Sbírka řešených úloh

Užití Gaussova eliminačního algoritmu

Úloha číslo: 1391

• Rozbor

  Pomocí Gaussova eliminačního algoritmu upravíme rozšířenou matici soustavy na řádkově odstupňovaný tvar.

  Pokračovat budeme na základě poznatků v úloze Soustava lineárních rovnic. Dle Frobeniovy věty rozhodneme, je-li soustava řešitelná. V kladném případě určíme libovolný vektor, který je řešením soustavy. Určíme dimenzi řešení a přidáme podprostor řešení homogenní soustavy s nulovým sloupcem pravých stran.

  Postup výpočtu ve stručnosti:

  1. Zapsání soustavy do rozšířené matice soustavy.
  2. Úprava rozšířené matice soustavy na odstupňovaný tvar.
  3. Rozhodnutí o řešitelnosti dle Frobeniovy věty.
  4. Určení libovolného vektoru, který je řešením.
  5. Určení dimenze řešení.
  6. Řešení homogenní soustavy s nulovým sloupcem pravých stran.
  7. Zapsání množiny všech řešení.

• Nápověda 1 – rozšířená matice soustavy

  Přepište udanou soustavu lineárních rovnic do tvaru rozšířené matice soustavy.

• Řešení nápovědy 1 – rozšířená matice soustavy

  Rozšířenou matici soustavy získáme tak, že k matici soustavy tvořené koeficienty u příslušných \(x_{ij}\) přidáme napravo sloupec pravých stran. \[ \left( \begin{array}{ccccc|c} 2 & 0 & 1 & 2 & 2 \,&\, 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 0 \,&\, 2 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 \,&\, 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 2 \,&\, 0 \\ \end{array} \right) \]

• Nápověda 2 – úprava na odstupňovaný tvar

  Upravte rozšířenou matici soustavy na odstupňovaný tvar.

• Řešení nápovědy 2 – úprava na odstupňovaný tvar

  Rozšířenou matici soustavy upravíme pomocí Gaussova eliminačního algoritmu na odstupňovaný tvar. \[ \left( \begin{array}{ccccc|c} 2 & 0 & 1 & 2 & 2 \,&\, 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 0 \,&\, 2 \\ 2 & 2 & 2 & 1 & 1 \,&\, 0 \\ 1 & 1 & 1 & 2 & 2 \,&\, 0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II+I\\ III+II\\ IV+III\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{ccccc|c} 2 & 0 & 1 & 2 & 2 \,&\, 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 2 \,&\, 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \,&\, 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \,&\, 0 \\ \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{ccccc|c} 2 & 0 & 1 & 2 & 2 \,&\, 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 2 \,&\, 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \,&\, 2 \\ \end{array} \right) \]

• Nápověda 3 – řešitelnost soustavy dle Frobenia

  Dle Frobeniovy věty je soustava řešitelná právě tehdy, když je hodnost rozšířené matice soustavy rovna hodnosti matice soustavy. Pohledem na odstupňovaný tvar matice rozhodněte, zda je soustava řešitelná. \[ \left( \begin{array}{ccccc|c} 2 & 0 & 1 & 2 & 2 \,&\, 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 2 \,&\, 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \,&\, 2 \\ \end{array} \right) \]

• Řešení nápovědy 3 – řešitelnost soustavy dle Frobenia

  Soustava lineárních rovnic je dle Frobeniovy věty řešitelná, neboť je hodnost matice soustavy rovna hodnosti rozšířené matice soustavy. \(r(A) = r(A\,|\,b) = 3\).

• Nápověda 4 – určení vektoru řešení

  Řešením soustavy je lineární množina – libovolný vektor, který je řešením + řešení soustavy s nulovým sloupcem pravých stran. Nalezněte nejprve libovolný vektor, který je řešením.

• Řešení nápovědy 4 – určení vektoru řešení

  Nalezneme libovolný vektor, který je řešením soustavy. K tomu užijeme odstupňovaný tvar rozšířené matice soustavy. Budeme postupovat odspodu, každý řádek matice si můžeme opět představit jako rovnici. \[ \left( \begin{array}{ccccc|c} 2 & 0 & 1 & 2 & 2 \,&\, 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 2 \,&\, 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \,&\, 2 \\ \end{array} \right) \] \[ \left( \begin{array}{c} \, \overset{\,}{\_\_}, \overset{\,}{\_\_}, \overset{\,}{\_\_}, \overset{\,}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{2}}{\_\_} \, \\ \end{array} \right)\hspace{2em} \] Pracujeme ve třetím řádku. Pátá složka vektoru řešení je \(\color{maroon}{2}\), neboť \(1\cdot \color{maroon}{2} = 2\). \[ \left( \begin{array}{c} \, \overset{\,}{\_\_}, \overset{\color{blue}{2}}{\_\_}, \overset{\color{green}{0}}{\_\_}, \overset{\color{green}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{2}}{\_\_} \, \\ \end{array} \right)\hspace{2em} \] Nyní pracujeme v druhém řádku. Na další dvě pozice vektoru řešení můžeme dát pro jednoduchost dalšího výpočtu \(\color{green}{0}\). Aby rovnost druhého řádku byla splněna, bude na další pozici \(\color{blue}{2}\), neboť \(1\cdot \color{blue}{2} + 2\cdot \color{green}{0} + 1\cdot \color{green}{0} + 2\cdot \color{maroon}{2} =0\). \[ \left( \begin{array}{c} \, \overset{\color{red}{0}}{\_\_}, \overset{\color{blue}{2}}{\_\_}, \overset{\color{green}{0}}{\_\_}, \overset{\color{green}{0}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{2}}{\_\_} \, \\ \end{array} \right)\hspace{2em} \] Nyní pracujeme v řádku prvním. První složkou vektoru řešení musí být \(\color{red}{0}\), neboť \(2\cdot \color{red}{0} + 0\cdot \color{blue}{2} + 1\cdot \color{green}{0} + 2\cdot \color{green}{0} + 2\cdot \color{maroon}{2} =2\)

  Dostali jsme jeden z vektorů řešení soustavy

  \[ \big(0{,}2,0{,}0,2\big). \]

• Nápověda 5 – určení dimenze řešení

  Víme, že množinou řešení soustavy je lineární množina. Vektor jsme již nalezli. Abychom mohli nalézt i podprostor vektorů dávající nulovou pravou stranu, musíme určit jeho dimenzi – tedy kolik lineárně nezávislých vektorů máme hledat.

  Určete dimenzi řešení.

• Řešení nápovědy 5 – určení dimenze řešení

  Dimenze řešení je dána rozdílem počtu neznámých a počtu lineárně nezávislých rovnic (řádků). Neznámých je \(5\), lineárně nezávislé rovnice jsou \(3\).

  Dimenze řešení je tedy \(5-3 = 2\). Budeme hledat podprostor generovaný dvěma lineárně nezávislými vektory.

• Nápověda 6 – řešení homogenní soustavy

  Dimenze řešení je \(2\). Nalezněte tedy dva lineárně nezávislé vektory, které jsou řešením soustavy s nulovým sloupcem pravých stran.

• Řešení nápovědy 6 – řešení homogenní soustavy

  Sloupec pravých stran rozšířené matice soustavy vynulujeme a budeme řešit homogenní soustavu \[ \left( \begin{array}{ccccc|c} 2 & 0 & 1 & 2 & 2 \,&\, 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 2 \,&\, 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \,&\, 0 \\ \end{array} \right) \] \[ \left[ \begin{array}{c} \left( \begin{array}{c} \, \overset{}{\_\_}, \overset{}{\_\_}, \overset{}{\_\_}, \overset{}{\_\_}, \overset{0}{\_\_} \, \\ \end{array} \right), \\ \left( \begin{array}{c} \, \overset{}{\_\_}, \overset{}{\_\_}, \overset{}{\_\_}, \overset{}{\_\_}, \overset{0}{\_\_} \, \\ \end{array} \right)\phantom{,} \end{array} \right].\hspace{1.5em} \] Hledáme, jak je „chlívečky“ naznačeno, dva lineárně nezávislé vektory řešení, jejichž lineární obal bude tvořit podprostor lineární množiny celkového řešení.

  Poslední složky obou vektorů jsou nutně \(0\).

  Další dvě pozice navolíme tak, aby vektory byly lineárně nezávislé.

  \[ \left[ \begin{array}{c} \left( \begin{array}{c} \, \overset{}{\_\_}, \overset{}{\_\_}, \overset{\color{blue}{1}}{\_\_}, \overset{\color{blue}{0}}{\_\_}, \overset{0}{\_\_} \, \\ \end{array} \right), \\ \left( \begin{array}{c} \, \overset{}{\_\_}, \overset{}{\_\_}, \overset{\color{blue}{0}}{\_\_}, \overset{\color{blue}{1}}{\_\_}, \overset{0}{\_\_} \, \\ \end{array} \right)\phantom{,} \end{array} \right]\hspace{1.5em} \]

  Zbylé složky dopočítáme tak, aby byla soustava splněna.

  \[ \left[ \begin{array}{c} \left( \begin{array}{c} \, \overset{\color{maroon}{1}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{1}}{\_\_}, \overset{1}{\_\_}, \overset{0}{\_\_}, \overset{0}{\_\_} \, \\ \end{array} \right), \\ \left( \begin{array}{c} \, \overset{\color{maroon}{2}}{\_\_}, \overset{\color{maroon}{2}}{\_\_}, \overset{0}{\_\_}, \overset{1}{\_\_}, \overset{0}{\_\_} \, \\ \end{array} \right)\phantom{,} \end{array} \right]\hspace{1.5em} \]

• Nápověda 7 – množina všech řešení soustavy

  Množina všech řešení soustavy lineárních rovnic je lineární množina. Napište ji.

• Řešení nápovědy 7 – množina všech řešení soustavy

  Řešením je lineární množina, tedy součet

  • libovolného vektoru, který je řešením soustavy (nápověda 4),
  • podprostoru řešení, dávající nulový sloupec pravých stran (nápověda 6).

  Množina všech řešení udané soustavy je lineární množina

  \[ K = (0{,}2,0{,}0,2) + \big[(1{,}1,1{,}0,0),(2{,}2,0{,}1,0) \big]. \]

• Odpověď

  Řešením udané soustavy lineárních rovnic nad polem \(\mathbb{Z}_3\) je lineární množina \[ K = (0{,}2,0{,}0,2) + \big[(1{,}1,1{,}0,0),(2{,}2,0{,}1,0) \big]. \]