výsledná teplota v nádobě byla 35 °C? Tepelnou kapacitu nádoby zanedbejte.
Nápověda
Rozmyslete si, co se bude dít s teplem po přilití teplejší vody a jak závisí výsledná teplota vody na množství té nově přilité.
Rozbor
Přiléváním teplejší vody do studenější se zvyšuje výsledná teplota vody v nádobě, protože teplejší voda odevzdává teplo té studenější. Protože zanedbáváme tepelnou kapacitu nádoby, bude se teplo odevzdané teplejší vodou rovnat teplu přijatému studenější vodou. Ze vzniklé rovnosti již lze hledanou hmotnost teplé vody vyjádřit.
Zápis
m1 = 3 kg hmotnost studenější vody t1 = 10 °C teplota studenější vody t2 = 90 °C teplota teplejší vody tv = 35 °C výsledná teplota vody m2 = ? hmotnost přilité vody Řešení
Z rovnosti odevzdaného a přijatého tepla dostáváme následující výpočet
\[Q_{od}=Q_{d},\] \[m_{2}c_{v}\left( t_{2}-t_{v}\right) = m_{1}c_{v}\left( t_{v}-t_{1}\right),\]kde m1 je hmotnost vody v nádobě, t1 její teplota, t2 teplota přilité vody, tv teplota v ustáleném stavu a m2 je neznámá hmotnost přilévané vody, kterou vyjádříme
\[m_{2}=\frac{m_{1}\left( t_{v}-t_{1}\right)}{t_{2}-t_{v}}.\]Číselné dosazení
\[m_{2}=\frac{m_{1}\left( t_{v}-t_{1}\right)}{t_{2}-t_{v}}=\frac{3\cdot \left( 35-10\right)}{90-35}\, \mathrm{kg}\] \[m_{2}=1{,}4\, \mathrm{kg}\]Odpověď
Pro získání požedované teploty musíme dolít vodu o hmotnosti asi 1,4 kg.
Komentář
Vidíme, že vůbec nepotřebujeme znát měrnou tepelnou kapacitu vody. Příklad lze spočítat pomocí trojčlenky. Uvědomíme si, že platí: Čím více teplé vody přilijeme, tím méně se ochladí. Tedy mezi hmotností vody a rozdílem teplot před a po smíchání platí nepřímá úměrnost. Můžeme tedy napsat rovnici
\[\frac{m_{2}}{m_{1}} = \frac{t_{v} - t_{1}}{t_{2} - t_{v}},\]ze které můžeme hledanou hmotnost m2 snadno vyjádřit.
