Sbírka řešených úloh

Báze vektorového prostoru I.

Úloha číslo: 1368

• Rozbor

  Máme nalézt bázi prostoru $W$, který je dán jako lineární obal množiny generátorů $\left\{(6{,}1,0{,}2),(2{,}3,4{,}1),(5{,}1,2{,}3),(3{,}0,1{,}4)\right\}$. Aby množina vektorů byla bází, musí být ještě lineárně nezávislá. Vektory proto napíšeme do řádků matice, kterou upravíme na schodovitý tvar. Vynuluje-li se některý z řádků, byla množina lineárně závislá. Nenulové řádky budou lineárně nezávislé a budou tak tvořit bázi. Pokud se žádný z řádků nevynuluje, je množina lineárně nezávislá a tvoří přímo bázi udaného prostoru.

  ---

  Zápis $$\langle x \rangle_\mathrm{k.b.} = (1{,}2,1{,}1)$$ říká, že souřadnice vektoru $x$ vůči kanonické bázi jsou $(1{,}2,1{,}1)$. Souřadnice vektoru $x$ vůči kanonické bázi jsou koeficienty lineární kombinace vektorů kanonické báze dávající vektor $x$, tj. $$x = 1\cdot(1{,}0,0{,}0) + 2 \cdot (0{,}1,0{,}0) + 1\cdot (0{,}0,1{,}0) + 1\cdot (0{,}0,0{,}1) = (1{,}2,1{,}1).$$

  Souřadnice vektoru vůči kanonické bázi představují přímo složky vektoru.

  Nalezneme-li tedy bázi $B = \lbrace b_1,b_2,b_3,b_4\rbrace$ musí pro souřadnice vektoru $x$ platit

  $$x = (1{,}2,1{,}1) = x_1 \cdot b_1 + x_2 \cdot b_2 + x_3 \cdot b_3 + x_4\cdot b_4.$$ Z této vektorové rovnice vypočítáme souřadnice $x_1,x_2,x_3$.

• 1. Nápověda

  Nalezněte bázi $B$ prostoru $W$ napsáním vektorů $$(6{,}1,0{,}2),(2{,}3,4{,}1),(5{,}1,2{,}3), (3{,}0,1{,}4)$$ do řádků matice a její úpravou na odstupňovaný tvar.

  Dimenze prostoru $W$ je počet vektorů jeho libovolné báze.

• 1. Řešení nápovědy

  Vektory $(6{,}1,0{,}2),(2{,}3,4{,}1),(5{,}1,2{,}3), (3{,}0,1{,}4)$ generující prostor $W$ napíšeme do řádků matice, kterou upravíme na odstupňovaný tvar.

  Pozor, pracujeme nad polem $\mathbb{Z}_7$!

  $$\begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 5 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 1 & 4 \\ \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II + 2I\\ III + II\\ IV + 2II\\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 4 & 5 \\ 0 & 4 & 6 & 4 \\ 0 & 6 & 2 & 6 \\ \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III + 2II\\ IV + 2III\\ \end{array} \sim$$ $$\sim \begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}.$$ Lineárně nezávislá množina generující prostor $W$, která tvoří bázi, je například $$B = \big\{(6{,}1,0{,}2),(0{,}5,4{,}5)\big\}.$$ Bázi tvoří dva vektory, proto $$\mathrm{dim~} W = 2.$$

• 2. Nápověda

  Určete souřadnice vektoru $x$ vůči nalezené bázi

  $$B = \left\{(6{,}1,0{,}2),(0{,}5,4{,}5)\right\},$$ jsou-li jeho souřadnice vůči kanonické bázi prostoru $\mathbb{Z}_7^4$ $$(1{,}2,1{,}1).$$

• 2. Řešení nápovědy

  Souřadnice vektoru $x$ vzhledem k $B = \left\{ (6{,}1,0{,}2),(0{,}5,4{,}5) \right\}$ označme $x_1,x_2$.

  Hledejme $x_1,x_2$ tak aby $$(1{,}2,1{,}1) = x_1\cdot (6{,}1,0{,}2) + x_2\cdot (0{,}5,4{,}5).$$

  Řešení lze vzhledem k nulám ve vektorech „odhadnout“.

  • Abychom napravo získali v první složce jedničku, musí být $x_1 = 6$, protože $6{\cdot} 6 = 1$.
  • Abychom napravo získali ve třetí složce jedničku, musí být $x_2 = 2$, protože $2{\cdot} 4 = 1.$

  Pro jistotu můžeme provést zkoušku

  $$(1{,}2,1{,}1) = 6\cdot (6{,}1,0{,}2) + 2\cdot (0{,}5,4{,}5),$$

  neboť by se mohlo stát, že vektor $x$ nepatří do prostoru $W$ a žádná $x_1, x_2$ by v takovém případě vektorové rovnici nevyhovovala.

  Zjistili jsme, že

  $$\langle x \rangle_\mathrm{B} = (6{,}2).$$

• Odpověď

  1. Bází prostoru $W$ je například množina $$B = \big\{(6{,}1,0{,}2),(0{,}5,4{,}5)\big\},$$

     dimenze prostoru $W$ je $2$.

  2. Souřadnice vektoru $x$ vzhledem k bázi $B$ jsou $$\langle x \rangle_\mathrm{B} = (6{,}2).$$