Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Homomorfismus III.

Úloha číslo: 1374

Endomorfismus \(f\) prostoru \(\mathbb{R}^3\) je dán předpisem \[ f(x,y,z) = (x-y+z,x-2y,x+3y-2z). \] Určete jeho jádro a obraz. Dále určete obraz vektoru \((3,-1,-2)\) a úplný vzor vektoru \((2{,}7,-4)\).
  • Rozbor

    Endomorfismus je homomorfismus, který zobrazuje vektory do prostoru stejného typu. V tomto případě je prostor vzorů i obrazů \(\mathbb{R}^3\). \[ \mathbb{R}^3 \overset{f}{\longrightarrow} \mathbb{R}^3 \] Po provedení endomorfismu na „trojsložkový“ vektor vznikne opět „trojsložkový“.

    Jádro, obraz, úplný vzor se určí naprosto analogicky jako v příkladech

  • Nápověda 1 – jádro endomorfismu

    Jádro endomorfismu \(f\) je množina \[ \mathrm{Ker\,}f=\big\{u\in \mathbb{R}^3;~f(u) = o \big\}. \] Tedy je to množina všech vektorů prostoru \(\mathbb{R}^3\), které se zobrazí na nulový vektor.

    Položte předpis endomorfismu roven nulovému vektoru a vypočítejte jádro.

  • Nápověda 2 – obraz endomorfismu

    Obraz endomorfismu \(f\) je množina \[ \mathrm{Im\,}f=\big\{v\in \mathbb{R}^3,~\exists u\in \mathbb{R}^3:~f(u) = v \big\}. \]

    Tedy je to množina všech vektorů prostoru \(\mathbb{R}^3\), na které se „něco“ zobrazí.

    • K určení obrazu endomorfismu užijte větu o obrazu množiny generátorů.
    • Jako množinu generátorů volte pro jednoduchost kanonickou bázi.
    • Obraz endomorfismu udejte jako lineární obal jeho báze.
  • Nápověda 3 – obraz vektoru

    Obraz vektoru získáte tak, že se na něj provedete předpis endomorfismu.
  • Nápověda 4 – úplný vzor

    Úplný vzor nalezneme podobně jako jádro. Nyní ale nebudeme hledat vektory, které se zobrazí na nulový vektor, ale vektory zobrazující se na vektor \((2{,}7,-4)\).

    Položte předpis endomorfismu roven vektoru \((2{,}7,-4)\).
    Nalezněte úplný vzor – množinu vektorů, která rovnost splňuje.

  • Poznámka – typ homomorfismu

    Jedná se o speciální endomorfimus. Zjistili jsme, že má nulové jádro, je tedy monomorfismem. Obrazem byl celý prostor, homomorfismus je surjektivní a jedná se i o epimorfismus. Homomorfismus, který je mono a na je izomorfismus. Izomorfmí endomorfismus je automorfismus.

    Homomorfismus \(f\) je tedy

    • endomorfismus,
    • monomorfismus,
    • epimorfismus,
    • izomorfismus,
    • automorfismus.

    Nejsilnějším pojmem je automorfismus – zahrnuje všechny ostatní vlastnosti.

  • Odpověď

    Endomorfismus \(f\) má nulové jádro, jeho obrazem je celý prostor \(\mathbb{R}^3\). Obrazem vektoru \((3,−1,−2)\) je vektor \((2{,}5,4)\). Úplným vzorem vektoru \((2{,}7,−4)\) je vektor \((1,−3,−2)\). Endomorfismus je mono i na, je tedy automorfismem.
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze