Sbírka řešených úloh

Lineární forma I.

Úloha číslo: 1441

• Rozbor

  Máme-li rozhodnout, zda zobrazení f je lineární formou, musíme vyjít přímo z definice:

  Nechť \(V\) Vektorový prostor nad \(T\), lineární formou \(f\) na prostoru \(V\) rozumíme každé zobrazení \(f:V \to T\) splňující následující dvě podmínky:

  1. \(\forall x,y \in V: f(x+y) = f(x) + f(y)\)
  2. \(\forall x \in V;\,\, \forall a \in T: f(ax) = af(x)\)

  Obě tyto vlastnosti lze shrnout jako: \(\forall x, y \in V; \forall a \in T: f(ax+by)=af(x) + bf(y)\) a udávají linearitu zobrazení.

  Lineární forma je tedy speciálním případem homomorfismu (více o pojem Homomorfismus).

  Splňuje-li zobrazení výše uvedenou definici, pak se jedná o lineární formu.

• Nápověda 1. - Odkud Kam

  V souladu s definicí lineární formy, uvedenou v rozboru úlohy, je nejprve vhodné ověřit, zda-li je \(f:V \to T\). V našem konkrétním případě tedy: \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)

• Nápověda 1. - Odkud Kam - řešení

  Zobrazení \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R};\,\, \forall \vec{x} \in \mathbb{R}^n: f(\vec{x}) = 0 \) je přímo zadané tak, že každému vektoru \(\vec{x}\) prostoru \(\mathbb{R}^n\) přiřazuje prvek \(0 \in \mathbb{R}\) a tedy nemusíme nic ověřovat a tuto vlastnost vyčíst přímo ze zadání úlohy.

• Nápověda 2. - Linearita zobrazení

  V souladu s definicí nyní ověřme přímým dosazením, jestli zobrazení splňuje obě podmínky linearity zobrazení:

  1. \(\forall \vec{x},\vec{y} \in \mathbb{R}^n: f(\vec{x}+\vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y})\)
  2. \(\forall \vec{x} \in \mathbb{R}^n;\,\, \forall a \in \mathbb{R}: f(a\vec{x}) = af(\vec{x})\)

• Nápověda 2. - Linearita zobrazení - řešení

  Nejprve ověřme podmínku \(\forall \vec{x},\vec{y} \in \mathbb{R}^n: f(\vec{x}+\vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y})\), kde:

  \[\vec{x} = (x_1, \cdots , x_n)\] \[\vec{y}=(y_1, \cdots, y_n)\]

  Přímým dosazením do levé strany rovnosti získáváme:

  \[\mathrm{L}=f\big((x_1,\cdots,x_n)+(y_1, \cdots, y_n)\big)=f(x_1+y_1, \cdots, x_n + y_n)\]

  Všimněme si, že vektor \((x_1+y_1, \cdots, x_n + y_n)\) je lineární kombinací dvou vektorů prostoru \(\mathbb{R}^n\) s koeficienty 1, 1 a tedy je také vektorem prostoru \(\mathbb{R}^n\), označme:

  \[\vec{z} = 1\cdot\vec{x} + 1\cdot\vec{y}=(x_1+y_1, \cdots x_n+y_n)\]

  Pak ale levou stranu můžeme přepsat jako:

  \[\mathrm{L}=f(x_1+y_1, \cdots , x_n+y_n)=f(\vec{z})=\]

  kde dle definice zobrazení:

  \[f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R};\,\, \forall \vec{z} \in \mathbb{R}^n: f(\vec{z}) = 0\tag{1}\]

  získáváme:

  \[\mathrm{L}=f(\vec{z})=0\]

  Pravou stranu můžeme po dosazení přímo přepsat jako:

  \[\mathrm{P}=f(\vec{x}) + f(\vec{y})= 0+ 0=0\]

  neboť dle (1) platí, že:

  \[f(\vec{x}) = 0\tag{2}\] \[f(\vec{y}) = 0\tag{3}\]

  Tedy celkově získáváme \(0=\mathrm{L}=\mathrm{P}=0\) a tato podmínka je splněna.

  Přikročme nyní k ověření podmínky druhé \(\forall x \in \mathbb{R}^n;\,\, \forall a \in \mathbb{R}: f(ax) = af(x)\).

  Přímým dosazením do levé strany získáváme:

  \[\mathrm{L}=f(a\vec{x})=f\big(a(x_1,\cdots,x_n)\big)=f\big((a\cdot x_1,\cdots,a\cdot x_n)\big)\]

  přičemž oznažme:

  \[\vec{z}=a\cdot \vec{x}=(a\cdot x_1,\cdots, a\cdot x_n)\]

  vektor \(\vec{z}\) je a-násobkem vektoru \(\vec{x}\) a je tedy linerní kombinací vektorů prostoru prostoru \(\mathbb{R}^n\) a tudíž také vektorem tohoto prostoru. Dle (1) můžeme levou stranu dále přepsat jako:

  \[\mathrm{L}=f(a(x_1,\cdots,x_n)=f((a\cdot x_1,\cdots,a\cdot x_n)=f(\vec{z})=0\]

  Pravou stranu můžeme přímo s využitím (1) přepsat jako:

  \[\mathrm{P}=a\cdot f( \vec{x})=a\cdot 0=0\]

  Tedy celkově získáváme \(0=\mathrm{L}=\mathrm{P}=0\) a i tato podmínka je splněna.

  Obě podmínky jsou splněny, čímž je ověřena platnost linearity zobrazení.

• Ověření linearity pro pokročilé

  V souladu s teorií uvedenou v rozboru úlohy využijme přímo vlastnosti:\(\forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^n;\,\, \forall a \in \mathbb{R}: f(a\vec{x}+b\vec{y})=af(\vec{x}) + bf(\vec{y})\) spojující v sobě obě podmínky linearity.

• Ověření linearity pro pokročilé - řešení

  Dosaďme přímo vektory \(\vec{x} = (x_1, \cdots , x_n)\) a \(\vec{y} = (y_1, \cdots , y_n)\) do levé strany shrňující podmínky linearity:

  \[\forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^n;\,\, \forall a \in \mathbb{R}: f(a\vec{x}+b\vec{y})=af(\vec{x}) + bf(\vec{y})\]

  čímž obdržíme:

  \[\mathrm{L}=f(a\vec{x}+b\vec{y})=f\big(a(x_1,\cdots ,x_n) +b(y_1, \cdots ,y_n)\big)=\] \[=f\big((a\cdot x_1,\cdots ,a\cdot x_n) +(b\cdot y_1, \cdots ,b\cdot y_n)\big)=\] \[=f\big((a\cdot x_1+b\cdot y_1,\cdots ,a\cdot x_n+b\cdot y_n)\big)\]

  vektor \((a\cdot x_1+b\cdot y_1,\cdots ,a\cdot x_n+b\cdot y_n)\) je zjevně lineární kombinací dvou vektorů prostoru \(\mathbb{R}^n\) s koeficienty a, b a tedy je také vektorem tohoto prostoru.

  Označme:

  \[\vec{z}=a\cdot\vec{x}+b\cdot\vec{y}=(a\cdot x_1+b\cdot y_1,\cdots ,a\cdot x_n+b\cdot y_n)\]

  pak můžeme levou stranu dále přepsat jako:

  \[\mathrm{L}=f\big((a\cdot x_1+b\cdot y_1,\cdots ,a\cdot x_n+b\cdot y_n)\big)=f(\vec{z})=\]

  což je s využitím definice zobrazení \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R};\,\, \forall \vec{z} \in \mathbb{R}^n: f(\vec{z}) = 0 \) možno přepsat jako:

  \[\mathrm{L}=f(\vec{z})=0\]

  Pravou stranu řešíme obdobně jako:

  \[\mathrm{P}=a\cdot f(\vec{x})+ b\cdot f(\vec{y})=a \cdot 0 + b \cdot 0=0\]

  neboť dle (1) je \(f(\vec{x})=0\) a \(f(\vec{y})=0\)

  Čímž je linearita zobrazení ověřena, neboť \(0=\mathrm{L}=\mathrm{P}=0\)

• Řešení

  Přímo z předpisu \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R};\,\, \forall \vec{x} \in \mathbb{R}^n: f(\vec{x}) = 0 \) je patrné, že každému vektoru \(\vec{x}\) prostoru \(\mathbb{R}^n\) je f přiřazen prvek \(0 \in \mathbb{R}\) a tedy f je zobrazení z \(\mathbb{R}^n\) do \(\mathbb{R}\).

  Linearitu zobrazení ověříme přímým dosazením do obou požadovaných podmínek linearity:

  Nejprve ověřme podmínku \(\forall \vec{x},\vec{y} \in \mathbb{R}^n: f(\vec{x}+\vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y})\), kde:

  \[\vec{x} = (x_1, \cdots , x_n)\] \[\vec{y}=(y_1, \cdots, y_n)\]

  Přímým dosazením do levé strany rovnosti získáváme:

  \[\mathrm{L}=f\big((x_1,\cdots,x_n)+(y_1, \cdots, y_n)\big)=f(x_1+y_1, \cdots, x_n + y_n)\]

  Všimněme si, že vektor \((x_1+y_1, \cdots, x_n + y_n)\) je lineární kombinací dvou vektorů prostoru \(\mathbb{R}^n\) s koeficienty 1, 1 a tedy je také vektorem prostoru \(\mathbb{R}^n\), označme:

  \[\vec{z} = 1\cdot\vec{x} + 1\cdot\vec{y}=(x_1+y_1, \cdots x_n+y_n)\]

  Pak ale levou stranu můžeme přepsat jako:

  \[\mathrm{L}=f(x_1+y_1, \cdots , x_n+y_n)=f(\vec{z})=\]

  kde dle definice zobrazení:

  \[f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R};\,\, \forall \vec{z} \in R^n: f(\vec{z}) = 0\tag{1}\]

  získáváme:

  \[\mathrm{L}=f(\vec{z})=0\]

  Pravou stranu můžeme po dosazení přímo přepsat jako:

  \[\mathrm{P}=f(\vec{x}) + f(\vec{y})= 0+ 0=0\]

  neboť dle (1) platí, že:

  \[f(\vec{x}) = 0\tag{2}\] \[f(\vec{y}) = 0\tag{3}\]

  Tedy celkově získáváme \(0=\mathrm{L}=\mathrm{P}=0\)a tato podmínka je splněna.

  Přikročme nyní k ověření podmínky druhé \(\forall x \in \mathbb{R}^n;\,\, \forall a \in \mathbb{R}: f(ax) = af(x)\).

  Přímým dosazením do levé strany získáváme:

  \[\mathrm{L}=f(a\vec{x})=f(a(x_1,\cdots,x_n)=f((a\cdot x_1,\cdots,a\cdot x_n)\]

  přičemž oznažme:

  \[\vec{z}=a\cdot \vec{x}=(a\cdot x_1,\cdots, a\cdot x_n)\]

  vektor \(\vec{z}\) je a-násobkem vektoru \(\vec{x}\) a je tedy linerní kombinací vektorů prostoru prostoru \(R^n\) a tudíž také vektorem tohoto prostoru. Dle (1) můžeme levou stranu dále přepsat jako:

  \[\mathrm{L}=f\big(a(x_1,\cdots,x_n)\big)=f\big((a\cdot x_1,\cdots,a\cdot x_n)\big)=f(\vec{z})=0\]

  Pravou stranu můžeme přímo s využitím (1) přepsat jako:

  \[\mathrm{P}=a\cdot f( \vec{x})=a\cdot 0=0\]

  Tedy celkově získáváme \(0=\mathrm{L}=\mathrm{P}=0\) a i tato podmínka je splněna.

  Obě podmínky jsou splněny, čímž je ověřena platnost linearity zobrazení.

  Přímo z definice lineární formy jsme tímto ověřili, že f je lineární formou na \(\mathbb{R}^n\)

  V nápovědě uveden i rychlejší postup pro zdatnější počtáře!!!

• Poznámka o Nulové formě

  Zobrazení \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}; \,\,\forall \vec{x} \in \mathbb{R}^n: f(\vec{x}) = 0 \) zveme nulovou lineární formou na prostoru \(\mathbb{R}^n\).