Sbírka řešených úloh

Hodnost matice

Úloha číslo: 1324

• Rozbor

  V této úloze si ukážeme, jakým způsobem určujeme hodnost matice.

  Co to vlastně je hodnost matice? Hodnost matice je dimenze prostoru generovaného řádky matice. Navíc je toto číslo rovno dimenzi prostoru sloupcového, tj. je rovno počtu bázových sloupců.

  Jinými slovy, toto číslo udává počet lineárně nezávislých vektorů prostoru generujícího řádky (dimenzi tohoto prostoru) a zároveň počtu lineárně nezávislých vektorů generující prostor sloupcový (dimenze tohoto prostoru).

  Pokud tedy matici upravíme do tvaru, z kterého budeme schopni vyčíst počet lineárně nezávislých sloupců / řádků, budeme schopni určit její hodnost.

  Takový tvar se jmenuje odstupňovaný a matici na něj lze upravit pomocí Gaussova eliminačního algoritmu. Po ukončení algoritmu bude počet lineárně nezávislých řádků odpovídat počtu nenulových řádků a počet lineárně nezávislých sloupců bude odpovídat počtu nenulových bázových sloupců.

  Více v úloze Odstupňovaný tvar, Gaussova eliminace.

  Poznámka 1.

  Později se dozvíme, že hodnost matice také odpovída hodnosti homomorfismu, jemuž přísluší zadaná matice.

  Poznámka 2.

  Řádkové úpravy nezmění hodnost matice, protože jsou ekvivalentní lineárnímu kombinování vektorů.

• Nápověda 1 – úprava na odstupňovaný tvar

  Upravte matici do řádkově odstupňovaného tvaru metodou Gaussovy eliminace.

  Pozor, počítáme nad polem \(\mathbb{Z}_3\)!

  \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

• Řešení nápovědy 1 – úprava na odstupňovaný tvar

  Matici upravíme nad \(\mathbb{Z}_3\) pomocí Gaussovy eliminace na řádkově odstupňovaný tvar.

  1. Vynulujeme prvky na druhé až čtvrté pozici v prvním sloupci \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II+I\\ III + 2I\\ IV + 2I\\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},\]

     této úpravě odpovídá transformační matice

     \[T_1=\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right).\]
  2. Prohodíme druný a čtvrtý řádek matice \[ \begin{array}{r} \phantom{I}\\ \downarrow \\ \phantom{III}\\ \uparrow \\ \end{array} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \downarrow \\ \phantom{III}\\ \uparrow \\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \]

     této úpravě odpovídá transformační matice

     \[T_2=\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right).\]

  3. Úprava matice je tak dokončena, neboť je v řádkově odstupňovaném tvaru

     \[A_V=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.\]

  Gaussovu eliminaci zaznamenává transformační matice, která je součinem dílčích transformačních matic, tj.

  \[ T=T_2 \cdot T_1=\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right).\]

  Řádkově odstupňovanou matici pak lze zapsat jakou součin transformační matice \(T\) a původní matice \(A\), tedy

  \[ A_v = T \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.\]

• Nápověda 2 – určení hodnosti matice

  V návaznosti na teorii uvedenou v rozboru nyní určete hodnost matice – využijte jejího upraveného tvaru

  \[A_V = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}.\]

• Řešení nápovědy 2 – určení hodnosti matice

  Hodnost matice je dána počtem nenulových řádků (či bázových sloupců) v řádkově odstupňovaném tvaru. Tento počet je \(2\). Hodnost matice \(A\) je \(2\).

• Odpověď

  Úpravou matice pomocí Gaussova eliminačního algoritmu jsme získali její řádkově odstupňovaný tvar

  \[A_v=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix},\]

  z něhož plyne, že hodnost matice \(A\) je \(2\). Zapisujeme \(r(A) = 2\).

• Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

  Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

  Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.