Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Symetrická a antisymetrická část bilineární formy III.

Úloha číslo: 1472

Bilineární forma \(f\) má vzhledem k bázím \(M=\{(2{,}1,0),(0{,}2,0),(1{,}0,1) \},\,\, N=\{ (1{,}1,1),(2{,}1,0),(0{,}2,2) \}\) prostoru \(\mathbb{Z}^3_3\) analytické vyjádření

\[f(x,y)=2x_1y_2+x_1y_3+2x_2y_1+x_2y_3+x_3y_1+2x_3y_3\]

Vyjádřete analytické vyjádření formy \(f\) vzhkeldem ke kanonické bázi prostoru, a poté ji rozložte na symetrickou a antisymetricou část.

  • Rozbor

    Definice

    Nechť \(f\) je bilineární forma na prostoru \(V\), pak \(f\) nazveme

    1. symetrickou, jestliže platí \[\forall x,y \in V:f(y,x)=f(x,y)\tag{1}\]
    2. antisymetrickou, jestliže platí \[\forall x,y \in V:f(y,x)=-f(x,y)\tag{2}\]

    Platí, že každou bilineární formu \(f\) na prostoru \(V\) dimenze nad \(T\ne 2\) můžeme právě jedním způsobem rozložit na symetrickou bilineární formu \(f_s\) a antysimetrickou bilineární formu \(f_a\) tak, že platí:

    \[f(x,y)=f_s(x,y)+f_a(x,y)\tag{0}\]

    Důkaz tohoto tvrzení ponechme obsahem jiné úloze. Jak ale dojdeme podoby složek \(f_s(x,y)\) a \(f_a(x,y)\)? Uvažme formu \(f(x,y)\) a platnost (0), zjevně můžeme psát:

    \[f(x,y) = f(x,y)\]

    rozložíme na dvě stejné části

    \[f(x,y) = \frac {1}{2} f(x,y) +\frac {1}{2} f(x,y)\]

    připíšeme chytrou nulu

    \[f(x,y) = \frac {1}{2} f(x,y) +\frac {1}{2} f(x,y)+\frac {1}{2} f(y,x)-\frac {1}{2} f(y,x)\]

    vhodně přeuspořádáme

    \[f(x,y) = \color{red}{\frac{1}{2}\bigg( \color{red}{f(x,y)}+\color{red}{ f(y,x)} \bigg)}+ \color{blue}{\frac{1}{2}\bigg( \color{blue}{f(x,y)}-\color{blue}{ f(y,x)} \bigg)}\tag{3}\]

    Označíme červenou závorku jako symetrickou část formy \(f_s\) a modrou závorku jako antisymetrickou část formy \(f_a\)

    \[f_s(x,y)=\frac{1}{2}\bigg( f(x,y) + f(y,x) \bigg)\tag{3.1}\] \[f_a(x,y)=\frac{1}{2}\bigg( f(x,y) - f(y,x) \bigg)\tag{3.2}\]

    Jestliže uvážíme, že \(A\) je matice původní bilineární formy \(f\), pak totéž, co jsme nyní provedli s formou \(f\), proveďme i s její maticí \(A\) v řeči matic

    \[A=A\] \[A=\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}A\] \[A=\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}A + \frac{1}{2}A^{\mathrm{T}} -\frac{1}{2}A^{\mathrm{T}}\] \[A=\frac{1}{2}A+ + \frac{1}{2}A^{\mathrm{T}} \frac{1}{2}A- \frac{1}{2}A^{\mathrm{T}}\] \[A=\color{red}{\frac{1}{2} \bigg( A + A^{\mathrm{T}} \bigg)} + \color{blue}{\frac{1}{2}\bigg( A - A^{\mathrm{T}}\bigg)}\tag{4}\] \[A_s=\frac{1}{2} \bigg( A + A^{\mathrm{T}} \bigg)\tag{4.1}\] \[A_a=\frac{1}{2} \bigg( A + A^{\mathrm{T}} \bigg)\tag{4.2}\]

    Stejně barevné složky výrazů (3), (4) si odpovídají navzájem a řešení úlohy tedy přechází v hledání maticem \(A\) původní formy \(f\), její následný rozklad dle (4) na \(A_s\) dle (4.1) a  \(A_a\) dle (4.2) a následné vyjádření jednotlivých složek \(f_s,\,\,f_a\) jež reprezentují matice \(A_s,\,\,A_a\) v  souladu s (3.1) a (3.2).

  • Matice formy A vzhledem k bázím M,N

    Ze znalosti analytického vyjádření formy \(f\) vzhledem k bázím \(M,\,\,N\) vyjádřeme její matici \(A\) v souladu s teorií.

  • Analytické vyjádření ke kanonické bázi

    Ze známého analytického vyjádření \(f\) vzhledem k bázím \(M,\,\,N\) pomocí kouzelného vzorečku a vhodných přechodů vyjádřeme analytické vyjádření vzhledem ke kanonické bázi a s tím spojenou matici \(B\).

  • Analytické vyjádření vzhledem ke kanonické bázi

    Ze znalosti matice \(B\) analytického vyjádření formy \(f\) vzhledem ke kanonické bázi vyjádřeme její analytické vyjádření vzhledem k téže bázi v souladu s teorií.

  • Analytické vyjádření ke kanonické bázi - řešení

    Symetrická část \(f_s\) má vzhledem ke kanonické bázi matici:

    \[B=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}\]

    prvky matice \(B\) s indexem \(ij\) odpovídají koeficientu členu analytického vyjádření s první složkou o indexu \(i\) a druhou o indexu \(j\), tedy:

    \[f(x,y)=2x_1y_1+2x_1y_3+x_2y_3+x_3y_1+2x_3y_3\]
  • Matice symetrické části f

    Zamysleme se, co musí platit pro prvky matice symetrické formy. Tato skutečnost by nám měla pomoci v další úvaze.

  • Analytické vyjádření symetrické části

    Ze znalosti matice \(B_s\), reprezentující symetrickou složku formy \(f_s\), určeme nyní analytické vyjádření \(f_s\).

  • Antisymetrická část

    Zamysleme se, co musí platit pro prvky matice antisymetrické formy. Tato skutečnost by nám měla pomoci v další úvaze.

  • Analytické vyjádření antisymetrické části

    Ze znalosti matice \(B_a\), reprezentující antisymetrickou složku formy \(f_a\), určeme nyní analytické vyjádření \(f_a\).

  • Řešení

    Bilineární forma \(f\) má vzhledem k bázím \(M,\,\,N\) analytické vyjádření

    \[f(x,y)=2x_1y_2+x_1y_3+2x_2y_1+x_2y_3+x_3y_1+2x_3y_3\]

    koeficienty před jednotlivými členy součtu analytického vyjádření reprezentují prvky matice formy \(A\) na řádkové pozici, odpovádající indexu první složky \(x\), a sloupcové pozici, odpovídající indexu druhé složky \(y\).

    Matice \(A\) tedy bude mít následující podobu:

    \[A= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1\\ 2 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]

    Přes kouzelný vzoreček přejdeme na vyjádření vůči kanonické bázi.

    Máme:

    \[f(x,y)= \langle x \rangle_M A \langle y \rangle_N^{\mathrm{T}}\tag{1}\]

    My ale potřebujeme analytické vyjádření vzhledem k bázi kanonické:

    \[f(x,y)= \langle x \rangle_{k.b.} B \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\tag{2}\]

    Využijeme proto matice přechodu \(P_M\) od kanonické báze k bázi \(M\), protože platí:

    \[\langle x \rangle_{M}^{\mathrm{T}}= P_M \langle x \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}} \]

    následně dle pravidel pro transponování součinu výraz transponujeme:

    \[\langle x \rangle_{M}= \langle x \rangle_{k.b.} P_M^{\mathrm{T}} \tag{3}\]

    analogicky pro pravou část získáváme:

    \[\langle y \rangle_{N}^{\mathrm{T}}= P_N \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}} \tag{4}\]

    kde \(P_N\) je matice přechodu od kanonické báze k bázi \(N\), po dosazení (4) a (3) do (1) získáváme:

    \[f(x,y)= \langle x \rangle_{k.b} P_M^{\mathrm{T}}AP_N \langle y \rangle_{k.b.}^{\mathrm{T}}\tag{5}\]

    při porovnání (5) a (2) vidíme, že hledaná matice:

    \[B=P_M^{\mathrm{T}} A P_N\tag{6}\]

    Nejprve tedy vyjádřeme matici přechodu \(P_M\) od báze kanonické k bázi \(M\), řešením výrazu \((M|E) \sim (E|P_M)\), kde vektory bází zadáváme do sloupců matic a \(E\) rozumíme jednotkovou maticí.

    \[\left( \begin{array}{lll|rrr} 2 & 0 & 1 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} II+I\\ \\ \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 2 & 0 & 1 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} 2I\\ I+III\\ II+2III\\ \end{array} \sim \] \[\sim\left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 \,&\, 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} 2II\\ \\ \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 \,&\, 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \\ \\ \end{array} \] \[P_M= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \] \[P^{\mathrm{T}}_M= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \]

    Dále stejným způsobem vyjádřeme matici přechodu \(P_N\) od báze kanonické k bázi \(N\), řešením výrazu \((N|E) \sim (E|P_N)\), kde vektory bází zadáváme do sloupců matic a \(E\) rozumíme jednotkovou maticí.

    \[\left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 2 & 0 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} II+2I\\ III+2I\\ \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 2 & 0 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} III+II\\ 2II\\ \\ \end{array} \sim \] \[\sim\left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 2 & 0 \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} II+2III\\ I+II\\ \\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 \,&\, 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \\ \\ \end{array} \] \[P_N= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \]

    po dosazení:

    \[B= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1\\ 2 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} = \] \[= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]

    prvky matice \(B\) s indexem \(ij\) odpovídají koeficientu členu analytického vyjádření s první složkou o indexu \(i\) a druhou o indexu \(j\), tedy:

    \[f(x,y)=2x_1y_1+2x_1y_3+x_2y_3+x_3y_1+2x_3y_3\]

    V souladu s úvahou, provedenou v rozboru úlohy víme, že matici symetrické části můžeme vyjádřit jako:

    \[B_s=2 \bigg( B + B^{\mathrm{T}} \bigg)\]

    Ze znalosti:

    \[B= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]

    vyjádříme:

    \[B^{\mathrm{T}}= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \]

    po dosazení:

    \[B_s=2 \bigg( B + B^{\mathrm{T}} \bigg)= 2 \bigg( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \bigg)=\] \[= 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}\]

    všimněme si, že získaná matice \(B_s\) je, dle očekávání, symetrická.

    Namísto \(\frac{1}{2}\) byl dosazen inverzní prvek v \(\mathbb{Z}_3\) ke 2 a to číslo 2, neboť \(2 {\cdot} 2 = 1\) v   \(\mathbb{Z}_3\)

    prvky matice \(B_s\) s indexem \(ij\) odpovídají koeficientu členu analytického vyjádření s první složkou o indexu \(i\) a druhou o indexu \(j\), tedy:

    \[f_s(x,y)=2x_1y_1+2x_2y_3+2x_3y_2+2x_3y_3\]

    V souladu s úvahou, provedenou v rozboru úlohy víme, že matici antisymetrické části můžeme vyjádřit jako:

    \[B_a=2 \bigg( B - B^{\mathrm{T}} \bigg)\]

    Ze znalosti:

    po dosazení:

    \[B_a=2 \bigg( B - B^{\mathrm{T}} \bigg)= 2 \bigg( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \bigg)=\] \[= 2 \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 2\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\]

    všimněme si, že získaná matice \(B_s\) je, dle očekávání, symetrická.

    Namísto \(\frac{1}{2}\) byl dosazen inverzní prvek v \(\mathbb{Z}_3\) ke 2 a to číslo 2, neboť \(2 {\cdot} 2 = 1\) v   \(\mathbb{Z}_3\)

    prvky matice \(A_a\) s indexem \(ij\) odpovídají koeficientu členu analytického vyjádření s první složkou o indexu \(i\) a druhou o indexu \(j\), tedy:

    \[f_a(x,y)=2x_1y_3+x_2y_3+x_3y_1+x_3y_2\]
  • Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

    Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

    Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze