Sbírka řešených úloh

Determinant Gaussovou eliminací II.

Úloha číslo: 1344

• Rozbor

  Veškerá potřebná teorie pro výpočet je obsažena v úloze Jak na determinanty.

  Této metody využíváme především v případě, kdy počítáme determinant čtvercové matice řádu \(4\) a více.

  Determinant matice upravené na trojúhelníkový tvar je určen součinem prvků na hlavní diagonále.

• Nápověda

  Matici upravte na horní trojúhelníkovou pomocí Gaussovy eleminace. Nezapomeňte, že úpravy prohození řádků, či jejich přenásobení znamenají změnu determinantu, kterou je nutno zohlednit.

  Nakonec si uvědomte, že pro trojúhelníkovou matici platí, že její determinant je určen součinem prvků na hlavní diagonále.

• Řešení nápovědy

  Užitím Gaussovy metody determinant upravíme na horní trojúhelníkový tvar. \[ \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 & 1 & 3\\ 2 & 3 & 2 & 3 & 3\\ 3 & 2 & 0 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 2 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II + 2I\\ III + 3I\\ IV + I\\ V + 3I\\ \end{array} =\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 3 & 0 & 3\\ 0 & 2 & 3 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ III + 3II\\ IV + 2II\\ V + 3II\\ \end{array} = \] \[ =\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 3 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ IV + 3III\\ \phantom{IV}\\ \end{array} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 3 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \phantom{III}\\ IV + 2V\\ \phantom{IV}\\ \end{array} = \] \[ = \begin{array}{r} \phantom{i}\\ \phantom{i}\\ \phantom{i}\\ \phantom{i}\\ \color{maroon}{\uparrow}\\ \end{array} \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 3 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} \begin{array}{l} \phantom{i}\\ \phantom{i}\\ \phantom{i}\\ \color{maroon}{\downarrow} \\ \phantom{i}\\ \end{array} =\color{maroon}{-1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 3 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} \phantom{I + 0III} \]

  Matice je nyní upravená na horní trojúhelníkovou a my určujeme determinant jako součin znaménka před determinantem a prvků na hlavní diagonále

  \[=\color{maroon}{(-1)}\cdot 3 {\cdot} 1\cdot 3 {\cdot} 3 \cdot 2 =2.\]

• Odpověď

  Determinant nad okruhem \(\mathbb{Z}_4\) je \[ \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 & 1 & 3\\ 2 & 3 & 2 & 3 & 3\\ 3 & 2 & 0 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 2 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} =2.\]

• Liší-li se Váš výsledek od uvedeného!

  Jak je obsaženo v zadání, úloha je řešena nad jinou struktrou než nad reálnými čísly \(\mathbb{R}\).

  Před kontaktováním administrátorů si prosím nejprve prohlédněte úlohu Z modulo n a své výsledky se pokuste patřičně upravit.