Roztrhnutí železného drátu vlastní tíhou
Úloha číslo: 2151
Jak dlouhý by musel být železný drát, aby se roztrhl vlastní tíhou, když ho na jednom konci zavěsíme? Hustota železa je 7,8 g/cm3 a mez pevnosti železa je 320 MPa.
Zápis
ρ = 7,8 g·cm-3 hustota železa σ = 320 MPa napětí při mezi pevnosti l = ? m minimální délka drátu pro roztržení Rozbor
Napětí v drátu se spojitě mění, největší zatížení je v místě upevnění. Aby se drát přetrhl, je třeba, aby napětí dosáhlo meze pevnosti. Potřebujeme tedy drát dost dlouhý na to, aby takové místo vzniklo.
Vyjádříme si napětí v místě upevnění drátu a pro jeho mezní hodnotu dopočítáme délku drátu.
Nápověda
Uvědomte si, ve kterém místě je drát nejvíce zatížen. Vyjádřete si sílu, kterou je drát v tomto místě napínán, a pak s její pomocí určete i napětí v daném místě. Předpokládejte, že napětí dosáhne meze pevnosti, a dopočítejte k tomu příslušnou délku drátu.
Řešení
Největší zatížení drátu je v místě upevnění, drát je zde napínán celou svou tíhou:
\[G\,=\,mg\,=\,V\rho g,\]kde V je objem drátu, ρ jeho hustota a g je tíhové zrychlení.
Protože nás zajímá napětí, tíhu vydělíme plochou průřezu drátu S, takže:
\[\sigma\,=\,\frac{G}{S}\,=\,\frac{l S\rho g}{S}\,=\,l\rho g.\]Aby se drát roztrhl, musíme uvažovat, že σ má velikost meze pevnosti. To znamená, že pro hledanou délku musí platit:
\[\sigma\,=\,\rho gl.\]Odtud:
\[l\,=\,\frac{\sigma}{\rho g}.\]Nyní už pouze číselně dosadíme:
\[l\,=\,\frac{320·10^{6}}{7{,}8·10^{3}·9{,}81} \mathrm{m}\,=\,4{,}2·10^{3} \mathrm{m}.\]Odpověď
Délka drátu nutná k roztržení je:
\[l\,=\,4{,}2·10^{3} \mathrm{m}.\]
