Sbírka řešených úloh

Inverzní matice I.

Úloha číslo: 1420

• Nápověda – obecné řešení matice A

  Nalezněte charakteristický polynom matice. Uvědomte si, že je anulujícím polynomem matice a vyjádřete inverzní matici.

• Řešení nápovědy – obecné řešení matice A

  Určíme charakteristický polynom matice \[ p(\lambda) = \det(\lambda E - A) = \begin{vmatrix} \lambda - a & -b \\ -c & \lambda - d \end{vmatrix} = (\lambda-a)(\lambda-d)-bc= \] \[ = \lambda^2 -(a+d)\lambda + (ad-bc). \] Matice je kořenem svého charakteristického polynomu, proto \[ p(A) = A^2 -(a+d)A + (ad-bc)E = 0. \] Úpravami vyjádříme inverzní matici \[ \begin{eqnarray} A^2 -(a+d)A + (ad-bc)E &=& 0 \qquad \color{grey}{|\cdot A^{-1}} \\ A -(a+d)E + (ad-bc)A^{-1} &=& 0 \qquad \color{grey}{| +(a+d)E-A} \\ (ad-bc)A^{-1} &=& (a+d)E - A \qquad \color{grey}{| \cdot (ad-bc)^{-1}} \\ A^{-1} &=& \frac{1}{ad-bc}\big[(a+d)E - A\big] \end{eqnarray} \]

• Nápověda – konkrétní řešení matice B

  Dosaďte do nalezeného obecného vztahu konkrétní matici \(B\).

• Řešení nápovědy – konkrétní řešení matice B

  Pro určení inverzní matice k matici \(B\) dosadíme do nalezeného vztahu \[ B^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\big[(a+d)E - B\big] = -\frac{1}{7} \left[ 6 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} \right] = \] \[ = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}. \] Můžeme si ověřit správnost výpočtu zkouškou \[ \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 5 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} =E. \]

• Odpověď

  Inverzní maticí k matici \(A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) nad tělesem \(\mathbb{R}\) je matice \[A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\big[(a+d)E - A\big].\] K matici \(B\) nad \(\mathbb{R}\) jsme určili inverzní matici \[B^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}.\]