Symetrická a antisymetrická část bilineární formy II.
Úloha číslo: 1471
Bilineární forma \(f\) má vzhledem ke kanonické bázi prostoru \(\mathbb{R}^3\) analytické vyjádření
\[f(x,y)=x_1y_1+2x_1y_2+3x_1y_3+2x_2y_1+x_2y_2+2x_3y_2+x_3y_1-x_3y_2+x_3y_3\]Rozlošte formu \(f\) na symetrickou a antisymetricou část.
Rozbor
Definice
Nechť \(f\) je bilineární forma na prostoru \(V\), pak \(f\) nazveme
- symetrickou, jestliže platí \[\forall x,y \in V:f(y,x)=f(x,y)\tag{1}\]
- antisymetrickou, jestliže platí \[\forall x,y \in V:f(y,x)=-f(x,y)\tag{2}\]
Platí, že každou bilineární formu \(f\) na prostoru \(V\) dimenze nad \(T\ne 2\) můžeme právě jedním způsobem rozložit na symetrickou bilineární formu \(f_s\) a antysimetrickou bilineární formu \(f_a\) tak, že platí:
\[f(x,y)=f_s(x,y)+f_a(x,y)\tag{0}\]Důkaz tohoto tvrzení ponechme obsahem jiné úloze. Jak ale dojdeme podoby složek \(f_s(x,y)\) a \(f_a(x,y)\)? Uvažme formu \(f(x,y)\) a platnost (0), zjevně můžeme psát:
\[f(x,y) = f(x,y)\]rozložíme na dvě stejné části
\[f(x,y) = \frac {1}{2} f(x,y) +\frac {1}{2} f(x,y)\]připíšeme chytrou nulu
\[f(x,y) = \frac {1}{2} f(x,y) +\frac {1}{2} f(x,y)+\frac {1}{2} f(y,x)-\frac {1}{2} f(y,x)\]vhodně přeuspořádáme
\[f(x,y) = \color{red}{\frac{1}{2}\bigg( \color{red}{f(x,y)}+\color{red}{ f(y,x)} \bigg)}+ \color{blue}{\frac{1}{2}\bigg( \color{blue}{f(x,y)}-\color{blue}{ f(y,x)} \bigg)}\tag{3}\]Označíme červenou závorku jako symetrickou část formy \(f_s\) a modrou závorku jako antisymetrickou část formy \(f_a\)
\[f_s(x,y)=\frac{1}{2}\bigg( f(x,y) + f(y,x) \bigg)\tag{3.1}\] \[f_a(x,y)=\frac{1}{2}\bigg( f(x,y) - f(y,x) \bigg)\tag{3.2}\]Jestliže uvážíme, že \(A\) je matice původní bilineární formy \(f\), pak totéž, co jsme nyní provedli s formou \(f\), proveďme i s její maticí \(A\) v řeči matic
\[A=A\] \[A=\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}A\] \[A=\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}A + \frac{1}{2}A^{\mathrm{T}} -\frac{1}{2}A^{\mathrm{T}}\] \[A=\frac{1}{2}A+ + \frac{1}{2}A^{\mathrm{T}} \frac{1}{2}A- \frac{1}{2}A^{\mathrm{T}}\] \[A=\color{red}{\frac{1}{2} \bigg( A + A^{\mathrm{T}} \bigg)} + \color{blue}{\frac{1}{2}\bigg( A - A^{\mathrm{T}}\bigg)}\tag{4}\] \[A_s=\frac{1}{2} \bigg( A + A^{\mathrm{T}} \bigg)\tag{4.1}\] \[A_a=\frac{1}{2} \bigg( A + A^{\mathrm{T}} \bigg)\tag{4.2}\]Stejně barevné složky výrazů (3), (4) si odpovídají navzájem a řešení úlohy tedy přechází v hledání maticem \(A\) původní formy \(f\), její následný rozklad dle (4) na \(A_s\) dle (4.1) a \(A_a\) dle (4.2) a následné vyjádření jednotlivých složek \(f_s,\,\,f_a\) jež reprezentují matice \(A_s,\,\,A_a\) v souladu s (3.1) a (3.2).
Matice formy
Ze znalosti analytického vyjádření formy \(f\) vzhledem ke kanonické bázi vyjádřeme její matici \(A\) v souladu s teorií.
Matice symetrické části f
Zamysleme se, co musí platit pro prvky matice symetrické formy. Tato skutečnost by nám měla pomoci v další úvaze.
Analytické vyjádření symetrické části
Ze znalosti matice \(A_s\), reprezentující symetrickou složku formy \(f_s\), určeme nyní analytické vyjádření \(f_s\).
Antisymetrická část
Zamysleme se, co musí platit pro prvky matice antisymetrické formy. Tato skutečnost by nám měla pomoci v další úvaze.
Analytické vyjádření antisymetrické části
Ze znalosti matice \(A_a\), reprezentující antisymetrickou složku formy \(f_a\), určeme nyní analytické vyjádření \(f_a\).
Řešení
Bilineární forma \(f\) má vzhledem ke kanonické bázi analytické vyjádření
\[f(x,y)=x_1y_1+2x_1y_2+3x_1y_3+2x_2y_1+x_2y_2+2x_3y_2+x_3y_1-x_3y_2+x_3y_3\]koeficienty před jednotlivými členy součtu analytického vyjádření reprezentují prvky matice formy \(A\) na řádkové pozici, odpovádající indexu první složky \(x\), a sloupcové pozici, odpovídající indexu druhé složky \(y\).
Matice \(A\) tedy bude mít následující podobu:
\[A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 2\\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \] \[A^{\mathrm{T}}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & -1\\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} \]V souladu s úvahou, provedenou v rozboru úlohy víme, že matici symetrické části můžeme vyjádřit jako:
\[A_s=\frac{1}{2} \bigg( A + A^{\mathrm{T}} \bigg)\]po dosazení:
\[A_s=\frac{1}{2} \bigg( A + A^{\mathrm{T}} \bigg)= \frac{1}{2} \bigg( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\ 2 & 1 & 2\\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & -1\\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} \bigg)=\] \[= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 4 & 4\\ 4 & 2 & 1\\ 4 & 1 & -2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\ 2 & 1 & \frac{1}{2}\\ 2 & \frac{1}{2} & -1 \end{pmatrix}\]všimněme si, že získaná matice \(A_s\) je, dle očekávání, symetrická.
prvky matice \(A_s\) s indexem \(ij\) odpovídají koeficientu členu analytického vyjádření s první složkou o indexu \(i\) a druhou o indexu \(j\), tedy:
\[f_s(x,y)=x_1y_1+2x_1y_2+2x_1y_3+2x_2y_1+x_2y_2+\frac{1}{2}x_2y_3+2x_3y_1+\frac{1}{2}x_3y_2-x_3y_3\]V souladu s úvahou, provedenou v rozboru úlohy víme, že matici antisymetrické části můžeme vyjádřit jako:
\[A_a=\frac{1}{2} \bigg( A - A^{\mathrm{T}} \bigg)\]po dosazení:
\[A_a=\frac{1}{2} \bigg( A - A^{\mathrm{T}} \bigg)= \frac{1}{2} \bigg( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\ 2 & 1 & 2\\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & -1\\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} \bigg)=\] \[= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 3\\ -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & \frac{3}{2}\\ -1 & -\frac{3}{2} & 0 \end{pmatrix}\]všimněme si, že získaná matice \(A_a\) je, dle očekávání, antisymetrická.
prvky matice \(A_a\) s indexem \(ij\) odpovídají koeficientu členu analytického vyjádření s první složkou o indexu \(i\) a druhou o indexu \(j\), tedy:
\[f_a(x,y)=x_3y_1-x_1y_3+\frac{3}{2}x_2y_3-\frac{3}{2}x_3y_2\]
