Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Lineární obal I.

Úloha číslo: 1363

Je dána množina \(M = \big\{(2{,}0,3),(4{,}1,4),(3{,}2,2)\big\}\subset \mathbb{Z}_5^3.\)

Rozhodněte, zda je vektor \(u = (1{,}2,3)\) prkvem lineárního obalu množiny \(M\).
  • Rozbor

    K určení, zda-li patří vektor \(u\) do lineárního obalu množiny \(M\), využijeme následující větu. (Věta byla dokázána v úloze Lineární obal.)

    Lineární obal a lineární kombinace

    Nechť \(V\) je vektorový prostor nad polem \(T\).

    Lineárním obalem podmnožiny \(M\) prostoru \(V\) je množina všech lineárních kombinací vektorů množiny \(M\) s koeficienty z pole \(T\).

    Na základě této věty tedy stačí zjistit, lze-li vektor \(u\) zapsat jako lineární kombinaci vektorů množiny \(M\).
  • Nápověda – pomocí soustavy rovnic

    Aby \(u\in\left[ M \right]\), musí být vektor \(u\) lineární kombinací vektorů množiny \(M\).

    Napište vektorovou rovnici vyjadřující tuto podmínku. Vektorová rovnice představuje pro složky tři skalární rovnice, které tvoří soustavu. Vyřešte ji.

  • Nápověda – pomocí matice

    Ovládate-li již řešení soustav lineárních rovnic pomocí matic, ověřte že \(u\in\left[M\right].\)
  • Poznámka – matice alternativně

    Úloha lze řešit maticí přímo. Souřadnice vektorů množiny \(M\) se napíší do řádků matice a pod ně se přidají souřadnice vektoru \(u\). Užitím Gaussova eliminačního algoritmu matici upravujeme na schodovitý tvar. Získáme-li nulový řádek matice, byla množina lineárně závislá, tj. přidaný vektor \(u\) patřil do lineárního obalu \(\left[M\right]\).

    \[ \phantom{\sim} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 4 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{array}{c} \phantom{I}\\ 2\ II + I\\ III + I\\ IV + II\\ \end{array} ~\sim~ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ \end{pmatrix} \begin{array}{c} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III + 4 II\\ IV + III\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix} \begin{array}{c} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ IV + 2III\\ \end{array} \sim~ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \phantom{ \begin{array}{c} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ IV + 2III\\ \end{array}} \] Vektor \(u\) je lineární kombinací vektorů množiny \(M\). Platí tedy, že \(u\in\left[M\right]\).
  • Odpověď

    Vektor \(u = (1,\,2,\,3)\) je prkvem lineárního obalu množiny \(M\).
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze