Duální báze VI.
Úloha číslo: 1458
Je dána báze \(M^*=\{f_1,f_2,f_3 \}\) duální k bázi \(M\) na prostoru \(\mathbb{Z}^3_5\).
Určete souřadnice vektoru \(u=(2{,}1,3)\) vzhledem k bázi \(M\), jestliže formy \(f_1, f_2,f_3\) jsou zadány vzhledem ke kanonické bázi následovně:
\[f_1(x)=2x_1+1x_2\] \[f_2(x)=1x_1+4x_2+3x_3\] \[f_3(x)=1x_1+2x_2+1x_3\]Pozor, počítáme nad \(\mathbb{Z}^3_5\)!!!
Rozbor
Před zahájením výpočtu je vhodné zopakovat si následující teorii:
Co je vlastně úkolem?
Úkolem je vyjádřit bázi \(M\), k níž je báze \(M^*\) duální vzhledem k bázi \(N\), vůči níž jsou zadány formy tvořící bázi \(M^*\).
Následující postup uplatňujeme v případě obecnějšího zadání vektorů báze \(M^*\) vzhledem k obecné bázi \(N\) prostoru, nad kterým počítáme.
Postup
Známe-li vyjádření forem báze \(M^*\) vzhledem k bázi \(N\) a máme-li určit z těchto údajů bázi \(M\) k níž je \(M^*\) duální, postupujme následovně:
Nejprve určeme vektory báze \(M\) vzhledem ke kanonické bázi prostoru.
Kde využijeme platnost \(M^* \cdot M = E\) a hledání duální báze tak převedeme v řešení maticového výrazu:
\[(\langle M^*\rangle_N|E) \sim \cdots \sim (\langle M\rangle_{k.b.}|E)\]kde zadáme-li vektory \( \langle M^*\rangle_N \) v řádcích, pak obdržíme vektory \( \langle M \rangle_{k.b.} \) v sloupcích maticového výrazu a naopak.
Pomocí matice přechodu \(P\) od báze \(N\) ke kanonické bázi vyjádřeme souřadnice získaných vektorů báze \(M\) vzhledem k bázi \(N\).
Řešením maticového výrazu \((E|N) \sim (E|P)\) určeme matici přechodu \(P\) od \(k.b.\) k \(N\).
Vektory bází píšeme do sloupců matic, \(E\) rozumíme jednotkovou maticí a \(P\) hledanou maticí přechodu.
Matici \(M\) pak získáme jako:
\[\langle M \rangle_N=P \langle M\rangle_{k.b.}\]kdy vektory hledané báze \(M\) budou obsaženy v sloupcích matice \(\langle M \rangle_N\).
Nápověda 1. - Využití duality bází
S využitím duality bází vyjádřete \( \langle M\rangle_{k.b.} \).
Nápověda 2. - u vzhledem k M
Pomocí získané matice \(M\) určete, v souladu s teorií, obsaženou v obsahu, souřadnice vektoru u vzhledem k bázi \(M\):\( \langle u \rangle_M\).
Řešení
Bázi \(M\), k níž je \(M^*\) duální, zadanou vůči vektorům kanonické báze, získáme řešením výrazu:
\[(\langle M^*\rangle_{k.b.}|E) \sim \cdots \sim (\langle M\rangle_{k.b.}|E)\]kde zadáme-li vektory \(\langle M^*\rangle_N\) v řádcích, pak obdržíme vektory \(\langle M\rangle_{k.b.}\) v sloupcích maticového výrazu a naopak.
Maticový výraz tedy řešíme jako:
\[\left( \begin{array}{lll|rrr} \cdots & \langle f_1\rangle_{k.b.} & \cdots & \,&\, 1 & 0 & 0 \\ \cdots & \langle f_2\rangle_{k.b.} & \cdots & & 0 & 1 & 0 \\ \cdots & \langle f_3\rangle_{k.b.} & \cdots & & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \] \[=\left( \begin{array}{lll|rrr} 2 & 1 & 0 & \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 3 & & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \sim \cdots \] \[ \cdots \sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 & \,&\, \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & 0 & & \langle m_1\rangle_{k.b.} & \langle m_2\rangle_{k.b.} & \langle m_3\rangle_{k.b.} \\ 0 & 0 & 1 & & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{array} \right)\]po dosazení:
\[\left( \begin{array}{lll|rrr} 2 & 1 & 0 & \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 3 & & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} II+2I\\ III+2I\\ \\ \end{array} \sim \] \[\sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 2 & 1 & 0 & \,&\, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & & 2 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} III+II\\ 3I\\ \\ \end{array} \sim \] \[\sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 3 & 0 & \,&\, 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & & 4 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} II+3III\\ I+2II\\ 4III\\ \end{array} \sim \] \[\sim \left( \begin{array}{lll|rrr} 1 & 0 & 0 & \,&\, 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & & 4 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & & 1 & 4 & 4 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \\ \\ \end{array} \] \[ \langle M\rangle_{k.b.} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 4 & 4 & 3\\ 1 & 4 & 4 \end{pmatrix} \]Kde souřadnice vektorů báze \(M\) vzhledem ke kanonické bázi jsou v sloupcích získané matice \( \langle M\rangle_{k.b.}\).
Nakonec dosazením do \(\langle u\rangle^{\mathrm{T}}_M=M\langle u\rangle^{\mathrm{T}}_{k.b.}\) získáme:
\[ \langle u\rangle^{\mathrm{T}}_M=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\ 4 & 4 & 3\\ 1 & 4 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \]Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!
Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).
Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.
