Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Homomorfismus II.

Úloha číslo: 1373

Určete jádro, obraz a typ homomorfismu \(f\), který vznikne složením homomorfismů \(f_1,f_2\). \[ \begin{eqnarray} f_1:~ \mathbb{R}^3 \longrightarrow\mathbb{R}^3;\quad f_1(x,y,z) & = & (x+y,y+z,x+z)\\ f_2:~ \mathbb{R}^3 \longrightarrow\mathbb{R}^4;\quad f_2(x,y,z) & = & (3x+y,-2y+z,-x+y,2z)\\ \end{eqnarray} \]
  • Rozbor

    Stejně jak skládáme zobrazení, můžeme skládat i homomorfismy – vždyť to nejsou nic než trošku speciální zobrazení!

    Ne každá dvojice zobrazení však lze složit. Obraz prvního provedeného zobrazení musí mít nenulový průnik s definiční množinou druhého provedeného zobrazení. V případě homomorfismů to znamená, že první homomorfismus musí vektory zobrazovat do prostoru, který je prostorem vzorů pro druhý homomorfismus.

    Jádro, obraz a typ homomorfismu se určí naprosto analogicky jako v příkladech

  • Nápověda 1 – předpis složeného homomorfismu

    V jakém pořadí je možné homomorfismy složit?

    Nalezněte předpis pro složený homomorfismus.

  • Nápověda 2 – jádro homomorfismu

    Jádro homomorfismu \(f\) je množina \[ \mathrm{Ker\,}f=\big\{u\in \mathbb{R}^3;~f(u) = o \big\}. \] Tedy je to množina všech vektorů prostoru \(\mathbb{R}^3\), které se zobrazí na nulový vektor.

    Položte předpis homomorfismu roven nulovému vektoru a vypočítejte jádro.

  • Nápověda 3 – obraz homomorfismu

    Obraz homomorfismu \(f\) je množina \[ \mathrm{Im\,}f=\big\{v\in \mathbb{R}^4,~\exists u\in \mathbb{R}^3:~f(u) = v \big\}. \]

    Tedy je to množina všech vektorů prostoru \(\mathbb{R}^4\), na které se „něco“ zobrazí.

    • K určení obrazu homomorfismu užijte větu o obrazu množiny generátorů.
    • Jako množinu generátorů volte pro jednoduchost kanonickou bázi.
    • Obraz homomorfismu udejte jako lineární obal jeho báze.
  • Nápověda 4 – typ homomorfismu

    Jaké je jádro homomorfismu? Může být homomorfismus monomorfismem?

    Do jakého prostoru homomorfismus zobrazuje? Může být homomorfismus endomorfismem? Automorfismem?

    Jaká je dimenze obrazu? Jaká je dimenze prostoru, do kterého homomorfismus zobrazuje? Je homomorfismus epimorfismem? Izomorfismem?

  • Odpověď

    Homomorfismus \(f\), který je složením homomorfismů \(f_1, f_2\) má nulové jádro \[\mathrm{Ker\,}f = 0.\] Obraz homomorfismu \(f\) je \[\mathrm{Im\,}f = \big[(1,-1{,}1,2),(0{,}1,-1,-1),(0{,}0,1{,}3) \big].\] Homomorfismus \(f\) je monomorfismus.
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze