Sbírka řešených úloh

Maticový rozbor II.

Úloha číslo: 1425

• Poznámka

  K řešení této úlohy je třeba znát pojmy detailně představené v úlohách

  • Základní pojmy,
  • Vlastní vektory,
  • Maticový polynom,
  • Stopa, determinant a charakteristický polynom,
  • Anulující polynom matice,
  • Minimální polynom,
  • Inverzní matice.

• Nápověda 1 – char. polynom, spektrum, vlastní čísla

  Určete charakteristický polynom, spektrum a vlastní čísla matice \(A\).

  Charakteristický polynom je determinant matice \(\lambda E- A\), vlastní čísla jsou jeho kořeny. Spektrum je soubor vlastních čísel, zohledňující jejich násobnost v charakteristickém polynomu. Podrobněji v úloze Základní pojmy.

• Řešení nápovědy 1 – char. pol., spektrum, vlastní čísla

  Nejprve určíme charakteristický polynom, tedy determinant charakteristické matice \(\lambda E- A\). \[ p(\lambda) = \det(\lambda E - A)= \begin{vmatrix} \lambda - 12 & 6 & 2 \\ -18 & \lambda + 9 & 3 \\ -18 & 9 & \lambda + 3 \end{vmatrix}= \] Determinant vypočítáme například rozvojem podle prvního sloupce. \[ = (\lambda - 12)\left[(\lambda + 9)(\lambda + 3) - 27\right] + \left[6(\lambda + 3) - 18\right] - 18 \left[18-2(\lambda + 9)\right] = \] \[ = (\lambda - 12)\left[\lambda^2 + 12\lambda + 27 -27\right] + 18\left[6\lambda + 18 - 18\right] - 18\left[18-2\lambda - 18)\right] = \] \[ = (\lambda - 12)(\lambda^2 + 12\lambda) + 18{\cdot} 6 \lambda + 18{\cdot} 2\lambda = \] \[ = \lambda^3 + 12\lambda^2 - 12\lambda^2 - 144\lambda + 144\lambda = \lambda^3. \] Charakteristický polynom je tedy \[p(\lambda) = \lambda^3.\] Vlastní čísla jsou kořeny tohoto polynomu. Polynom má trojnásobný kořen \(0\), tj. \[\lambda_1 = 0.\] Spektrum je soubor vlastních čísel, zohledňující násobnost. Dostáváme spektrum \[\big\lbrace 0,{}0,{}0\big\rbrace.\]

• Nápověda 2 – vlastní vektory

  Určete vlastní vektory matice \(A\).

  Vlastní vektor matice \(A\) příslušný vlastnímu číslu \(\lambda\) je nenulový vektor splňující rovnost \(Av^\mathrm{T} = \lambda v^\mathrm{T}\). Více o vlastních vektorech viz úloha Vlastní vektory.

  Z definice vlastního vektoru plyne, že jej lze hledat jako nenulové řešení homogenní soustavy \((\lambda E -A)v^\mathrm{T} = 0\). Viz odvození.

• Řešení nápovědy 2 – vlastní vektory

  Hledejme vlastní vektory příslušící vlastnímu číslu \(\lambda_1\). Tj. hledejme nenulová řešení homogenní soustavy \((\lambda_1 E -A)v^\mathrm{T} = 0\).

  \[ \begin{pmatrix} - 12 & 6 & 2 \\ -18 & 9 & 3 \\ -18 & 9 & 3 \end{pmatrix} \sim\ \dots \ \sim \begin{pmatrix} 6 & -3 & -1 \\ \end{pmatrix} \] \[ \hspace{2.7cm} \mathrm{Řešení:} \hspace{1cm} \left[\begin{array}{ccc} (\,1 & \,2 \,& 0\,), \\ (\,1 & \,0 \,& 6\,)\phantom{,} \\ \end{array}\right]. \] Dimenze řešení je \(2\). Máme tedy dvojici lineárně nezávislých vlastních vektorů příslušící vlastnímu číslu \(\lambda_1\) \[ \begin{eqnarray} u &=& (1,{}2,{}0), \\ v &=& (1,{}0,{}6). \\ \end{eqnarray} \] Máme pouze dva lineárně nezávislé vektory. Neexistuje tedy báze prostoru \(T^3\) složená z vlastních vektorů – matice není dle věty o podobnosti diagonální matici diagonalizovatelná.

• Nápověda 3 – stopa, determinant

  Určete stopu a determinant matice \(A\).

  Absolutní člen charakteristického polynomu vynásobený \((-1)^{n}\), kde \(n\) je řád matice, určuje determinant. Opačný prvek ke koeficientu u \(\lambda^{n-1}\) určuje stopu.

  V případě úplně rozložitelného charakteristického polynomu matice lze stopu vypočítat i jako součet vlastních čísel, determinant pak jako jejich součin.

  Určení stopy a determinantu matice z charakteristického polynomu je popsáno v úloze Stopa, determinant a charakteristický polynom.

• Řešení nápovědy 3 – stopa, determinant

  Charakteristický polynom matice \(A\) je \[p(\lambda) = \lambda^3.\] Absolutní člen polynomu je nulový, stejně tak koeficient u \(\lambda^2\), proto \[ \begin{eqnarray} \det A &=& 0 \\ \mathrm{tr\,} A &=& 0 \\ \end{eqnarray} \] Neboť je charakteristický polynom úplně rozložitelný, lze stopu a determinant určit i jinak – užitím spektra matice \(\lbrace 0,{}0,{}0 \rbrace\) \[ \begin{eqnarray} &&\det A = 0\cdot{}0\cdot{}0 = 0,\\ &&\mathrm{tr\,} A = 0+0+0 = 0. \end{eqnarray} \] Správnost výpočtu si můžeme ověřit dalším způsobem. Stopu určíme z definice. Determinant je nulový, neboť matice obsahuje dva stejné řádky. \[ \begin{eqnarray} &&\mathrm{tr\,}A = \sum_{i=1}^3 a_\mathrm{ii} = a_{11} + a_{22} + a_{33} = 12 - 9 - 3 = 0,\\ &&\det A = 0.\\ \end{eqnarray} \]

• Nápověda 4 – minimální polynom

  Nalezněte minimální polynom matice \(A\).

  Minimální polynom je normovaný anulující polynom matice \(A\) nejmenšího možného stupně. Jeho hledáním jsme se zabývali v příkladě Minimální polynom.

• Řešení nápovědy 4 – minimální polynom

  Každý ireducibilní polynom, který dělí charakteristický polynom, dělí i polynom minimální, viz věta. Minimální polynom tedy hledejme mezi polynomy \[ \begin{eqnarray} \mu_1(\lambda) &=& \lambda,\\ \mu_2(\lambda) &=& \lambda^2,\\ p(\lambda) &=& \lambda^3. \end{eqnarray} \]

  • Je polynom \(\mu_1\) anulujícím polynomem matice \(A\)? Ne, není, neboť \[ \mu_1(A) = A = \begin{pmatrix} 12 & -6 & -2 \\ 18 & -9 & -3 \\ 18 & -9 & -3 \end{pmatrix} \neq O. \]
  • Je polynom \(\mu_2\) anulujícím polynomem matice \(A\)? Ano, je, neboť \[ \mu_2(A) = A^2 = \begin{pmatrix} 12 & -6 & -2 \\ 18 & -9 & -3 \\ 18 & -9 & -3 \end{pmatrix}^2= \] \[ =\begin{pmatrix} 12 & -6 & -2 \\ 18 & -9 & -3 \\ 18 & -9 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12 & -6 & -2 \\ 18 & -9 & -3 \\ 18 & -9 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = O. \]

  Polynom \(\mu_2(\lambda)\) je tak nejmenším možným anulujícím polynomem matice \(A\), je tedy minimální. \[m(\lambda) = \mu_2(\lambda) = \lambda^2\]

• Nápověda 5 – inverzní matice

  Určete inverzní matici k matici \(A\). K výpočtu užijte jejího anulujícího polynomu.

  Tuto metodu jsme již používali v úlohách Inverzní matice a Inverzní matice I.

• Řešení nápovědy 5 – inverzní matice

  Inverzní matice k matici \(A\) neexistuje, neboť \(\det A = 0\), matice není regulární.

• Opověď

  Pro matici \(A\) nad tělesem \(\mathbb{R}\) jsme našli

  • charakteristický polynom \(p(\lambda) = \lambda^3\),
  • minimální polynom \(m(\lambda) = \lambda^2\),
  • vlastní čísla \(\lambda_1 = 0\),
  • spektrum \(\lbrace 0,{}0,{}0 \rbrace\),
  • determinant \(\det A = 0\),
  • stopu \(\mathrm{tr\,}A = 0\),
  • vlastní vektory \(u=(1,{}2,{}0)\), \(v=(1,{}0,{}6)\).

  Inverzní matice neexistuje.