Úloha na směšování

Úloha číslo: 405

V nádobě je voda o hmotnosti 3 kg a teplotě 10 °C. Kolik vody o teplotě 90 °C musíme přilít, aby výsledná teplota v nádobě byla 35 °C? Tepelnou kapacitu nádoby zanedbejte.

  • Nápověda

    Rozmyslete si, co se bude dít s teplem po přilití teplejší vody a jak závisí výsledná teplota vody na množství té nově přilité.

  • Rozbor

    Přiléváním teplejší vody do studenější se zvyšuje výsledná teplota vody v nádobě, protože teplejší voda odevzdává teplo té studenější. Protože zanedbáváme tepelnou kapacitu nádoby, bude se teplo odevzdané teplejší vodou rovnat teplu přijatému studenější vodou. Ze vzniklé rovnosti již lze hledanou hmotnost teplé vody vyjádřit.

  • Zápis

    m1 = 3 kg hmotnost studenější vody
    t1 = 10 °C teplota studenější vody
    t2 = 90 °C teplota teplejší vody
    tv = 35 °C výsledná teplota vody
    m2 = ? hmotnost přilité vody
  • Řešení

    Z rovnosti odevzdaného a přijatého tepla dostáváme následující výpočet

    \[Q_{od}=Q_{d},\] \[m_{2}c_{v}\left( t_{2}-t_{v}\right) = m_{1}c_{v}\left( t_{v}-t_{1}\right),\]

    kde m1 je hmotnost vody v nádobě, t1 její teplota, t2 teplota přilité vody, tv teplota v ustáleném stavu a m2 je neznámá hmotnost přilévané vody, kterou vyjádříme

    \[m_{2}=\frac{m_{1}\left( t_{v}-t_{1}\right)}{t_{2}-t_{v}}.\]
  • Číselné dosazení

    \[m_{2}=\frac{m_{1}\left( t_{v}-t_{1}\right)}{t_{2}-t_{v}}=\frac{3\cdot \left( 35-10\right)}{90-35}\, \mathrm{kg}\] \[m_{2}=1{,}4\, \mathrm{kg}\]
  • Odpověď

    Pro získání požedované teploty musíme dolít vodu o hmotnosti asi 1,4 kg.

  • Komentář

    Vidíme, že vůbec nepotřebujeme znát měrnou tepelnou kapacitu vody. Příklad lze spočítat pomocí trojčlenky. Uvědomíme si, že platí: Čím více teplé vody přilijeme, tím méně se ochladí. Tedy mezi hmotností vody a rozdílem teplot před a po smíchání platí nepřímá úměrnost. Můžeme tedy napsat rovnici

    \[\frac{m_{2}}{m_{1}} = \frac{t_{v} - t_{1}}{t_{2} - t_{v}},\]

    ze které můžeme hledanou hmotnost m2 snadno vyjádřit.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro žáky základní školy
Úloha rutinní
Zaslat komentář k úloze