Teplota a práce vzduchu
Úloha číslo: 404
Vzduch o objemu 10 l, teplotě 273 K a tlaku 100 kPa nejprve izotermicky stlačíme na pětinu původního objemu a pak adiabaticky rozepneme na dvojnásobek původního objemu. Jaká bude výsledná teplota po adiabatické expanzi a jakou práci plyn vykonal při celém ději?
Vzduch považujte za ideální plyn a Poissonovu konstantu pro vzduch za rovnu κ = 1,4.
Zápis
V1 = 10 l = 10−2 m3 původní objem vzduchu T1 = 273 K původní teplota vzduchu p1 = 100 kPa = 105 Pa původní tlak vzduchu V2 = 1/5V1 objem vzduchu po izotermickém stlačení V3 = 2V1 objem vzduchu po adiabatické expanzi κ = 1,4 Poissonova konstanta T3 = ? teplota po adiabatické expanzi W = ? práce vykonaná při celém ději Nápověda 1 – výsledná teplota
K výpočtu teploty plynu po adiabatické expanzi použijte tzv. Poissonův zákon, který upravte tak, aby v něm vystupovala teplota.
Rozbor – výsledná teplota
Při izotermickém stlačení se teplota nemění. Plyn bude mít tedy před adiabatickou expanzí stejnou teplotu jako na začátku děje.
Pro výpočet výsledné teploty použijeme Poissonův zákon ve tvaru, v němž vystupují objem a teplota plynu.
Výpočet výsledné teploty
Při izotermickém stlačení se teplota nezmění. Platí tedy relace T1 = T2, kde T2 je teplota vzduchu po stlačení.
Při následné expanzi je tomu ovšem jinak.
Pro adiabatický děj platí tzv. Poissonův zákon, který si můžeme napsat ve tvaru
\[V^{\kappa-1}T=konst.\](Tento vztah lze získat z obvykle používaného tvaru pV κ = konst. jednoduchou úpravou provedenou v nápovědě 1.)
V našem případě tedy platí
\[V_2^{\kappa-1}T_2=V_3^{\kappa-1}T_3.\]Z tohoto vzorce si vyjádříme výslednou teplotu T3:
\[T_3=\left(\frac{V_2}{V_3}\right)^{\kappa-1}T_2\]a dosadíme zadané vztahy pro objemy V2 a V3:
\[T_3=\left(\frac{\frac{1}{5}V_1}{2V_1}\right)^{\kappa-1}T_2= 0{,}1^{\kappa-1}T_2. \]Nápověda 2 – výpočet práce W
Celkovou práci W vykonanou plynem určíme jako součet práce W1 vykonané při izotermickém stlačení a práce W2 vykonané při adiabatické expanzi.
Pro výpočet prací při jednotlivých dějích musíme využít integrální počet, protože tlak se mění (je funkcí objemu). Platí tedy
\[W = \int\limits_{V_p}^{V_k}p\left(V\right)\, \text{d}V,\]kde Vp a Vk jsou počáteční a koncový objem plynu.
Nápověda 3 – vyjádření tlaku p(V)
K vyjádření tlaku p(V) v případě izotermického děje použijeme tzv. Boyle-Mariottův zákon.
V případě adiabatického děje vyjádříme tlak p(V) pomocí Poissonova zákona (viz Nápověda 1).
Rozbor – vykonaná práce
Celková práce vykonaná plynem je rovna součtu práce vykonané při izotermickém stlačení a práce vykonané při adiabatické expanzi.
Pro výpočet prací při obou dějích musíme použít integrální počet, protože v obou případech je tlak funkcí objemu.
K vyjádření tlaku jako funkce objemu při izotermickém ději použijeme Boyle-Mariottův zákon, při adiabatickém ději Poissonův zákon. Získané funkce zintegrujeme podle objemu. Jako meze použijeme počáteční a koncový objem plynu.
Výpočet vykonané práce
Celková práce W vykonaná plynem je rovna součtu práce W1 vykonané při izotermickém stlačení a práce W2 vykonané při adiabatické expanzi.
Pro práci v případě nekonstantního tlaku p platí obecný integrální vztah
\[W = \int\limits_{V_p}^{V_k}p\left(V\right)\, \text{d}V,\]kde Vp a Vk jsou počáteční a koncový objem plynu.
V případě izotermického děje můžeme vyjádřit tlak p jako funkci objemu V pomocí tzv. Boyle-Mariottova zákona
\[p_1V_1 = pV \qquad \Rightarrow \qquad p = \frac{p_1V_1}{V}.\]Dosadíme do vztahu pro práci
\[W_1 = \int\limits_{V_1}^{V_2}p\, \text{d}V = \int\limits_{V_1}^{\frac{1}{5}V_1}\frac{p_1V_1}{V}\, \text{d}V =\]vytkneme konstanty před integrál
\[=p_1V_1 \int\limits_{V_1}^{\frac{1}{5}V_1}\frac{1}{V}\, \text{d}V =\]zintegrujeme a dosadíme meze
\[=p_1V_1[\ln\,V]_{V_1}^{\frac{1}{5}V_1} = p_1V_1\,\ln \,\frac{\frac{1}{5}V_1}{V_1}= p_1V_1\,\ln\,\frac{1}{5}.\]V případě adiabatického děje použijeme k vyjádření tlaku p jako funkce objemu V Poissonův zákon
\[p_2V_{2}^{\kappa} = pV^{\kappa} \qquad \Rightarrow \qquad p = \frac{p_2V_2^{\kappa}}{V^{\kappa}}.\]Získané vyjádření nyní dosadíme do vzorce pro práci
\[W_2 = \int\limits_{V_2}^{V_3}p \, \text{d}V = \int\limits_{V_2}^{V_3}\frac{p_2V_{2}^{\kappa}}{V^{\kappa}} \, \text{d}V =\]vytkneme konstanty před integrál
\[=p_2V_{2}^{\kappa} \int\limits_{V_2}^{V_3}\frac{1}{V^{\kappa}} \, \text{d}V =\]zintegrujeme
\[= p_2V_{2}^{\kappa}\frac{1}{-\kappa + 1}\left[V^{-\kappa + 1}\right]_{V_2}^{V_3}=\]a dosadíme meze
\[= \frac{p_2V_{2}^{\kappa}}{-\kappa + 1}\left[(V_3)^{-\kappa + 1} - (V_2)^{-\kappa + 1}\right].\]Pro vyjádření tlaku p2 pomocí tlaku p1 využijeme opět Boyle-Mariottův zákon
\[p_1V_1=p_2V_2,\]ze kterého dostaneme
\[p_2=\frac{p_1V_1}{V_2}=\frac{p_1V_1}{\frac{1}{5}V_1}=5p_1.\]Tento vztah společně se zadanými vztahy pro objemy V2 a V3 dosadíme do vzorce pro práci
\[W_2= \frac{5p_1\left(\frac{1}{5}V_{1}\right)^{\kappa}}{1 -\kappa}\left[(2V_1)^{1-\kappa} - \left(\frac{1}{5}V_{1}\right)^{1-\kappa}\right]\]a výraz ještě upravíme
\[W_2= \frac{p_1V_{1}}{1-\kappa}5^{1-\kappa}\left[2^{1-\kappa} - \left(\frac{1}{5}\right)^{1-\kappa}\right].\]Nakonec dostaneme
\[W_2 = \frac{p_1V_{1}}{1-\kappa}\left[10^{1-\kappa} - 1\right].\]Celková práce plynu je potom
\[W=W_1+W_2\] \[W=p_1V_1\ln{\frac{1}{5}}+\frac{p_1V_{1}}{1-\kappa}\left(10^{1-\kappa} - 1\right)\] \[W= p_1V_1\left[\ln{\frac{1}{5}}+\frac{1}{\kappa - 1}\left(1-10^{1-\kappa} \right)\right].\]Číselné dosazení
Výsledná teplota:
\[T_3= 0{,}1^{\kappa-1}T_2 = 0{,}1^{1{,}4-1}\cdot 273\,\mathrm{K}\dot{=} 109\,\mathrm{K}\]Celková vykonaná práce:
\[W= p_1V_1\left[\ln{\frac{1}{5}}+\frac{1}{\kappa - 1}\left(1-10^{1-\kappa} \right)\right].\] \[W= 10^5\cdot{10^{-2}}\cdot \left[\ln{\frac{1}{5}}+ \frac{1}{1-1{,}4}\cdot \left( 1-10^{1-1{,}4}\right) \right]\,\mathrm{J}\] \[W\dot{=}-3\,114\,\mathrm{J}\]Odpověď
Výsledná teplota je asi 109 K.
Plyn vykonal práci přibližně 3114 J.
