Sbírka řešených úloh

Homomorfismus III.

Úloha číslo: 1374

• Rozbor

  Endomorfismus je homomorfismus, který zobrazuje vektory do prostoru stejného typu. V tomto případě je prostor vzorů i obrazů \(\mathbb{R}^3\). \[ \mathbb{R}^3 \overset{f}{\longrightarrow} \mathbb{R}^3 \] Po provedení endomorfismu na „trojsložkový“ vektor vznikne opět „trojsložkový“.

  Jádro, obraz, úplný vzor se určí naprosto analogicky jako v příkladech

  • Homomorfismus,
  • Homomorfismus I.,
  • Homomorfismus II..

• Nápověda 1 – jádro endomorfismu

  Jádro endomorfismu \(f\) je množina \[ \mathrm{Ker\,}f=\big\{u\in \mathbb{R}^3;~f(u) = o \big\}. \] Tedy je to množina všech vektorů prostoru \(\mathbb{R}^3\), které se zobrazí na nulový vektor.

  Položte předpis endomorfismu roven nulovému vektoru a vypočítejte jádro.

• Řešení nápovědy 1 – jádro endomorfismu

  Pro nalezení jádra endomorfismu \(f\) položíme jeho předpis roven nulovému vektoru.

  \[ f(x,y,z) = (x-y+z,x-2y,x+3y-2z) = (0{,}0,0). \] Tato vektorová rovnice nám dává soustavu tří rovnic o třech neznámých. \[ \begin{array}{rrrrrrr} x & - & y & + & z & = & 0 \qquad \mathrm{(1)} \\ x & - & 2y & & & = & 0 \qquad \mathrm{(2)} \\ x & + & 3y & - & 2z & = & 0 \qquad \mathrm{(3)} \\ \end{array} \] Soustavu vyřešíme. \[ \begin{array}{lrrrrrrl} \mathrm{2\cdot(1)+(3)}\qquad & 3x & + & y & & & = & 0 \qquad \mathrm{(4)} \\ \mathrm{(2)}\qquad & x & - & 2y & & & = & 0 \\ \end{array} \] A konečně \[ \begin{array}{lrrl} \mathrm{2\cdot(4)+(2)}\qquad & 7x & = & 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0.\\ \end{array} \] Z rovnic (1) a (2) pak snadno pro zbylé neznámé \[ y = 0,\ z=0. \]

  Soustava má pouze triviální nulové řešení. Jádro obsahuje pouze nulový vektor. Endomorfismus \(f\) má nulové jádro.

  \[\mathrm{Ker\,}f = 0.\]

• Nápověda 2 – obraz endomorfismu

  Obraz endomorfismu \(f\) je množina \[ \mathrm{Im\,}f=\big\{v\in \mathbb{R}^3,~\exists u\in \mathbb{R}^3:~f(u) = v \big\}. \]

  Tedy je to množina všech vektorů prostoru \(\mathbb{R}^3\), na které se „něco“ zobrazí.

  • K určení obrazu endomorfismu užijte větu o obrazu množiny generátorů.
  • Jako množinu generátorů volte pro jednoduchost kanonickou bázi.
  • Obraz endomorfismu udejte jako lineární obal jeho báze.

• Řešení nápovědy 2 – obraz endomorfismu

  Užijeme větu o obrazu množiny generátorů, která říká, že obrazem množiny generátorů prostoru ze kterého zobrazujeme je množina generátorů prostoru do kterého zobrazujeme.

  Jako množinu generátoru prostoru \(\mathbb{R}^3\) zvolíme pro jednoduchost kanonickou bázi \[\big\{ (1{,}0,0),(0{,}1,0),(0{,}0,1)\big\}.\]

  Vektorům báze určíme obrazy jejich dosazením do předpisu homomorfismu \(f\).

  \[\color{grey}{\mathrm{Předpis}\quad f(x,y,z) = (x-y+z,x-2y,x+3y-2z).}\] \[ \begin{eqnarray} f(1{,}0,0) &=& (1{,}1,1) \\ f(0{,}1,0) &=& (-1,-2{,}3) \\ f(0{,}0,1) &=& (1{,}0,-2) \\ \end{eqnarray} \] Nyní by již bylo možné napsat odpověď \[ \mathrm{Im\,}f = \big[(1{,}1,1),(-1,-2{,}3),(1{,}0,-2) \big], \]

  to ale dělat nebudeme. Množina vektorů by totiž mohla být lineárně závislá a měli bychom v závorkách nějaký vektor zbytečně navíc.

  Nalezněme obrazu endomorfismu lineárně nezávislou množinu generátorů – bázi.

  \[ \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & 3 \\ 1 & 0 & -2 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II + I\\ III + II\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III - 2II\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & -7 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ -II\\ -III/7\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \]

  Množina je lineárně nezávislá a tvoří bázi obrazu homomorfismu.

  \[\mathrm{Im\,}f = \big[(1{,}1,1),(0{,}1,-4),(0{,}0,1) \big].\] Hodnost, tj. dimenze obrazu, která je dána počtem prvku jeho báze je \[r(f) = \mathrm{dim\,Im\,}f = 3.\] Endomorfismus zobrazuje do prostoru \(\mathbb{R}^3\) dimenze \(3\), jeho hodnost je rovněž \(3\). Endomorfismus je tedy \(na\) a obrazem je celý prostor, tj. \[ \mathrm{Im\,}f = \mathbb{R}^3. \]

• Nápověda 3 – obraz vektoru

  Obraz vektoru získáte tak, že se na něj provedete předpis endomorfismu.

• Řešení nápovědy 3 – obraz vektoru

  Pro nalezení obrazu vektoru \((3,-1,-2)\) jej dosadíme do předpisu endomorfismu \[ f(x,y,z) = (x-y+z,x-2y,x+3y-2z). \] Tedy \[ f(3,-1,-2) = (2{,}5,4). \]

• Nápověda 4 – úplný vzor

  Úplný vzor nalezneme podobně jako jádro. Nyní ale nebudeme hledat vektory, které se zobrazí na nulový vektor, ale vektory zobrazující se na vektor \((2{,}7,-4)\).

  Položte předpis endomorfismu roven vektoru \((2{,}7,-4)\).
  Nalezněte úplný vzor – množinu vektorů, která rovnost splňuje.

• Řešení nápovědy 4 – úplný vzor

  Pro nalezení úplného vzoru vektoru \((2{,}7,-4)\) jej položíme rovný předpisu endomorfismu.

  \[ f(x,y,z) = (x-y+z,x-2y,x+3y-2z) = (2{,}7,-4). \] Tato vektorová rovnice nám dává soustavu tří rovnic o třech neznámých. \[ \begin{array}{rrrrrrrr} x & - & y & + & z & = & 2 & \qquad \mathrm{(1)}\\ x & - & 2y & & & = & 7 & \qquad \mathrm{(2)}\\ x & + & 3y & - & 2z & = & -4 & \qquad \mathrm{(3)} \\ \end{array} \] Tu můžeme vyřešit pomocí matice \[ \left( \begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 0 & 7 \\ 1 & 3 & -2 & -4 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II-I\\ III-I\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -1 & 5 \\ 0 & 4 & -3 & -6 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III+4II\\ \end{array} \sim \] \[ \left( \begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & -7 & 14 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ -II\\ -III/7\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & \phantom{-}1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ \end{array} \right) \] Odtud již snadno vypočítáme neznámé \(x,y,z\). \[ \begin{eqnarray} z &=& -2 \\ y &=& -5 - z = -5 + 2 = -3 \\ x &=& 2 + y - z = 2 - 3 + 2 = 1 \\ \end{eqnarray} \]

  Úplným vzorem vektoru \((2{,}7,-4)\) je

  \[ f^{-1}(2{,}7,-4) = (1,-3,-2). \] Výsledek je v souladu s větou o úplném vzoru, která říká, že úplným vzorem je vektor + jádro. Jádro ve výsledku nijak nevystupuje, je přeci nulové!

• Poznámka – typ homomorfismu

  Jedná se o speciální endomorfimus. Zjistili jsme, že má nulové jádro, je tedy monomorfismem. Obrazem byl celý prostor, homomorfismus je surjektivní a jedná se i o epimorfismus. Homomorfismus, který je mono a na je izomorfismus. Izomorfmí endomorfismus je automorfismus.

  Homomorfismus \(f\) je tedy

  • endomorfismus,
  • monomorfismus,
  • epimorfismus,
  • izomorfismus,
  • automorfismus.

  Nejsilnějším pojmem je automorfismus – zahrnuje všechny ostatní vlastnosti.

• Odpověď

  Endomorfismus \(f\) má nulové jádro, jeho obrazem je celý prostor \(\mathbb{R}^3\). Obrazem vektoru \((3,−1,−2)\) je vektor \((2{,}5,4)\). Úplným vzorem vektoru \((2{,}7,−4)\) je vektor \((1,−3,−2)\). Endomorfismus je mono i na, je tedy automorfismem.