Kapilára s tyčkou
Úloha číslo: 344
Do skleněné kapiláry o vnitřním průměru 2,0 mm je souose zasazena skleněná tyčinka o průměru 1,5 mm.
Určete kapilární převýšení vody v tomto uspořádání.
Nápověda
Tuto úlohu lze řešit obdobně, jako je v úloze Kapilára odvozena výška hladiny v jednoduché kapiláře – pomocí rovnosti tíhové a povrchové síly.
Zápis
d1 = 2,0 mm = 2,0·10−3 m průměr kapiláry d2 = 1,5 mm = 1,5·10−3 m průměr tyčinky h = ? převýšení díky kapilární elevaci Z tabulek: σ = 73 mN m−1 = 73·10−3 N m−1 povrchové napětí vody ρ = 1 000 kg m−3 hustota vody g = 9,81 m s−2 tíhové zrychlení Rozbor
Tuto úlohu budeme řešit stejně, jako jsme v úloze Kapilára odvodili výšku hladiny v jednoduché kapiláře.
To znamená, že budeme předpokládat, že voda dokonale smáčí kapiláru i tyčinku. Síla daná povrchovým napětím vody, kterou působí voda na sklo, míří kolmo dolů. To znamená, že podle třetího Newtonova zákona působí sklo na vodu stejně velkou silou, ale opačného směru – tedy směrem vzhůru. Dále na vodu působí tíhová síla směrem dolů. Jestliže je hladina vody v klidu, musí být obě tyto síly stejně velké. Z této rovnosti určíme převýšení vody.
Řešení
Na vodu působí dvě síly: tíhová síla a dále sklo silou, jež je reakcí na povrchovou sílu vody.
Pro velikost tíhové síly platí:
\[F_\mathrm{G} \,=\,mg\,=\,V \varrho g\,.\]Musíme tedy určit objem vody mezi kapilárou a trubičkou. Ten se rovná rozdílu objemu kapiláry o výšce h a objemu trubičky o stejné výšce. V obou případech se jedná o válec, proto:
\[V\,=\, \pi \frac{d_1^2}{4} \,h\,-\, \pi \frac{d_2^2}{4} \,h,\] \[V\,=\, \pi \frac{d_1^2\,-\,d_2^2} {4} \,h.\]Objem dosadíme do vztahu pro velikost tíhové síly a dostaneme
\[F_\mathrm{G}\,=\,mg\,=\,\pi \frac{d_1^2\,-\,d_2^2} {4}\, h \varrho g\,.\]Teď určíme velikost povrchové síly. Tato síla působí jednak podél vnitřního obvodu kapiláry, jednak podél obvodu trubičky, platí pro ni tedy:
\[F\,=\, \sigma \, ( o_1\,+\,o_2 ) \,=\,\sigma \, \left( \pi d_1\,+\,\pi d_2 \right),\] \[F\,=\, \sigma \pi \, \left( d_1\,+\, d_2 \right).\]Obě síly se musí rovnat:
\[F_\mathrm{G}\,=\, F,\] \[\,\pi \frac{d_1^2\,-\,d_2^2} {4}\, h \varrho g\,=\, \sigma \pi \, \left( d_1\,+\, d_2 \right).\]Z poslední rovnice vyjádříme hledané převýšení h:
\[h\,=\, \frac{4\sigma \, \left( d_1\,+\, d_2 \right) }{\left( d_1^2\,-\,d_2^2\right) \varrho g } \,=\, \frac{4\sigma \, \left( d_1\,+\, d_2 \right) }{\left( d_1\,+\, d_2 \right)\left( d_1\,-\,d_2\right) \varrho g },\] \[h\,=\, \frac{4\sigma }{\left( d_1\,-\,d_2\right) \varrho g }.\]A nakonec do výsledného vztahu dosadíme zadané hodnoty:
\[h\,=\, \frac{4\,\cdot\,73\cdot{10^{-3}} }{\left(2\cdot{10^{-3}} \,-\,1{,}5\cdot{10^{-3}} \right)\,\cdot\, 1000 \,\cdot\, 9{,}81 }\,\mathrm{m}\,\dot=\,0{,}0595\,\mathrm{m},\] \[h\,\dot=\,6\,\mathrm{cm}.\]Odpověď
Převýšení vody mezi kapilárou a souose zasunutou tyčinkou bude asi 6 cm.
