Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Užití Gaussova eliminačního algoritmu

Úloha číslo: 1391

Nalezněte řešení soustavy lineárních rovnic nad polem \(\mathbb{Z}_3\) \[ \begin{array}{rrrrrrr} 2x_1 & & & & x_3 & + & 2x_4 & + & 2x_5 & =&1 \\ x_1 & + & x_2 & + & x_3 & + & 2x_4 & & & =&2 \\ 2x_1 & + &2x_2 & + &2x_3 & + & x_4 & + & x_5 & =&0 \\ x_1 & + & x_2 & + & x_3 & + & 2x_4 & + & 2x_5 & =&0 \\ \end{array} \] pomocí Gaussova eliminačního algoritmu.
  • Rozbor

    Pomocí Gaussova eliminačního algoritmu upravíme rozšířenou matici soustavy na řádkově odstupňovaný tvar.

    Pokračovat budeme na základě poznatků v úloze Soustava lineárních rovnic. Dle Frobeniovy věty rozhodneme, je-li soustava řešitelná. V kladném případě určíme libovolný vektor, který je řešením soustavy. Určíme dimenzi řešení a přidáme podprostor řešení homogenní soustavy s nulovým sloupcem pravých stran.

    Postup výpočtu ve stručnosti:

    1. Zapsání soustavy do rozšířené matice soustavy.
    2. Úprava rozšířené matice soustavy na odstupňovaný tvar.
    3. Rozhodnutí o řešitelnosti dle Frobeniovy věty.
    4. Určení libovolného vektoru, který je řešením.
    5. Určení dimenze řešení.
    6. Řešení homogenní soustavy s nulovým sloupcem pravých stran.
    7. Zapsání množiny všech řešení.
  • Nápověda 1 – rozšířená matice soustavy

    Přepište udanou soustavu lineárních rovnic do tvaru rozšířené matice soustavy.
  • Nápověda 2 – úprava na odstupňovaný tvar

    Upravte rozšířenou matici soustavy na odstupňovaný tvar.
  • Nápověda 3 – řešitelnost soustavy dle Frobenia

    Dle Frobeniovy věty je soustava řešitelná právě tehdy, když je hodnost rozšířené matice soustavy rovna hodnosti matice soustavy. Pohledem na odstupňovaný tvar matice rozhodněte, zda je soustava řešitelná. \[ \left( \begin{array}{ccccc|c} 2 & 0 & 1 & 2 & 2 \,&\, 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 2 \,&\, 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \,&\, 2 \\ \end{array} \right) \]
  • Nápověda 4 – určení vektoru řešení

    Řešením soustavy je lineární množina – libovolný vektor, který je řešením + řešení soustavy s nulovým sloupcem pravých stran. Nalezněte nejprve libovolný vektor, který je řešením.
  • Nápověda 5 – určení dimenze řešení

    Víme, že množinou řešení soustavy je lineární množina. Vektor jsme již nalezli. Abychom mohli nalézt i podprostor vektorů dávající nulovou pravou stranu, musíme určit jeho dimenzi – tedy kolik lineárně nezávislých vektorů máme hledat.

    Určete dimenzi řešení.

  • Nápověda 6 – řešení homogenní soustavy

    Dimenze řešení je \(2\). Nalezněte tedy dva lineárně nezávislé vektory, které jsou řešením soustavy s nulovým sloupcem pravých stran.
  • Nápověda 7 – množina všech řešení soustavy

    Množina všech řešení soustavy lineárních rovnic je lineární množina. Napište ji.
  • Odpověď

    Řešením udané soustavy lineárních rovnic nad polem \(\mathbb{Z}_3\) je lineární množina \[ K = (0{,}2,0{,}0,2) + \big[(1{,}1,1{,}0,0),(2{,}2,0{,}1,0) \big]. \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze