Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Maticová rovnost

Úloha číslo: 1332

Najděte matici \(X\) nad \(\mathbb{Z}_5\) splňující rovnost

\[X^T-3X+X^2 = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}. \]
  • Rozbor

    Maticovou rovnost řešíme obdobně jak standartní rovnici, s tím rozdílem, že řešením této rovnosti je matice.

    Naším úkolem je tedy, dle pravidel pro počítání s maticemi (Sčítání a násobení matic) takovou matici dopočítat.

    Během výpočtu budeme nuceni řešit soustavu rovnic, jejichž řešeními budou prvky hledané matice.

    Maticovou rovností také rozumíme zápis

    \[AX=Y,\] \[(A|Y).\]
  • Nápověda 1 – podoba matice X

    Představte si, jak musí matice \(X\) vypadat, aby splňovala veškeré podmínky pro uvedené maticové operace. Matici obecně vyjádřete.

  • Nápověda 2 – podoba transponované matice XT

    Jak vypadá transponovaná matice \(X^T\) k matici \(X\)? Zapište její vyjádření.

    Je samozřejmě nutné znát pojem transponované matice.
  • Nápověda 3 – druhá mocnina matice

    Vyjděte přímo z definice druhé mocniny, u matic tomu bude podobně.

  • Nápověda 4 – řešení rovnosti

    Do rovnosti dosaďte potřebné tvary matice, upravte ji a vyřešte porovnáním prvků na totožných pozicích - čímž vznikne zmiňovaná soustava rovnic.

  • Odpověď

    Maticová rovnost má jedno řešení. Je jím matice \[X= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}.\]
  • Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

    Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

    Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze