Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Ekvivalence podobnost matic

Úloha číslo: 1409

Připomeňte si definici podobnosti matic.
(i) Podobnost matic

Řekněme, že matice \(A,B\) stejného řádu jsou podobné, existuje-li regulární matice \(C\) taková, že

\[A = C^{-1}B C.\]
Ukažte, že tato podobnost je relací ekvivalence na množině všech čtvercových matic daného řádu. Značme \(T^{n\times n}\).
  • Rozbor

    Aby byla binární relace ekvivalencí, musí být reflexivní, symetrická a tranzitivní.

    Nutno tedy ukázat, že \[ \begin{array}{rl@{\quad}ll} \mathrm{1.} & \forall A \in T^{n\times n}:& A\sim A & \mathrm{(reflexivita)} \\ \mathrm{2.} & \forall A,B \in T^{n\times n}:& A\sim B\ \Rightarrow\ B\sim A \quad & \mathrm{(symetrie)}\\ \mathrm{3.} & \forall K,L,M \in T^{n\times n}:& K\sim L \wedge L\sim M \ \Rightarrow\ K\sim M \quad & \mathrm{(tranzitivita)} \end{array} \] Symbolem \(\sim\) je označena zkoumaná relace matic být podobný na množině \(T^{n\times n}\).
  • Nápověda 1 – reflexivita

    Ukažte, že relace být podobný je reflexivní (tj. \( \forall A \in T^{n\times n}: A\sim A\)).
  • Nápověda 2 – symetrie

    Ukažte, že relace být podobný je symetrická
    (tj. \(\forall A,B \in T^{n\times n}: A\sim B \Rightarrow B\sim A\)).
  • Nápověda 3 – tranzitivita

    Ukažte, že relace být podobný je tranzitivní
    (tj. \(\forall K,L,M \in T^{n\times n}:\quad K\sim L \wedge L\sim M \ \Rightarrow\ K\sim M\)).
  • Závěr

    Podobnost matic je relací ekvivalence na množině čtvercových matic daného řádu, neboť je reflexivní, symetrická a tranzitivní.
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze