Víme, že determinant čtvercové matice \(A\) řádu \(n\) je dán sumou
\[\det{A} = \sum_{P \in \mathbb{S}_n} {\mathrm{sqn\,}{P}\cdot a_{p(1)1}\cdot\ldots \cdot a_{p(n)n}}.\]
-
Vidíme, že v prvním sloupci můžeme vybrat pouze prvek \(\color{blue}{a}\) na první pozici, v ostatních případech by byl člen sumy nulový.
\[\begin{vmatrix}
\color{blue}{a} & i & f & f\\
0 & 0 & h & 0\\
0 & e & c & o\\
0 & j & d & 0
\end{vmatrix}
\hspace{6em}
\begin{vmatrix}
\color{blue}{a} & \color{red}{i} & \color{red}{f} & \color{red}{f}\\
\color{red}{0} & 0 & h & 0\\
\color{red}{0} & e & c & o\\
\color{red}{0} & j & d & 0
\end{vmatrix}
\]
Tato volba ale znamená, že jako druhý prvek již nemůžeme vybrat žádný z prvků prvního řádku a prvního sloupce.
-
Na první pohled vidíme, že další jedinou možnou nenulovou volbou ve čtvrtém sloupci je prvek \(\color{blue}{o}\) na třetí pozici.
\[
\begin{vmatrix}
\color{blue}{a} & \color{red}{i} & \color{red}{f} & \color{red}{f}\\
\color{red}{0} & 0 & h & 0\\
\color{red}{0} & e & c & \color{blue}{o}\\
\color{red}{0} & j & d & 0
\end{vmatrix}
\hspace{6em}
\begin{vmatrix}
\color{blue}{a} & \color{red}{i} & \color{red}{f} & \color{red}{f}\\
\color{red}{0} & 0 & h & \color{red}{0}\\
\color{red}{0} & \color{red}{e} & \color{red}{c} & \color{blue}{o}\\
\color{red}{0} & j & d & \color{red}{0}
\end{vmatrix}\]
Nadále již tedy nemůžeme volit prvky čtvrtého sloupce a třetího řádku.
-
Další jednoznačně určenou volbou je prvek \(\color{blue}{j}\) ve druhém sloupci a čtvrtém řádku.
\[
\begin{vmatrix}
\color{blue}{a} & \color{red}{i} & \color{red}{f} & \color{red}{f}\\
\color{red}{0} & 0 & h & \color{red}{0}\\
\color{red}{0} & \color{red}{e} & \color{red}{c} & \color{blue}{o}\\
\color{red}{0} & \color{blue}{j} & d & \color{red}{0}
\end{vmatrix}
\hspace{6em}
\begin{vmatrix}
\color{blue}{a} & \color{red}{i} & \color{red}{f} & \color{red}{f}\\
\color{red}{0} & \color{red}{0} & h & \color{red}{0}\\
\color{red}{0} & \color{red}{e} & \color{red}{c} & \color{blue}{o}\\
\color{red}{0} & \color{blue}{j} & \color{red}{d} & \color{red}{0}
\end{vmatrix}\]
Z další volby tím vypadávají prvky druhého sloupce a čtvrtého řádku.
-
Předchozí volba také jednoznačně určuje poslední volený/zbývající prvek a to prvek \(\color{blue}{h}\) ve třetím sloupci a druhém řádku.
\[\begin{vmatrix}
\color{blue}{a} & \color{red}{i} & \color{red}{f} & \color{red}{f}\\
\color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{blue}{h} & \color{red}{0}\\
\color{red}{0} & \color{red}{e} & \color{red}{c} & \color{blue}{o}\\
\color{red}{0} & \color{blue}{j} & \color{red}{d} & \color{red}{0}
\end{vmatrix}\]
Z posloupnosti volených prvků víme, že volba byla vždy jednoznačná. Ostatní sčítance výsledné sumy ve výpočtu determinantu jsou tedy nulové.
Jediný nenulový součin v sumě je tedy tento
\[ajho = b_{11}\, b_{42}\, b_{23}\, b_{34},\]
kterému odpovídá permutace
\[P=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 4 & 2 & 3
\end{pmatrix},\]
jejíž znaménko je
\[\mathrm{sgn\,} P = (-1)^{4-2}=1.\]
Znaménko permutace bylo určeno výrazem \((-1)^{\mathrm{počet\ prvků\ permutace}\,-\,\mathrm{počet\ cyklů}}\).
Determinant je tedy roven
\[\begin{vmatrix}
a & i & f & f\\
0 & 0 & h & 0\\
0 & e & c & o\\
0 & j & d & 0
\end{vmatrix}=1aojh=ahoj.\]
