Sbírka řešených úloh

Součet matic III.

Úloha číslo: 1306

• Rozbor

  Budeme postupovat podle definice součtu matic.

  Kdykoli máme určit součet dvou a více matic, je důležité nejprve ověřit proveditelnost tohoto úkonu. Tedy, jestli jsou všechny zadané matice stejného typu \(m\times n\). V opačném případě není možné matice sčítat.

  Dále je dobré mít na paměti, že matice jsou vždy zadány alespoň nad okruhem, kde je sčítání komutativní a asociativní. V důsledku toho je sčítání matic rovněž komutativní a asociativní. Těchto vlastností můžeme využívat a matice sčítat v libovolném pořadí.

  Matice bývají často zadány nad tělesem \(\mathbb{Z}_p\), kde \(p\) je prvočíslo (má to své využití v praxi). V těchto případech je nutné ovládat počítání a převody čísel v konečných tělesech, které představuje úloha Z modulo n.

• Nápověda 1 – proveditelnost součtu

  Ověřte z definice součtu matic, zda je možné uvedené matice sečíst.

• Řešení nápovědy 1 – proveditelnost součtu

  • Matice \(A=\left(\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\right)\) je typu \(3\times 3\), (má 3 řádky a 3 sloupce).

  • Matice \(B=\left(\begin{smallmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{smallmatrix}\right)\) je typu \(3\times 3\), (má 3 řádky a 3 sloupce).

  • Matice \(C=\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \end{smallmatrix}\right)\) je typu \(3\times 3\), (má 3 řádky a 3 sloupce).

  • Matice \(D=\left(\begin{smallmatrix} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 \end{smallmatrix}\right)\) je typu \(3\times 3\), (má 3 řádky a 3 sloupce).

  Všechny zadané matice jsou stejného typu a je možné je tedy sečíst.

• Nápověda 2 – součet matic

  Zadané matice nyní dle definice součtu matic sečtěte.

  Pozor – matice jsou dány nad polem \(\mathbb{Z}_5\).

• Řešení nápovědy 2 – součet matic

  Matice \(A,B\) sečteme jako

  \[A+B+C+D=\] \[=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 \end{pmatrix} =\]

  zde využijeme komutativity sčítání matic v tělese \((\mathbb{Z}_5,+,\cdot)\) a součet si ulehčíme přepsáním na

  \[=A+D+B+C=\] \[=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} =\]

  z definice součtu se prvek výsledné matice \(C=A+B\) na pozici \(ij\) rovná součtu prvku matice \(A\) na pozici \(ij\) a prvku matice \(B\) na pozici \(ij\). Matice můžeme sečíst postupně

  \[=\begin{pmatrix} 1+4 & 1+4 & 1+4 \\ 1+4 & 1+4 & 1+4 \\ 1+4 & 1+4 & 1+4 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} =\] \[= \begin{pmatrix} 0+2 & 0+4 & 0+3 \\ 0+3 & 0+1 & 0+2 \\ 0+0 & 0+2 & 0+0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} =\] \[=\begin{pmatrix} 2+1 & 4+0 & 3+2 \\ 3+0 & 1+3 & 2+4 \\ 0+1 & 2+0 & 0+3 \end{pmatrix} = \color{grey}{ \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} } = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.\]

  K výsledku se ale můžeme dostat i tak, že matice sečteme najednou

  \[A+B+C+D=\] \[=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 \end{pmatrix} = \] \[ =\begin{pmatrix} 1+2+1+4 & 1+4+0+4 & 1+3+2+4 \\ 1+3+0+4 & 1+1+3+4 & 1+2+4+4 \\ 1+0+1+4 & 1+2+0+4 & 1+0+3+4 \end{pmatrix} = \] \[ = \color{grey}{ \begin{pmatrix} 8 & 9 & 10 \\ 7 & 9 & 11 \\ 6 & 7 & 8 \end{pmatrix} } = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.\] Šedě jsou vyznačeny matice, které ve výpočtu nemají co dělat, neboť obsahují prvky, které pole \(\mathbb{Z}_5\) neobsahuje! Jsou zde pouze pro ukázku počítání v konečných tělesech.

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Matice jsou stejného typu a lze je tedy sčítat. \[A+B+C+D=\] \[=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 \end{pmatrix} = \] \[ =\begin{pmatrix} 1+2+1+4 & 1+4+0+4 & 1+3+2+4 \\ 1+3+0+4 & 1+1+3+4 & 1+2+4+4 \\ 1+0+1+4 & 1+2+0+4 & 1+0+3+4 \end{pmatrix} = \] \[=\begin{pmatrix} 8 & 9 & 10 \\ 7 & 9 & 11 \\ 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\]

• Odpověď

  Součtem matic \(A,B,C,D\) je matice \[\begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.\]

• Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

  Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

  Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.