Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Jak na determinanty

Úloha číslo: 1328

Připomeňme si definici determinantu.

(i) Determinant matice

Nechť \(A=(a_{ij})\) je čtvercová matice řádu \(n\) nad okruhem \(R\).

Determinantem matice \(A\) rozumíme prvek okruhu \(R\), který je dán

\[\det{A} = \sum_{\substack{P\, \in\, \mathbb{S}_n}} {\mathrm{sgn\,}{P}\cdot a_{p(1)1}\cdot\ldots\cdot a_{p(n)n}}, \]

kde \(\mathbb{S}_n\) je symetrická grupa stupně \(n\), tj. množina všech permutací na \(n\) prvkové množině.

Zápisem \(a_{p(1)1}\) rozumíme permutaci P prvku v prvním sloupci matice.

Determinantem současně rozumíme matici s účelem vypočítat jej, kterou zapisujeme pomocí svislých závorek takto

\[\det{A}= \left| \begin{smallmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{smallmatrix} \right|.\]
(ii) Regulární a singulární matice podle determinantu

Regulární matice (invertibilní) má determinant různý od nuly. Singulární matice má determinant nulový.

Úloha:

Vypočtěte determinant matice \(B\) nad polem \(\mathbb{Z}_5\)

  1. z definice,
  2. Sarrusovým pravidlem,
  3. Gaussovou eliminací na trojúhelníkový tvar,
  4. metodou rozvoje podle řádku/sloupce.
\[ B= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ \end{pmatrix} \]
  • 1. Nápověda – výpočet z definice

    Počítáme-li determinant přímo z definice, pak provádíme prosté dosazení konkrétní zadané matice do definice determinantu.

    Tato metoda má však svá značná úskalí, neboť v případě, kdy počítáme determinant matice vyššího řádu (už v případě 4. nastává problém s rozsahem výpočtu), stává se výpočet velmi zdlouhavým a obtížným.

    U větších matic volíme tuto metodu zpravidla pouze v případě, že převážná většina prvků matice jsou 0.

    Vypište všechny permutace tříprvkové množiny, určete jejich znaménka. Do součtu v definici determinantu dosaďte prvky matice.

  • 2. Nápověda – Sarrusovo pravidlo

    Sarusovo pravidlo výpočtu determinantu užíváme v případě, že máme vypočítat determinant čtvercové matice druhého nebo třetího řádu.

    V případě čtvercové matice druhého řádu jednoduše odečteme od součinu prvků na hlavní diagonále součin prvků na diagonále vedlejší

    \[ \begin{vmatrix} \color{red}{a_{11}} & a_{12}\\ a_{21} & \color{red}{a_{22}} \end{vmatrix}=\color{red}{a_{11}a_{22}}-a_{21}a_{12}.\]

    Matice \(B\) je ale řádu třetího. Sarrusovo pravidlo pro tento případ vypadá jinak.

    Členy součinu vybíráme ve směru diagonál a to tak, že zachováme směr hlavní diagonály – takové permutace budou mít kladné znaménko a směr vedlejší diagonály – takové permutace budou mít znaménko záporné.

    Ve směru hlavní diagonály to jsou tři trojice (červená, modrá, žlutá)

    \[ \begin{pmatrix} \color{red}{a_{11}} & \color{blue}{a_{12}} &\color{orange}{a_{13}} \\ \color{orange}{a_{21}} & \color{red}{a_{22}} &\color{blue}{a_{23}} \\ \color{blue}{a_{31}} & \color{orange}{a_{32}} &\color{red}{a_{33}} \end{pmatrix},\]

    a ve směru vedlejší diagonály to jsou tři trojice (zelená, šedá, černá)

    \[ \begin{pmatrix} \color{green}{a_{11}} & \color{gray}{a_{12}} &{a_{13}} \\ \color{gray}{a_{21}} & {a_{22}} &\color{green}{a_{23}} \\ {a_{31}} & \color{green}{a_{32}} &\color{gray}{a_{33}} \end{pmatrix}.\]

    Z definice determinantu lze ukázat, že platí

    \[ \begin{vmatrix} {a_{11}} & {a_{12}} &{a_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} &{a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} &{a_{33}} \end{vmatrix} =\color{red}{a_{11}a_{22}a_{33}}+\color{blue}{a_{31}a_{12}a_{23}}+\color{orange}{a_{21}a_{32}a_{13}}- \] \[\hspace{8em}-\color{}{a_{31}a_{22}a_{13}}-\color{gray}{a_{21}a_{12}a_{33}}-\color{green}{a_{11}a_{32}a_{23}}.\]

    Proveďte výpočet determinantu podle Sarrusova pravidla pro matici \(B\)

  • 3. Nápověda – Gaussova eliminace na trojúhelníkový tvar

    Ukážeme si, že výpočet determinantu horní/dolní trojúhelníkové matice je velmi snadné.

    Uvažujme horní trojúhelníkovou matici. Ta má pod hlavní diagonálou samé nuly. Z definice determinantu plyne, že v každém součinu v sumě musí být právě jeden prvek z každého sloupce i z každého řádku.

    To ovšem znamená, že v případě horní trojúhelníkové matice můžeme v prvním sloupci zvolit pouze prvek v prvním řádku, ostatní jsou \(0\) a takové členy v součtu by byly automaticky nulové. Ve druhém sloupci již nemůžeme volit prvek v prvním řádku, z něho jsme zvolili první prvek. Musíme tedy zvolit prvek ve druhém řádku, protože prvky pod tím jsou opět nulové. Zjišťujeme, že jediným nenulovým členem sumy je ten, který obsahuje součin prvků na hlavní diagonále. Tato permutace je navíc sudá, proto bude její znaménko kladné.

    (iii) Determinant horní/dolní trojúhelníkové matice

    Determinant horní/dolní trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na její hlavní diagonále.

    Jak upravit Gaussovou eliminační metodou matici do horního trojúhelníkového tvaru ukazuje úloha Odstupňovaný tvar, Gaussova eliminace.

    Při úpravě na trojúhelníkovou matici musíme být obezřetní při provádění následujících úprav:

    • Prohození řádku/sloupce matice znamená přenásobení výsledného determinantu \(-1\).

    • Libovolná permutace řádků/sloupců matice znamená přenásobení výsledného determinantu znaménkem této permutace.

    • Vynásobení řádku/sloupce matice nenulovým číslem \(a\) znamená vydělení výsledného determinantu číslem \(a\).

    Převeďte matici \(B\) na horní trojúhelníkovou matici, s povědomím právě uvedených výstrah. Z takto upravené matice určete determinant.

  • 4. Nápověda – rozvoj podle řádku/sloupce

    Výpočet využívá platnosti následující věty.
    (iv) Věta o rozvoji determinantu

    Nechť \(A=(a_{ij})\) je čtvercová matice řádu \(n \gt 1\) nad okruhem \(R\).

    Pak lze pro \(j=1,\ldots ,n\) je

    • \(\det{A}=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}\det{A_{ij}}\quad\mathrm{rozvoj\ podle\ }j\mathrm{-tého\ sloupce},\)

    • \(\det{A}=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ji}\det{A_{ji}}\quad\mathrm{rozvoj\ podle\ }j\mathrm{-tého\ řádku}\),

    kde \(A_{ij}\) je matice řádu \(n-1\), která vznikne z matice \(A\) vynecháním jejího \(i\)-tého řádku a \(j\)-tého sloupce.

    Je velmi výhodné rozvíjet podle řádku/sloupce, který obsahuje co nejvíce nulových prvků. Díky nulovým členům totiž část sčítanců vypadne.

    Vypočtěte determinant matice \(B\) pomocí rozvoje. Doporučujeme provést rozvoj podle prvního sloupce.
  • Poznámka – užitečná věta

    Platí, že determinant součinu matic je roven součinu jejich determinantů.
    (v) Věta o součinu determinantů

    Nechť \(A,B\) jsou čtvercové matice řádu \(n\), pak platí

    \[\det{AB}=\det{A}\cdot\det{B}.\]
  • Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

    Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

    Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze