Sbírka řešených úloh

Báze vektorového prostoru I.

Úloha číslo: 1368

• Rozbor

  Máme nalézt bázi prostoru \(W\), který je dán jako lineární obal množiny generátorů \(\left\{(6{,}1,0{,}2),(2{,}3,4{,}1),(5{,}1,2{,}3),(3{,}0,1{,}4)\right\}\). Aby množina vektorů byla bází, musí být ještě lineárně nezávislá. Vektory proto napíšeme do řádků matice, kterou upravíme na schodovitý tvar. Vynuluje-li se některý z řádků, byla množina lineárně závislá. Nenulové řádky budou lineárně nezávislé a budou tak tvořit bázi. Pokud se žádný z řádků nevynuluje, je množina lineárně nezávislá a tvoří přímo bázi udaného prostoru.

  ---

  Zápis \[\langle x \rangle_\mathrm{k.b.} = (1{,}2,1{,}1)\] říká, že souřadnice vektoru \(x\) vůči kanonické bázi jsou \((1{,}2,1{,}1)\). Souřadnice vektoru \(x\) vůči kanonické bázi jsou koeficienty lineární kombinace vektorů kanonické báze dávající vektor \(x\), tj. \[x = 1\cdot(1{,}0,0{,}0) + 2 \cdot (0{,}1,0{,}0) + 1\cdot (0{,}0,1{,}0) + 1\cdot (0{,}0,0{,}1) = (1{,}2,1{,}1).\]

  Souřadnice vektoru vůči kanonické bázi představují přímo složky vektoru.

  Nalezneme-li tedy bázi \(B = \lbrace b_1,b_2,b_3,b_4\rbrace\) musí pro souřadnice vektoru \(x\) platit

  \[x = (1{,}2,1{,}1) = x_1 \cdot b_1 + x_2 \cdot b_2 + x_3 \cdot b_3 + x_4\cdot b_4.\] Z této vektorové rovnice vypočítáme souřadnice \(x_1,x_2,x_3\).

• 1. Nápověda

  Nalezněte bázi \(B\) prostoru \(W\) napsáním vektorů \[(6{,}1,0{,}2),(2{,}3,4{,}1),(5{,}1,2{,}3), (3{,}0,1{,}4)\] do řádků matice a její úpravou na odstupňovaný tvar.

  Dimenze prostoru \(W\) je počet vektorů jeho libovolné báze.

• 1. Řešení nápovědy

  Vektory \((6{,}1,0{,}2),(2{,}3,4{,}1),(5{,}1,2{,}3), (3{,}0,1{,}4)\) generující prostor \(W\) napíšeme do řádků matice, kterou upravíme na odstupňovaný tvar.

  Pozor, pracujeme nad polem \(\mathbb{Z}_7\)!

  \[ \begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 5 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 1 & 4 \\ \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II + 2I\\ III + II\\ IV + 2II\\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 4 & 5 \\ 0 & 4 & 6 & 4 \\ 0 & 6 & 2 & 6 \\ \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III + 2II\\ IV + 2III\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}. \] Lineárně nezávislá množina generující prostor \(W\), která tvoří bázi, je například \[ B = \big\{(6{,}1,0{,}2),(0{,}5,4{,}5)\big\}. \] Bázi tvoří dva vektory, proto \[\mathrm{dim~} W = 2.\]

• 2. Nápověda

  Určete souřadnice vektoru \(x\) vůči nalezené bázi

  \[ B = \left\{(6{,}1,0{,}2),(0{,}5,4{,}5)\right\}, \] jsou-li jeho souřadnice vůči kanonické bázi prostoru \(\mathbb{Z}_7^4\) \[(1{,}2,1{,}1).\]

• 2. Řešení nápovědy

  Souřadnice vektoru \(x\) vzhledem k \(B = \left\{ (6{,}1,0{,}2),(0{,}5,4{,}5) \right\}\) označme \(x_1,x_2\).

  Hledejme \(x_1,x_2\) tak aby \[(1{,}2,1{,}1) = x_1\cdot (6{,}1,0{,}2) + x_2\cdot (0{,}5,4{,}5).\]

  Řešení lze vzhledem k nulám ve vektorech „odhadnout“.

  • Abychom napravo získali v první složce jedničku, musí být \(x_1 = 6\), protože \(6{\cdot} 6 = 1\).
  • Abychom napravo získali ve třetí složce jedničku, musí být \(x_2 = 2\), protože \(2{\cdot} 4 = 1.\)

  Pro jistotu můžeme provést zkoušku

  \[(1{,}2,1{,}1) = 6\cdot (6{,}1,0{,}2) + 2\cdot (0{,}5,4{,}5),\]

  neboť by se mohlo stát, že vektor \(x\) nepatří do prostoru \(W\) a žádná \(x_1, x_2\) by v takovém případě vektorové rovnici nevyhovovala.

  Zjistili jsme, že

  \[\langle x \rangle_\mathrm{B} = (6{,}2).\]

• Odpověď

  1. Bází prostoru \(W\) je například množina \[B = \big\{(6{,}1,0{,}2),(0{,}5,4{,}5)\big\},\]

     dimenze prostoru \(W\) je \(2\).

  2. Souřadnice vektoru \(x\) vzhledem k bázi \(B\) jsou \[\langle x \rangle_\mathrm{B} = (6{,}2).\]