Sbírka řešených úloh

Maticová rovnost

Úloha číslo: 1332

• Rozbor

  Maticovou rovnost řešíme obdobně jak standartní rovnici, s tím rozdílem, že řešením této rovnosti je matice.

  Naším úkolem je tedy, dle pravidel pro počítání s maticemi (Sčítání a násobení matic) takovou matici dopočítat.

  Během výpočtu budeme nuceni řešit soustavu rovnic, jejichž řešeními budou prvky hledané matice.

  Maticovou rovností také rozumíme zápis

  \[AX=Y,\] \[(A|Y).\]

• Nápověda 1 – podoba matice X

  Představte si, jak musí matice \(X\) vypadat, aby splňovala veškeré podmínky pro uvedené maticové operace. Matici obecně vyjádřete.

• Řešení nápovědy 1 – podoba matice X

  V souladu s pravidly pro sčítání a násobení matic bude hledaná matice \(X\) čtvercovou matici řádu \(n=3\). Jinak by tomu vzhledem ke sčítání být nemohlo. Budeme tedy hledat matici obecně zapsanou

  \[X= \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12}& x_{13} \\ x_{21} & x_{22}& x_{23} \\ x_{31} & x_{32}& x_{33} \end{pmatrix}. \]

• Nápověda 2 – podoba transponované matice X^T

  Jak vypadá transponovaná matice \(X^T\) k matici \(X\)? Zapište její vyjádření.

  Je samozřejmě nutné znát pojem transponované matice.

• Řešení nápovědy 2 – podoba transponované matice X^T

  Transponovanou maticí k matici

  \[X= \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12}& x_{13} \\ x_{21} & x_{22}& x_{23} \\ x_{31} & x_{32}& x_{33} \end{pmatrix} \]

  je matice, která vznikne záměnou řádků za sloupce, tj.

  \[X^{T}=\begin{pmatrix} x_{11} & x_{21}& x_{31} \\ x_{12} & x_{22}& x_{32} \\ x_{13} & x_{23}& x_{33} \end{pmatrix}.\]

• Nápověda 3 – druhá mocnina matice

  Vyjděte přímo z definice druhé mocniny, u matic tomu bude podobně.

• Řešení nápovědy 3 – druhá mocnina matice

  Druhá mocnina matice \(X\) je dána součinem

  \[X^2=X\cdot X.\]

  Nalezněme tedy matici \(X^2\) jako součin matice \(X\) se sebou samou

  \[\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12}& x_{13} \\ x_{21} & x_{22}& x_{23} \\ x_{31} & x_{32}& x_{33} \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12}& x_{13} \\ x_{21} & x_{22}& x_{23} \\ x_{31} & x_{32}& x_{33} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12}& x_{13} \\ x_{21} & x_{22}& x_{23} \\ x_{31} & x_{32}& x_{33} \end{pmatrix} =\] \[ = \left(\begin{smallmatrix} x_{11}x_{11} + x_{12}x_{21} + x_{13}x_{31}& x_{11}x_{12} + x_{12}x_{22} + x_{13}x_{32}& x_{11}x_{13} + x_{12}x_{23} + x_{13}x_{33}& \\ x_{21}x_{11} + x_{22}x_{21} + x_{23}x_{31}& x_{21}x_{12} + x_{22}x_{22} + x_{23}x_{32}& x_{21}x_{13} + x_{22}x_{23} + x_{23}x_{33}& \\ x_{31}x_{11} + x_{32}x_{21} + x_{33}x_{31}& x_{31}x_{12} + x_{32}x_{22} + x_{33}x_{32}& x_{31}x_{13} + x_{32}x_{23} + x_{33}x_{33}& \end{smallmatrix}\right).\]

• Nápověda 4 – řešení rovnosti

  Do rovnosti dosaďte potřebné tvary matice, upravte ji a vyřešte porovnáním prvků na totožných pozicích - čímž vznikne zmiňovaná soustava rovnic.

• Řešení nápovědy 4 – řešení rovnosti

  Do zadané rovnosti

  \[X^T-3X+X^2 = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}\]

  dosadíme vyjádření matic \(X^T\) a \(X^2\)

  \[ \begin{pmatrix} x_{11} & x_{21}& x_{31} \\ x_{12} & x_{22}& x_{32} \\ x_{13} & x_{23}& x_{33} \end{pmatrix}-3\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12}& x_{13} \\ x_{21} & x_{22}& x_{23} \\ x_{31} & x_{32}& x_{33} \end{pmatrix} + \] \[ + \left(\begin{smallmatrix} x_{11}x_{11} + x_{12}x_{21} + x_{13}x_{31}& x_{11}x_{12} + x_{12}x_{22} + x_{13}x_{32}& x_{11}x_{13} + x_{12}x_{23} + x_{13}x_{33} \\ x_{21}x_{11} + x_{22}x_{21} + x_{23}x_{31}& x_{21}x_{12} + x_{22}x_{22} + x_{23}x_{32}& x_{21}x_{13} + x_{22}x_{23} + x_{23}x_{33} \\ x_{31}x_{11} + x_{32}x_{21} + x_{33}x_{31}& x_{31}x_{12} + x_{32}x_{22} + x_{33}x_{32}& x_{31}x_{13} + x_{32}x_{23} + x_{33}x_{33} \end{smallmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}.\]

  Matice na levé straně sečteme a získáme rovnost matic

  \[\hspace{-0.7em}\left(\begin{smallmatrix} x_{11}x_{11} + x_{12}x_{21} + x_{13}x_{31} + 3x_{11} & x_{11}x_{12} + x_{12}x_{22} + x_{13}x_{32} + x_{21}+2x_{12} & x_{11}x_{13} + x_{12}x_{23} + x_{13}x_{33} + x_{31}+2x_{13} \\ x_{21}x_{11} + x_{22}x_{21} + x_{23}x_{31} + x_{12}+2x_{21} & x_{21}x_{12} + x_{22}x_{22} + x_{23}x_{32} + 3x_{22} & x_{21}x_{13} + x_{22}x_{23} + x_{23}x_{33}+ x_{ 32}+2x_{23} \\ x_{31}x_{11} + x_{32}x_{21} + x_{33}x_{31}+x_{13}+2x_{31} & x_{31}x_{12} + x_{32}x_{22} + x_{33}x_{32}+x_{23}+2x_{32} & x_{31}x_{13} + x_{32}x_{23} + x_{33}x_{33} + 3x_{33}& \end{smallmatrix}\right)= \] \[ = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}.\]

  Aby rovnost platila, musí se prvky obou matic na stejných pozicích rovnat.

  \[x_{11}x_{11} + x_{12}x_{21} + x_{13}x_{31} + 3x_{11}+1=0\] \[x_{11}x_{12} + x_{12}x_{22} + x_{13}x_{32} + x_{21}+2x_{12}+2=0\] \[x_{11}x_{13} + x_{12}x_{23} + x_{13}x_{33} + x_{31}+2x_{13}+2=0\] \[x_{21}x_{11} + x_{22}x_{21} + x_{23}x_{31} + x_{12}+2x_{21}+4=0\] \[x_{21}x_{12} + x_{22}x_{22} + x_{23}x_{32} + 3x_{22}+2=0\] \[x_{21}x_{13} + x_{22}x_{23} + x_{23}x_{33}+ x_{ 32}+2x_{23} +1= 0\] \[x_{31}x_{11} + x_{32}x_{21} + x_{33}x_{31}+x_{13}+2x_{31}+2=0\] \[x_{31}x_{12} + x_{32}x_{22} + x_{33}x_{32}+x_{23}+2x_{32}=0\] \[x_{31}x_{13} + x_{32}x_{23} + x_{33}x_{33} + 3x_{33}+3=0\]

  Řešením maticové rovnosti je matice, jejíž prvky \(x_{ij}\) jsou řešením takto vzniklé soustavy devíti rovnic o devíti neznámých.

  Po vyřešení soustavy, například užitím počítače, obdržíme řešení (pozor, soustavu řešíme nad \(\mathbb{Z}_5)\)

  \[x_{11}=1,\] \[x_{12}=0,\] \[x_{13}=1,\] \[x_{21}=2,\] \[x_{22}=0,\] \[x_{23}=3,\] \[x_{31}=0,\] \[x_{32}=1,\] \[x_{33}=0.\]

  Hledanou maticí \(X\) pak bude matice

  \[X= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}.\]

• Odpověď

  Maticová rovnost má jedno řešení. Je jím matice \[X= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}.\]

• Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

  Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

  Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.