Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Součet matic III.

Úloha číslo: 1306

Určete součet \(A+B+C+D\) matic \(A,B,C,D\) nad tělesem \(\mathbb{Z}_5\) .

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}, \] \[ C= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \qquad D= \begin{pmatrix} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 \end{pmatrix} \]
  • Rozbor

    Budeme postupovat podle definice součtu matic.

    Kdykoli máme určit součet dvou a více matic, je důležité nejprve ověřit proveditelnost tohoto úkonu. Tedy, jestli jsou všechny zadané matice stejného typu \(m\times n\). V opačném případě není možné matice sčítat.

    Dále je dobré mít na paměti, že matice jsou vždy zadány alespoň nad okruhem, kde je sčítání komutativní a asociativní. V důsledku toho je sčítání matic rovněž komutativní a asociativní. Těchto vlastností můžeme využívat a matice sčítat v libovolném pořadí.

    Matice bývají často zadány nad tělesem \(\mathbb{Z}_p\), kde \(p\) je prvočíslo (má to své využití v praxi). V těchto případech je nutné ovládat počítání a převody čísel v konečných tělesech, které představuje úloha Z modulo n.

  • Nápověda 1 – proveditelnost součtu

    Ověřte z definice součtu matic, zda je možné uvedené matice sečíst.

  • Nápověda 2 – součet matic

    Zadané matice nyní dle definice součtu matic sečtěte.

    Pozor – matice jsou dány nad polem \(\mathbb{Z}_5\).

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Matice jsou stejného typu a lze je tedy sčítat. \[A+B+C+D=\] \[=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 \end{pmatrix} = \] \[ =\begin{pmatrix} 1+2+1+4 & 1+4+0+4 & 1+3+2+4 \\ 1+3+0+4 & 1+1+3+4 & 1+2+4+4 \\ 1+0+1+4 & 1+2+0+4 & 1+0+3+4 \end{pmatrix} = \] \[=\begin{pmatrix} 8 & 9 & 10 \\ 7 & 9 & 11 \\ 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\]
  • Odpověď

    Součtem matic \(A,B,C,D\) je matice \[\begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.\]
  • Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

    Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

    Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze