Sbírka řešených úloh

Ekvivalence podobnost matic

Úloha číslo: 1409

• Rozbor

  Aby byla binární relace ekvivalencí, musí být reflexivní, symetrická a tranzitivní.

  Nutno tedy ukázat, že \[ \begin{array}{rl@{\quad}ll} \mathrm{1.} & \forall A \in T^{n\times n}:& A\sim A & \mathrm{(reflexivita)} \\ \mathrm{2.} & \forall A,B \in T^{n\times n}:& A\sim B\ \Rightarrow\ B\sim A \quad & \mathrm{(symetrie)}\\ \mathrm{3.} & \forall K,L,M \in T^{n\times n}:& K\sim L \wedge L\sim M \ \Rightarrow\ K\sim M \quad & \mathrm{(tranzitivita)} \end{array} \] Symbolem \(\sim\) je označena zkoumaná relace matic být podobný na množině \(T^{n\times n}\).

• Nápověda 1 – reflexivita

  Ukažte, že relace být podobný je reflexivní (tj. \( \forall A \in T^{n\times n}: A\sim A\)).

• Řešení nápovědy 1 – reflexivita

  Nechť \(A\) je libovolná matice z \(T^{n\times n}\). Aby byla matice podobná sama se sebou, musí pro ni v \(T^{n\times n}\) existovat regulární matice \(X\) taková, že \[A = X^{-1}AX.\] Taková matice \(X\) ale určitě existuje, je jí jednotková matice \(E\), neboť platí \[A = E^{-1}AE.\] Tato rovnost nastává pro libovolnou matici \(A\in T^{n\times n}\), relace je tedy reflexivní.

• Nápověda 2 – symetrie

  Ukažte, že relace být podobný je symetrická
  (tj. \(\forall A,B \in T^{n\times n}: A\sim B \Rightarrow B\sim A\)).

• Řešení nápovědy 2 – symetrie

  Nechť \(A,B\) jsou libovolné matice z \(T^{n\times n}\). Matice \(A,B\) buďtež podobné. Pak existuje regulární matice \(C\in T^{n\times n}\) taková, že \[A = C^{-1}BC.\] Vynásobíme-li maticovou rovnost maticemi \(C\) zleva a \(C^{-1}\) zprava, dostaneme \[CAC^{-1} = B.\] Označíme-li inverzní matici \(C^{-1} = D\), pak je \(C = D^{-1}\). Dostáváme rovnost \[B = D^{-1}AD,\]

  která není ničím jiným, než definicí podobnosti matic \(B,A\).

  Ukázali jsme, že jsou-li matice \(A,B\) podobné, jsou podobné i matice \(B,A\). Relace je tedy symetrická.

• Nápověda 3 – tranzitivita

  Ukažte, že relace být podobný je tranzitivní
  (tj. \(\forall K,L,M \in T^{n\times n}:\quad K\sim L \wedge L\sim M \ \Rightarrow\ K\sim M\)).

• Řešení nápovědy 3 – tranzitivita

  Nechť \(K,L,M\) jsou libovolné matice z \(T^{n\times n}\). Matice \(K,L\) a matice \(L,M\) buďtež podobné.

  • Neboť jsou matice \(K,L\) podobné, existuje regulární matice \(A\) tak, že \[ K = A^{-1} L A. \tag{1}\]
  • Neboť jsou podobné i matice \(L,M\), existuje regulární matice \(B\) tak, že \[ L = B^{-1} M B. \tag{2}\]

  Dosazením za matici \(L\) v (1) z (2) dostáváme \[ K = A^{-1} (B^{-1} M B) A. \] Násobení matic je asociativní, lze tedy psát \[ K = (A^{-1} B^{-1}) M (BA). \] Užijeme vlastnosti, že inverzní matice součinu matic je součin inverzních matic v opačném pořadí. Dostáváme rovnost \[ K = (BA)^{-1} M (BA). \]

  která není ničím jiným, než definicí podobnosti matic \(K,M\).

  Ukázali jsme, že jsou-li dvojice matic \(K,L\) a \(L,M\) podobné, jsou podobné i matice \(K,M\). Relace je tedy tranzitivní.

• Závěr

  Podobnost matic je relací ekvivalence na množině čtvercových matic daného řádu, neboť je reflexivní, symetrická a tranzitivní.