Teplota a práce vzduchu

Úloha číslo: 404

Vzduch o objemu 10 l, teplotě 273 K a tlaku 100 kPa nejprve izotermicky stlačíme na pětinu původního objemu a pak adiabaticky rozepneme na dvojnásobek původního objemu. Jaká bude výsledná teplota po adiabatické expanzi a jakou práci plyn vykonal při celém ději?

Vzduch považujte za ideální plyn a Poissonovu konstantu pro vzduch za rovnu κ = 1,4.

  • Zápis

    V1 = 10 l = 10−2 m3 původní objem vzduchu
    T1 = 273 K původní teplota vzduchu
    p1 = 100 kPa = 105 Pa původní tlak vzduchu
    V2 = 1/5V1 objem vzduchu po izotermickém stlačení
    V3 = 2V1 objem vzduchu po adiabatické expanzi
    κ = 1,4 Poissonova konstanta
    T3 = ? teplota po adiabatické expanzi
    W = ? práce vykonaná při celém ději
  • Nápověda 1 – výsledná teplota

    K výpočtu teploty plynu po adiabatické expanzi použijte tzv. Poissonův zákon, který upravte tak, aby v něm vystupovala teplota.

  • Rozbor – výsledná teplota

    Při izotermickém stlačení se teplota nemění. Plyn bude mít tedy před adiabatickou expanzí stejnou teplotu jako na začátku děje.

    Pro výpočet výsledné teploty použijeme Poissonův zákon ve tvaru, v němž vystupují objem a teplota plynu.

  • Výpočet výsledné teploty

    Při izotermickém stlačení se teplota nezmění. Platí tedy relace T1 = T2, kde T2 je teplota vzduchu po stlačení.

    Při následné expanzi je tomu ovšem jinak.

    Pro adiabatický děj platí tzv. Poissonův zákon, který si můžeme napsat ve tvaru

    \[V^{\kappa-1}T=konst.\]

    (Tento vztah lze získat z obvykle používaného tvaru pV κ = konst. jednoduchou úpravou provedenou v nápovědě 1.)

    V našem případě tedy platí

    \[V_2^{\kappa-1}T_2=V_3^{\kappa-1}T_3.\]

    Z tohoto vzorce si vyjádříme výslednou teplotu T3:

    \[T_3=\left(\frac{V_2}{V_3}\right)^{\kappa-1}T_2\]

    a dosadíme zadané vztahy pro objemy V2V3:

    \[T_3=\left(\frac{\frac{1}{5}V_1}{2V_1}\right)^{\kappa-1}T_2= 0{,}1^{\kappa-1}T_2. \]
  • Nápověda 2 – výpočet práce W

    Celkovou práci W vykonanou plynem určíme jako součet práce W1 vykonané při izotermickém stlačení a práce W2 vykonané při adiabatické expanzi.

    Pro výpočet prací při jednotlivých dějích musíme využít integrální počet, protože tlak se mění (je funkcí objemu). Platí tedy

    \[W = \int\limits_{V_p}^{V_k}p\left(V\right)\, \text{d}V,\]

    kde VpVk jsou počáteční a koncový objem plynu.

  • Nápověda 3 – vyjádření tlaku p(V)

    K vyjádření tlaku p(V) v případě izotermického děje použijeme tzv. Boyle-Mariottův zákon.

    V případě adiabatického děje vyjádříme tlak p(V) pomocí Poissonova zákona (viz Nápověda 1).

  • Rozbor – vykonaná práce

    Celková práce vykonaná plynem je rovna součtu práce vykonané při izotermickém stlačení a práce vykonané při adiabatické expanzi.

    Pro výpočet prací při obou dějích musíme použít integrální počet, protože v obou případech je tlak funkcí objemu.

    K vyjádření tlaku jako funkce objemu při izotermickém ději použijeme Boyle-Mariottův zákon, při adiabatickém ději Poissonův zákon. Získané funkce zintegrujeme podle objemu. Jako meze použijeme počáteční a koncový objem plynu.

  • Výpočet vykonané práce

    Celková práce W vykonaná plynem je rovna součtu práce W1 vykonané při izotermickém stlačení a práce W2 vykonané při adiabatické expanzi.

    Pro práci v případě nekonstantního tlaku p platí obecný integrální vztah

    \[W = \int\limits_{V_p}^{V_k}p\left(V\right)\, \text{d}V,\]

    kde VpVk jsou počáteční a koncový objem plynu.

     

    V případě izotermického děje můžeme vyjádřit tlak p jako funkci objemu V pomocí tzv. Boyle-Mariottova zákona

    \[p_1V_1 = pV \qquad \Rightarrow \qquad p = \frac{p_1V_1}{V}.\]

    Dosadíme do vztahu pro práci

    \[W_1 = \int\limits_{V_1}^{V_2}p\, \text{d}V = \int\limits_{V_1}^{\frac{1}{5}V_1}\frac{p_1V_1}{V}\, \text{d}V =\]

    vytkneme konstanty před integrál

    \[=p_1V_1 \int\limits_{V_1}^{\frac{1}{5}V_1}\frac{1}{V}\, \text{d}V =\]

    zintegrujeme a dosadíme meze

    \[=p_1V_1[\ln\,V]_{V_1}^{\frac{1}{5}V_1} = p_1V_1\,\ln \,\frac{\frac{1}{5}V_1}{V_1}= p_1V_1\,\ln\,\frac{1}{5}.\]

     

    V případě adiabatického děje použijeme k vyjádření tlaku p jako funkce objemu V Poissonův zákon

    \[p_2V_{2}^{\kappa} = pV^{\kappa} \qquad \Rightarrow \qquad p = \frac{p_2V_2^{\kappa}}{V^{\kappa}}.\]

    Získané vyjádření nyní dosadíme do vzorce pro práci

    \[W_2 = \int\limits_{V_2}^{V_3}p \, \text{d}V = \int\limits_{V_2}^{V_3}\frac{p_2V_{2}^{\kappa}}{V^{\kappa}} \, \text{d}V =\]

    vytkneme konstanty před integrál

    \[=p_2V_{2}^{\kappa} \int\limits_{V_2}^{V_3}\frac{1}{V^{\kappa}} \, \text{d}V =\]

    zintegrujeme

    \[= p_2V_{2}^{\kappa}\frac{1}{-\kappa + 1}\left[V^{-\kappa + 1}\right]_{V_2}^{V_3}=\]

    a dosadíme meze

    \[= \frac{p_2V_{2}^{\kappa}}{-\kappa + 1}\left[(V_3)^{-\kappa + 1} - (V_2)^{-\kappa + 1}\right].\]

    Pro vyjádření tlaku p2 pomocí tlaku p1 využijeme opět Boyle-Mariottův zákon

    \[p_1V_1=p_2V_2,\]

    ze kterého dostaneme

    \[p_2=\frac{p_1V_1}{V_2}=\frac{p_1V_1}{\frac{1}{5}V_1}=5p_1.\]

    Tento vztah společně se zadanými vztahy pro objemy V2V3 dosadíme do vzorce pro práci

    \[W_2= \frac{5p_1\left(\frac{1}{5}V_{1}\right)^{\kappa}}{1 -\kappa}\left[(2V_1)^{1-\kappa} - \left(\frac{1}{5}V_{1}\right)^{1-\kappa}\right]\]

    a výraz ještě upravíme

    \[W_2= \frac{p_1V_{1}}{1-\kappa}5^{1-\kappa}\left[2^{1-\kappa} - \left(\frac{1}{5}\right)^{1-\kappa}\right].\]

    Nakonec dostaneme

    \[W_2 = \frac{p_1V_{1}}{1-\kappa}\left[10^{1-\kappa} - 1\right].\]

     

    Celková práce plynu je potom

    \[W=W_1+W_2\] \[W=p_1V_1\ln{\frac{1}{5}}+\frac{p_1V_{1}}{1-\kappa}\left(10^{1-\kappa} - 1\right)\] \[W= p_1V_1\left[\ln{\frac{1}{5}}+\frac{1}{\kappa - 1}\left(1-10^{1-\kappa} \right)\right].\]
  • Číselné dosazení

    Výsledná teplota:

    \[T_3= 0{,}1^{\kappa-1}T_2 = 0{,}1^{1{,}4-1}\cdot 273\,\mathrm{K}\dot{=} 109\,\mathrm{K}\]

     

    Celková vykonaná práce:

    \[W= p_1V_1\left[\ln{\frac{1}{5}}+\frac{1}{\kappa - 1}\left(1-10^{1-\kappa} \right)\right].\] \[W= 10^5\cdot{10^{-2}}\cdot \left[\ln{\frac{1}{5}}+ \frac{1}{1-1{,}4}\cdot \left( 1-10^{1-1{,}4}\right) \right]\,\mathrm{J}\] \[W\dot{=}-105\,\mathrm{J}\]
  • Odpověď

    Výsledná teplota je asi 109 K.

    Plyn vykonal práci přibližně 105 J.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze