Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Lineární forma I.

Úloha číslo: 1441

Rozhodni, zda zobrazení \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R};\,\, \forall \vec{x} \in \mathbb{R}^n: f(\vec{x}) = 0 \) je lineární forma na prostoru \( \mathbb{R}^n\)?

  • Rozbor

    Máme-li rozhodnout, zda zobrazení f je lineární formou, musíme vyjít přímo z definice:

    Nechť \(V\) Vektorový prostor nad \(T\), lineární formou \(f\) na prostoru \(V\) rozumíme každé zobrazení \(f:V \to T\) splňující následující dvě podmínky:

    1. \(\forall x,y \in V: f(x+y) = f(x) + f(y)\)
    2. \(\forall x \in V;\,\, \forall a \in T: f(ax) = af(x)\)

    Obě tyto vlastnosti lze shrnout jako: \(\forall x, y \in V; \forall a \in T: f(ax+by)=af(x) + bf(y)\) a udávají linearitu zobrazení.

    Lineární forma je tedy speciálním případem homomorfismu (více o pojem Homomorfismus).

    Splňuje-li zobrazení výše uvedenou definici, pak se jedná o lineární formu.

  • Nápověda 1. - Odkud Kam

    V souladu s definicí lineární formy, uvedenou v rozboru úlohy, je nejprve vhodné ověřit, zda-li je \(f:V \to T\). V našem konkrétním případě tedy: \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)

  • Nápověda 2. - Linearita zobrazení

    V souladu s definicí nyní ověřme přímým dosazením, jestli zobrazení splňuje obě podmínky linearity zobrazení:

    1. \(\forall \vec{x},\vec{y} \in \mathbb{R}^n: f(\vec{x}+\vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y})\)
    2. \(\forall \vec{x} \in \mathbb{R}^n;\,\, \forall a \in \mathbb{R}: f(a\vec{x}) = af(\vec{x})\)

  • Ověření linearity pro pokročilé

    V souladu s teorií uvedenou v rozboru úlohy využijme přímo vlastnosti:\(\forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^n;\,\, \forall a \in \mathbb{R}: f(a\vec{x}+b\vec{y})=af(\vec{x}) + bf(\vec{y})\) spojující v sobě obě podmínky linearity.

  • Řešení

    Přímo z předpisu \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R};\,\, \forall \vec{x} \in \mathbb{R}^n: f(\vec{x}) = 0 \) je patrné, že každému vektoru \(\vec{x}\) prostoru \(\mathbb{R}^n\) je f přiřazen prvek \(0 \in \mathbb{R}\) a tedy f je zobrazení z \(\mathbb{R}^n\) do \(\mathbb{R}\).

    Linearitu zobrazení ověříme přímým dosazením do obou požadovaných podmínek linearity:

    Nejprve ověřme podmínku \(\forall \vec{x},\vec{y} \in \mathbb{R}^n: f(\vec{x}+\vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y})\), kde:

    \[\vec{x} = (x_1, \cdots , x_n)\] \[\vec{y}=(y_1, \cdots, y_n)\]

    Přímým dosazením do levé strany rovnosti získáváme:

    \[\mathrm{L}=f\big((x_1,\cdots,x_n)+(y_1, \cdots, y_n)\big)=f(x_1+y_1, \cdots, x_n + y_n)\]

    Všimněme si, že vektor \((x_1+y_1, \cdots, x_n + y_n)\) je lineární kombinací dvou vektorů prostoru \(\mathbb{R}^n\) s koeficienty 1, 1 a tedy je také vektorem prostoru \(\mathbb{R}^n\), označme:

    \[\vec{z} = 1\cdot\vec{x} + 1\cdot\vec{y}=(x_1+y_1, \cdots x_n+y_n)\]

    Pak ale levou stranu můžeme přepsat jako:

    \[\mathrm{L}=f(x_1+y_1, \cdots , x_n+y_n)=f(\vec{z})=\]

    kde dle definice zobrazení:

    \[f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R};\,\, \forall \vec{z} \in R^n: f(\vec{z}) = 0\tag{1}\]

    získáváme:

    \[\mathrm{L}=f(\vec{z})=0\]

    Pravou stranu můžeme po dosazení přímo přepsat jako:

    \[\mathrm{P}=f(\vec{x}) + f(\vec{y})= 0+ 0=0\]

    neboť dle (1) platí, že:

    \[f(\vec{x}) = 0\tag{2}\] \[f(\vec{y}) = 0\tag{3}\]

    Tedy celkově získáváme \(0=\mathrm{L}=\mathrm{P}=0\)a tato podmínka je splněna.

    Přikročme nyní k ověření podmínky druhé \(\forall x \in \mathbb{R}^n;\,\, \forall a \in \mathbb{R}: f(ax) = af(x)\).

    Přímým dosazením do levé strany získáváme:

    \[\mathrm{L}=f(a\vec{x})=f(a(x_1,\cdots,x_n)=f((a\cdot x_1,\cdots,a\cdot x_n)\]

    přičemž oznažme:

    \[\vec{z}=a\cdot \vec{x}=(a\cdot x_1,\cdots, a\cdot x_n)\]

    vektor \(\vec{z}\) je a-násobkem vektoru \(\vec{x}\) a je tedy linerní kombinací vektorů prostoru prostoru \(R^n\) a tudíž také vektorem tohoto prostoru. Dle (1) můžeme levou stranu dále přepsat jako:

    \[\mathrm{L}=f\big(a(x_1,\cdots,x_n)\big)=f\big((a\cdot x_1,\cdots,a\cdot x_n)\big)=f(\vec{z})=0\]

    Pravou stranu můžeme přímo s využitím (1) přepsat jako:

    \[\mathrm{P}=a\cdot f( \vec{x})=a\cdot 0=0\]

    Tedy celkově získáváme \(0=\mathrm{L}=\mathrm{P}=0\) a i tato podmínka je splněna.

    Obě podmínky jsou splněny, čímž je ověřena platnost linearity zobrazení.

    Přímo z definice lineární formy jsme tímto ověřili, že f je lineární formou na \(\mathbb{R}^n\)

    V nápovědě uveden i rychlejší postup pro zdatnější počtáře!!!

  • Poznámka o Nulové formě

    Zobrazení \(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}; \,\,\forall \vec{x} \in \mathbb{R}^n: f(\vec{x}) = 0 \) zveme nulovou lineární formou na prostoru \(\mathbb{R}^n\).

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze