Kapilára s tyčkou

Úloha číslo: 344

Do skleněné kapiláry o vnitřním průměru 2,0 mm je souose zasazena skleněná tyčinka o průměru 1,5 mm.

Určete kapilární převýšení vody v tomto uspořádání.

  • Nápověda

    Tuto úlohu lze řešit obdobně, jako je v úloze Kapilára odvozena výška hladiny v jednoduché kapiláře – pomocí rovnosti tíhové a povrchové síly.

  • Zápis

    d1 = 2,0 mm = 2,0·10−3 m průměr kapiláry
    d2 = 1,5 mm = 1,5·10−3 m průměr tyčinky
    h = ? převýšení díky kapilární elevaci
    Z tabulek:
    σ = 73 mN m−1 = 73·10−3 N m−1 povrchové napětí vody
    ρ = 1 000 kg m−3 hustota vody
    g = 9,81 m s−2 tíhové zrychlení
  • Rozbor

    Tuto úlohu budeme řešit stejně, jako jsme v úloze Kapilára odvodili výšku hladiny v jednoduché kapiláře.

    To znamená, že budeme předpokládat, že voda dokonale smáčí kapiláru i tyčinku. Síla daná povrchovým napětím vody, kterou působí voda na sklo, míří kolmo dolů. To znamená, že podle třetího Newtonova zákona působí sklo na vodu stejně velkou silou, ale opačného směru – tedy směrem vzhůru. Dále na vodu působí tíhová síla směrem dolů. Jestliže je hladina vody v klidu, musí být obě tyto síly stejně velké. Z této rovnosti určíme převýšení vody.

  • Řešení

    Na vodu působí dvě síly: tíhová síla a dále sklo silou, jenž je reakcí na povrchovou sílu vody.

    Pro velkost tíhové síly platí

    \[F_G\,=\,mg\,=\,V \varrho g\,.\]

    Musíme tedy určit objem vody mezi kapilárou a trubičkou. Ten se rovná rozdílu objemu kapiláry o výšce h a objemu trubičky o stejné výšce. V obou případech se jedná o válec, proto

    \[V\,=\, \pi \frac{d_1^2}{4} \,h\,-\, \pi \frac{d_2^2}{4} \,h\] \[V\,=\, \pi \frac{d_1^2\,-\,d_2^2} {4} \,h\]

    Objem dosadíme do vztahu pro velikost tíhové síly a dostaneme

    \[F_G\,=\,mg\,=\,\pi \frac{d_1^2\,-\,d_2^2} {4}\, h \varrho g\,.\]

    Teď určíme velikost povrchové síly. Tato síla působí jednak podél vnitřního obvodu kapiláry a jednak podél obvodu trubičky, platí pro ni tedy

    \[F\,=\, \sigma \, ( o_1\,+\,o_2 ) \,=\,\sigma \, \left( \pi d_1\,+\,\pi d_2 \right)\] \[F\,=\, \sigma \pi \, \left( d_1\,+\, d_2 \right)\]

    Obě síly se musí rovnat

    \[F_G\,=\, F\] \[\,\pi \frac{d_1^2\,-\,d_2^2} {4}\, h \varrho g\,=\, \sigma \pi \, \left( d_1\,+\, d_2 \right)\]

    Z poslední rovnice vyjádříme hledané převýšení h

    \[h\,=\, \frac{4\sigma \, \left( d_1\,+\, d_2 \right) }{\left( d_1^2\,-\,d_2^2\right) \varrho g } \,=\, \frac{4\sigma \, \left( d_1\,+\, d_2 \right) }{\left( d_1\,+\, d_2 \right)\left( d_1\,-\,d_2\right) \varrho g }\] \[h\,=\, \frac{4\sigma }{\left( d_1\,-\,d_2\right) \varrho g }\]

    A nakonec do výsledného vztahu dosadíme zadané hodnoty:

    \[h\,=\, \frac{4\,\cdot\,73\cdot{10^{-3}} }{\left(2\cdot{10^{-3}} \,-\,1{,}5\cdot{10^{-3}} \right)\,\cdot\, 1000 \,\cdot\, 9{,}81 }\,\mathrm{m}\,\dot=\,0{,}0595\,\mathrm{m}\] \[h\,\dot=\,6\,\mathrm{cm}\]
  • Odpověď

    Převýšení vody mezi kapilárou a souose zasunutou tyčinkou bude asi 6 cm.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze