Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Odstupňovaný tvar, Gaussova eliminace

Úloha číslo: 1326

Pomocí Gaussova eliminačního algoritmu nalezněte nad polem \(\mathbb{Z}_5\) řádkově odstupňovaný tvar matice \[A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 1 & 3 & 5 \\ 4 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}. \]

Důležité pojmy najdete v Základní pojmy vysokoškolské matematiky, Z modulo n, Definice a vlastnosti matice a Sčítání a násobení matic.

  • Teoretický základ

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Matici

    \[A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 1 & 3 & 0 \\ 4 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix} \]

    upravíme nad \(\mathbb{Z}_5\) pomocí Gaussova algoritmu na řádkově odstupňovaný tvar.


    Volíme \(k=1\), \(j=1\).

    V \(j\)-tém sloupci, tedy prvním, se podíváme na prvek na \(k\)-té řádkové souřadnici, v tomto případě na první. Tento prvek je nenulový, fixujeme tedy \(i=1\) a pokračujeme krokem 2.

    Prohazujeme \(k\)-tý a \(i\)-tý řádek – v našem případě první s prvním, takže neprovadíme žádnou úpravu. Této úpravě odpovídá přenásobení matice \(A\) zleva transformační maticí \(T_1\), která je jednotková.

    \[A_1= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 1 & 3 & 0 \\ 4 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 1 & 3 & 0 \\ 4 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]

    Nyní užijeme 3. řádkové úpravy. Tedy přičítáním násobků \(k\)-tého řádku vynulujeme v \(j\)-tém sloupci prvky s řádkovým indexem \(k+1\) až \(m\).

    Pro aktuální hodnoty \(j,k\) to znamená: Přičítáním násobků prvního řádku vynulujeme v prvním sloupci prvky s řádkovým indexem 2 až 4.

    \[ A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 1 & 3 & 0 \\ 4 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II + 4I \\ III + I \\ IV + 3I \\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} =A_2 \]

    V řeči transformačních matic jsme právě provedli pronásobení matice \(A_1\) zleva součinem

    \[ T_4 T_3 T_2 = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right) \left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right) \left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right), \]

    čímž jsme dostali matici \(A_2\).

    Nakonec přiřadíme \(j\) hodnotu \(j+1\) a \(k\) hodnotu \(k+1\). Pro aktuální hodnoty \(j,k\) to znamená, že proměnným \(j,k\) přiřadíme hodnotu \(2\). Protože současné \(k\) i \(j\) dosud nepřekračuje maximální stanovenou hodnotu, pokračujeme krokem 1.

    V \(j\)-tém sloupci, tedy druhém, se podívám na prvek na \(k\)-té řádkové souřadnici, v tomto případě na druhé.

    Protože je tento prvek nulový, podíváme se na prvek na \(k+1\) pozici, v tomto případě na třetím řádku. Ten shledáváme také nulovým, proto \(i\) zvyšujeme na \(4\).

    Prvek na čtvrtém řádku (\(k+2\)) je již nenulový, proto \(i\) fixujeme jako \(4\) a pokračujeme krokem 2.

    Prohazujeme \(k\)-tý a \(i\)-tý řádek – v našem případě druhý se čtvrtým.

    \[A_2= \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \downarrow \\ \phantom{III}\\ \uparrow \\ \end{array} \hspace{-0.9em} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \downarrow \\ \phantom{III}\\ \uparrow \\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix} = A_3 \]

    Provedené úpravě odpovídá přenásobení matice \(A_2\) zleva maticí \[T_5= \left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\right). \]

    Nyní užijeme 3. řádkové úpravy. Tedy přičítáním násobků \(k\)-tého řádku vynulujeme v \(j\)-tém sloupci prvky s řádkovým indexem \(k+1\) až \(m\).

    Pro aktuální hodnoty \(j,k\) to znamená: Přičítáním násobků druhého řádku vynulujeme v druhém sloupci prvky s řádkovým indexem 3 a 4.

    \[ A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II} \\ III + 0II\\ IV + 0II\\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix} = A_4 \] Těmto „úpravám“ odpovídá přenásobení matice \(A_3\) zleva jednotkovými maticemi.

    Nakonec přiřadíme \(j\) hodnotu \(j+1\) a \(k\) hodnotu \(k+1\). Pro aktuální hodnoty \(j,k\) to znamená, že proměnným \(j,k\) přiřadíme hodnotu \(3\). Protože současné \(k\) i \(j\) dosud nepřekračuje maximální stanovenou hodnotu, pokračujeme krokem 1.

    V \(j\)-tém sloupci, tedy třetím, se podíváme na prvek na \(k\)-té řádkové souřadnici, v tomto případě na třetí.

    Protože je tento prvek nenulový, \(i\) fixujeme jako \(3\) a pokračujeme krokem 2.

    Prohazujeme \(k\)-tý a \(i\)-tý řádek – v našem případě třetí s třetím, takže vlastně neděláme žádnou úpravu.

    Této „úpravě“ odpovídá přenásobení matice \(A_4\) zleva jednotkovou maticí, čímž získáme opět matici \(A_4\).

    Nyní užijeme 3. řádkové úpravy. Tedy přičítáním násobků \(k\)-tého řádku vynulujeme v \(j\)-tém sloupci prvky s řádkovým indexem \(k+1\) až \(m\).

    Pro aktuální hodnoty \(j,k\) to znamená: Přičítáním násobků třetího řádku vynulujeme v třetím sloupci prvky s řádkovým indexem \(4\).

    \[ A_4 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I} \\ \phantom{II} \\ \phantom{III}\\ IV + 4III \\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix} =A_5 \] Provedené úpravě odpovídá pronásobení matice \(A_4\) zleva transformační maticí \[T_6 = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \end{smallmatrix}\right). \]

    Nakonec přiřadíme \(j\) hodnotu \(j+1\) a \(k\) hodnotu \(k+1\). Pro aktuální hodnoty \(j,k\) to znamená, že proměnným \(j,k\) přiřadíme hodnotu \(4\). Protože současné \(k\) i \(j\) dosáhlo maximální hodnoty počtu řádků \(m=4\), algoritmus ukončujeme.

    Na výstupu máme matici v řádkově odstupňovaném tvaru

    \[A_V = A_5=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}. \]

    Bázovými sloupci jsou první čtyři sloupce.

    Řádkové úpravy jsou zaznamenány v transformační čtvercové matici \(T\) řádu \(4\), která je dána součinem dílčích transformačních matic

    \[T=T_1 \cdot \dots \cdot T_6 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 4 & 0 \end{pmatrix}.\]

    Výsledný odstupňovaný tvar Gaussovy eliminace můžeme vyjádřit součinem transformační matice \(T\) a původní matice \(A\)

    \[A_V = T\cdot A=\] \[=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 1 & 3 & 0 \\ 4 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}. \]
  • Odpověď

    Řádkově odstupňovaný tvar matice je například \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}. \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze