Sbírka řešených úloh

Najdi duální bázi II.

Úloha číslo: 1448

• Rozbor

  Máme-li určit bázi \(M^*\) duální k bázi \(M\) prostoru \(V\), je nejprve vhodné uvědomit si, jak je definován duální prostor \(V^*\) k prostoru \(V\).

  Duální prostor

  Nechť \(V\) je vektorový prostor nad tělsem \(T\), pak duálním prostorem \(V^*\) k prostoru \(V\) rozumíme prostor všem lineárních forem na prostoru \(V\).

  Prvky duálního prostoru \(V^*\) jsou všechny lineární formy na prostoru \(V\), někdy též zvány jako lineární funkcionály na \(V\).

  Platí, že \(\dim{V}=\dim{V^*}\).

  Duální báze

  Nechť \(V\) je prostor nad tělesem \(T\) dimenze \(n\) a \(f\) lineární forma na \(V\), pak duální bází \(M^*\) k bázi \(M=\{ m_1, \cdots ,m_n\}\) rozumíme bázi \(M^*=\{ f_1, \cdots ,f_n\}\) prostoru \(V\), kde platí:

  \[\forall i=1, \cdots ,n:[f_i]_M=(0, \cdots ,1_i, \cdots, 0)=e_i\]

  Prvek duální báze \(f_i\) je jinými slovy lineární forma, která má vůči bázi \(M\) analytické vyjádřením \(f_i(x_1, \cdots , x_n)=x_i\), nebo-li jinými slovy \(f_i(m_j) = \delta_{ij}\).

  Platí tedy rovnost

  \[\begin{pmatrix} \cdots & f_1 & \cdots \\ & \vdots & \\ \cdots & f_n & \cdots \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \vdots & & \vdots \\ m_1 & \cdots & m_n \\ \vdots & & \vdots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_1 m_1 & \cdots & f_1 m_n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f_n m_1 & \cdots & f_n m_n \end{pmatrix} =\] \[=\begin{pmatrix} 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}\]

  Je zjevné, že platí \(M^* \cdot M = E\) a hledání duální báze tak přechází v řešení maticové rovnosti

  \[(M|E) \sim \cdots \sim (N|E)\]

  kde zadáme-li vektory báze \(M\) v řádcích matice \(M\), pak nám vyjdou vektory báze \(M^*\) v sloupcích matice \(N\) a naopak.

  Více o analytickém vyjádření lineárních forem v úloze Analytické vyjádření lineární formy I..

• Nápověda 1.

  Dle teorie uvedené v rozboru úlohy sestavte a vyřešte maticový výraz vedoucí k nalezení duální báze.

  Následně určete duální bázi.

• Nápověda 1. - řešení (sestavení maticového výrazu)

  Víme, že i-tý prvek duální báze \(M^*\) je lineární forma \(f_i\), pro niž platí, že \(f_i(m_j) = \delta_{ij}\), kde \(m_j\) je j-tý prvek báze \(M\).

  Platí tedy rovnost \(M^* \cdot M = E\) a hledání duální báze tak přechází v řešení maticové rovnosti

  \[(M|E) \sim \cdots \sim (N|E)\]

  kde jsou-li vektory báze \(M\) zadány v řádcích matice \(M\), pak v sloupcích matice \(N\) obdržíme vektory báze \(M^*\).

  Řešme tedy výraz

  \[\left( \begin{array}{llll|rrrr} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \,&\, 1 & 0 & 0 & 0 \\ m_1 & m_2 & m_3 & m_4 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & 0 & 0 & 1 & 0 \\ & &&& 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \] \[=\left( \begin{array}{llll|rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \,&\, 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \sim \cdots \] \[ \cdots \sim \left( \begin{array}{llll|rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \,&\, \cdots & f_1 & \cdots \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & f_2 & \cdots \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & f_3 & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & f_4 & \cdots \\ \end{array} \right)\]

• Nápověda 1. - řešení (řešení maticového výrazu)

  \[\left( \begin{array}{llll|rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \,&\, 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} I-IV\\ I-III\\ I-II\\ \\ \end{array} \sim \] \[\sim \left( \begin{array}{llll|rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \,&\, 1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \] \[ N = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

• Nápověda 1. - řešení (určení vektorů duální báze)

  Řešením maticového výrazu vyšlo, že

  \[N = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

  Vzhledem k tomu, že jsme vektory báze \(M\) zadali ve sloupcích, pak matice \(N\) obsahuje vektory báze \(M^*\) ve svých řádcích, pak tedy platí

  \[M^*=\{ (1,-1,-1,-1),(0{,}1,0{,}0),(0{,}0,1{,}0),(0{,}0,0{,}1) \}\]

• Řešení

  Z platnosti vztahu \(M^* \cdot M = E\) hledání duální báze přechází v řešení matickové rovnosti

  \[(M|E) \sim \cdots \sim (N|E)\]

  kde jsou-li vektory báze \(M\) zadány v řádcích matice \(M\), pak v sloupcích matice \(N\) obdržíme vektory báze \(M^*\).

  Řešme tedy výše uvedený výraz

  \[=\left( \begin{array}{llll|rrrr} 1 & 1 & 1 & 1 \,&\, 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I} I-IV\\ I-III\\ I-II\\ \\ \end{array} \sim \] \[\sim \left( \begin{array}{llll|rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \,&\, 1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \]

  Řešením maticového výrazu vyšlo, že

  \[N = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

  Vzhledem k tomu, že jsme vektory báze \(M\) zadali ve sloupcích, pak matice \(N\) obsahuje vektory báze \(M^*\) ve svých řádcích, pak tedy platí

  \[M^*=\{ (1,-1,-1,-1),(0{,}1,0{,}0),(0{,}0,1{,}0),(0{,}0,0{,}1) \}\]

• Analytické vyjádření forem

  \[\forall x \in V:f_1(x)=x_1-x_2-x_3-x_4\] \[\forall x \in V:f_2(x)=x_2\] \[\forall x \in V:f_3(x)=x_3\] \[\forall x \in V:f_4(x)=x_4\]