Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Báze vektorového prostoru I.

Úloha číslo: 1368

Je dán vektorový prostor \[ W = \big[(6{,}1,0{,}2),(2{,}3,4{,}1),(5{,}1,2{,}3),(3{,}0,1{,}4)\big] \subset \subset \mathbb{Z}_7^4. \]
  1. Najděte nějakou bázi \(B\) prostoru \(W\) a určete jeho dimenzi.
  2. Určete souřadnice vektoru \(x\) vzhledem k bázi \(B\), jestliže \[\langle x \rangle_\mathrm{k.b.} = (1{,}2,1{,}1).\]
  • Rozbor

    Máme nalézt bázi prostoru \(W\), který je dán jako lineární obal množiny generátorů \(\left\{(6{,}1,0{,}2),(2{,}3,4{,}1),(5{,}1,2{,}3),(3{,}0,1{,}4)\right\}\). Aby množina vektorů byla bází, musí být ještě lineárně nezávislá. Vektory proto napíšeme do řádků matice, kterou upravíme na schodovitý tvar. Vynuluje-li se některý z řádků, byla množina lineárně závislá. Nenulové řádky budou lineárně nezávislé a budou tak tvořit bázi. Pokud se žádný z řádků nevynuluje, je množina lineárně nezávislá a tvoří přímo bázi udaného prostoru.


    Zápis \[\langle x \rangle_\mathrm{k.b.} = (1{,}2,1{,}1)\] říká, že souřadnice vektoru \(x\) vůči kanonické bázi jsou \((1{,}2,1{,}1)\). Souřadnice vektoru \(x\) vůči kanonické bázi jsou koeficienty lineární kombinace vektorů kanonické báze dávající vektor \(x\), tj. \[x = 1\cdot(1{,}0,0{,}0) + 2 \cdot (0{,}1,0{,}0) + 1\cdot (0{,}0,1{,}0) + 1\cdot (0{,}0,0{,}1) = (1{,}2,1{,}1).\]

    Souřadnice vektoru vůči kanonické bázi představují přímo složky vektoru.

    Nalezneme-li tedy bázi \(B = \lbrace b_1,b_2,b_3,b_4\rbrace\) musí pro souřadnice vektoru \(x\) platit

    \[x = (1{,}2,1{,}1) = x_1 \cdot b_1 + x_2 \cdot b_2 + x_3 \cdot b_3 + x_4\cdot b_4.\] Z této vektorové rovnice vypočítáme souřadnice \(x_1,x_2,x_3\).
  • 1. Nápověda

    Nalezněte bázi \(B\) prostoru \(W\) napsáním vektorů \[(6{,}1,0{,}2),(2{,}3,4{,}1),(5{,}1,2{,}3), (3{,}0,1{,}4)\] do řádků matice a její úpravou na odstupňovaný tvar.

    Dimenze prostoru \(W\) je počet vektorů jeho libovolné báze.

  • 2. Nápověda

    Určete souřadnice vektoru \(x\) vůči nalezené bázi

    \[ B = \left\{(6{,}1,0{,}2),(0{,}5,4{,}5)\right\}, \] jsou-li jeho souřadnice vůči kanonické bázi prostoru \(\mathbb{Z}_7^4\) \[(1{,}2,1{,}1).\]
  • Odpověď

    1. Bází prostoru \(W\) je například množina \[B = \big\{(6{,}1,0{,}2),(0{,}5,4{,}5)\big\},\]

      dimenze prostoru \(W\) je \(2\).

    2. Souřadnice vektoru \(x\) vzhledem k bázi \(B\) jsou \[\langle x \rangle_\mathrm{B} = (6{,}2).\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze