Maximální zatížení ocelového lanka

Úloha číslo: 355

Ocelové lanko má průměr 1,0 mm. Vypočtěte maximální možnou hmotnost na něm zavěšeného tělesa tak, aby se lanko nepřetrhlo. Předpokládejte, že těleso je:

a) v klidu,
b) je taženo lankem svisle vzhůru se zrychlením 1,0 ms−2.

Mez pevnosti v tahu použité oceli je 1,3 GPa. Koeficient bezpečnosti volte 5.

  • Nápověda – co je to mez pevnosti

    Mez pevnosti udává při jakém „zatížení“ (= normálovém napětí = podíl síly a obsahu průřezu) dojde k přetržení lanka.

  • Nápověda – co je to koeficient bezpečnosti

    Vzhledem k tomu, že mez pevnosti udává, kdy se přetrhne lanko, které je perfektně vyrobeno, v praxi se vždy konstrukce dělají tak, aby této hodnoty nebylo dosaženo. Skrytá vada materiálu totiž může způsobit, že se materiál přetrhne při mnohem menší zátěži.

    Koeficient bezpečnosti udává, kolikrát menší zátěž než maximální možná (určená z meze pevnosti) je pro danou konstrukci přípustná.

  • Nápověda – jak určit působící sílu

    V části a) je působící sílou přímo tíhová síla závaží.

    Jestliže je závaží taženo vzhůru se zrychlením (část b), potom na něj lanko musí působit větší silou. Tato síla bude rovna tíze závaží a součinu jeho hmotnosti a zrychlení (z pohledu soustavy spojené se závažím se jedná o setrvačnou sílu). Stejně velkou silou jako působí lanko na závaží bude působit závaží na lanko (3. Newtonův zákon).

  • Rozbor

    Zavěšené těleso působí na lanko silou. Pro posouzení deformačních účinků této síly se používá tzv. normálové napětí, což je podíl působící síly a obsahu průřezu lanka. Koeficient bezpečnosti říká, kolikrát by měla být maximální působící síla menší než síla odpovídající mezi pevnosti daného materiálu.

    Těleso působí na lanko svojí tíhou, stejně velkou jako je tíhová síla působící na těleso. A v případě pohybujícího se tělesa také silou, která je reakcí na sílu, která uděluje tělesu dané zrychlení (podle Newtonových zákonů).

  • Zápis

    d = 1,0 mm = 1,0×10−3 mprůměr ocelového lanka
    a = 1,0 ms−2zrychlení tělesa v případě b)
    k = 5koeficient bezpečnosti
    σe = 1,3 GPa = 1,3×109 Pa  mez pevnosti použité oceli
    ma = ?hmotnost tělesa, pokud je v klidu
    mb = ?hmotnost tělesa, pokud je taženo se zrychlením a

    Další potřebné hodnoty:

    g = 9,81 ms−2  tíhové zrychlení
  • Řešení

    Maximální síla Fmax, která může působit na lanko, aniž by ho přetrhla, je dána mezí pevnosti ocelového lanka σe vztahem:

    \[F_{max}=\sigma_e{S},\]

    kde \(S=\frac{{\pi}d}{4}\) je obsah průřezu lanka.

    Síla F, kterou může těleso působit na lanko, je vzhledem ke koeficientu bezpečnosti k, je:

    \[F= \frac{F_{max}}{k}=\frac{\sigma _e \frac{\pi d^2}{4}}{k}=\frac{\sigma _e \pi d^2}{4k}\]

    a) Jestliže je těleso v klidu, působí na lanko svoji tíhovou silou o velikosti \(G=m_a{g}\). Odtud vyjádříme hmotnost tělesa:

    \[m_a g = F\] \[m_a = \frac {\sigma _e \pi d^2}{4gk} = \frac{1{,}3 \cdot{10^9}\cdot \pi \cdot (1{,}0 \cdot{10^{-3}})^2}{4 \cdot{5}\cdot{9{,}81}}\,\mathrm{kg}\ \dot=\ 21 \,\mathrm{kg}\]

    b) Jestliže je těleso taženo svisle vzhůru se zrychlením a, musí výslednice na něj působících sil být rovna součinu hmotnosti a zrychlení tělesa (2. Newtonův zákon). Na těleso působí tíhová síla \(F_G=m_{b}g\) směrem dolů a síla lanka FL směrem vzhůru, zrychlení tělesa má mít směr vzhůru. Dostáváme tedy vztah:

    \[m_b a = F_L - F_G = F_L - m_b g\]

    Pro sílu F, kterou působí na těleso lanko, dostáváme vztah:

    \[F_{L}=m_b (a+g)\]

    Podle 3. Newtonova zákona je síla FL, kterou působí lanko na těleso, stejně velká jako síla F, kterou působí těleso na lanko. Využijeme vztah pro působící sílu a vyjádříme hmotnost tělesa mb:

    \[m_b = \frac{ \sigma _e \pi d^2}{4 (g+a) k } = \frac{ 1{,}3 \cdot{10^9} \cdot \pi \cdot (1{,}0 \cdot{10^{-3}})^2 }{4 \cdot (9{,}81 + 1{,}0) \cdot 5 } \,\mathrm{kg}\ \dot{=}\ 19 \,\mathrm{kg}\]
  • Odpověď

    Za uvedených podmínek lze na lanko pověsit těleso o hmotnosti přibližně 21 kg, které je v klidu, nebo těleso o hmotnosti asi 19 kg, které je taženo zrychleně směrem vzhůru.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Zaslat komentář k úloze