Sbírka řešených úloh

Lineární závislost

Úloha číslo: 1365

• Nápověda – řešení přímo z definice lineární závislosti

  Zjistěte, jestli není některý z vektorů množiny \(M\) lineární kombinací ostatních. Pokud je některý vektor lineární kombinací ostatních, je množina lineárně závislá.

• Řešení nápovědy – řešení přímo z definice lineární závislosti

  Vezměme například první vektor a zjistěme, zda-li není lineární kombinací ostatních vektorů. Tj. zda-li existují \(a,b\in\mathbb{Z}_7\) takové, že \[a\cdot(3{,}0,2) + b\cdot(6{,}1,4) = (1{,}4,3).\] Odtud plynou rovnice pro jednotlivé složky vektorů. \[ \begin{eqnarray} 3a + 6b &=&1\\ \phantom{3a\,+\,6} b &=& 4\\ 2a + 4b &=& 3\\ \end{eqnarray} \] První rovnice je pětinásobkem rovnice třetí, máme tedy dvě nezávislé rovnice. \[ \begin{eqnarray} \phantom{3a\,+\,6} b &=& 4\\ 2a + 4b &=& 3\\ \end{eqnarray} \] Odtud \(b=4\) a \(a = 4(3 + 3b) = 4\). Vektor \((1{,}4,3)\) je tedy lineární kombinací vektorů \((3{,}0,2)\) a \((6{,}1,4)\) s koeficienty \(4,\,4\). Množina \(M\) je lineárně závislá.

  V případě, že by první vektor nebyl lineární kombinací ostatních, museli bychom stejný výpočet provést pro druhý, případně i třetí vektor. Aby byla množina lineárně nezávislá, nesmí být žádný z vektorů lineární kombinací ostatních!

• Nápověda – řešení užitím věty o lineární závislosti

  Zjistěte, zda-li lze nulový vektor zapsat jako netriviální lineární kombinaci ostatních navzájem různých vektorů množiny. Pokud ano, je množina lineárně závislá, v opačném případě je lineárně nezávislá.

  Pojmy triviální a netriviální lineární kombinace naleznete v definici lineární kombinace v úloze Lineární obal.

• Řešení nápovědy – řešení užitím věty o lineární závislosti

  Nalezněme koeficienty \(a,b,c\) lineární kombinace vektorů množiny \(M\) tak, aby dávala nulový vektor, tj. \[ a\cdot(1{,}4,3) + b\cdot (3{,}0,2) + c\cdot (6{,}1,4) = (0{,}0,0).\] Vektorová rovnice nám dává pro složky následující tři rovnice. \[ \begin{eqnarray} a + 3b + 6c &=& 0 \tag{1}\\ 4a \phantom{\,+\,3b} + \phantom{1}c &=& 0 \tag{2}\\ 3a + 2b + 4c &=& 0 \tag{3}\\ \end{eqnarray} \] Nezapomeneme, že pracujeme nad polem \(\mathbb{Z}_7\) a soustavu vyřešíme.
  Rovnice (3) je trojnásobkem rovnice (1). Řešíme tedy soustavu \[ \begin{eqnarray} a + 3b + 6c &=& 0\\ 4a \phantom{\,+\,3b} + \phantom{1}c &=& 0\\ \end{eqnarray} \] Jako parametr zvolíme \(a \in \mathbb{Z}_7\). Potom z předchozích rovnic plyne \[ \begin{eqnarray} c &=& 3a\\ b &=& 5(c + 6a) = 3a\\ \end{eqnarray} \] Existuje netriviální lineární kombinace dávající nulový vektor.
  Například pro \(a=1\) je \(b=3\) a \(c=3\) \[(1{,}4,3) + 3\cdot(3{,}0,2) + 3\cdot(6{,}1,4) = (0{,}0,0). \] Množina \(M\)je lineárně závislá, neboť existuje netriviální lineární kombinace návzájem různých vektorů množiny \(M\) dávající nulový vektor.

  ---

  Poznámka: Zjistili jsme, že nulový vektor lze zapsat jako lineární kombinaci

  \[(1{,}4,3) + 3\cdot(3{,}0,2) + 3\cdot(6{,}1,4) = (0{,}0,0).\]

  Vyjádříme-li odtud první vektor \((1{,}4,3)\), získáme

  \[(1{,}4,3) = 4\cdot(3{,}0,2) + 4\cdot(6{,}1,4),\]

  což je výsledek předchozí metody řešení přímo z definice. Tam jsme také zjistili, že první vektor je lineární kombinací ostatních dvou s koeficienty 4 a 4.

• Nápověda – řešení elementárními úpravami v matici

  Zjistěte lineární závislost množiny pomocí matice. Složky vektorů zkoumané množiny napište do řádků. Proveďte úpravu do schodovitého tvaru pomocí Gaussova algoritmu. Množina je lineárně závislá, jestliže se některý z řádku matice vynuluje.

• Řešení nápovědy – řešení elementárními úpravami v matici

  Souřadnice vektorů napíšeme do řádků matice a převedeme ji na schodovitý tvar.
  Matici upravujeme nad polem \(\mathbb{Z}_7\)!

  \[ \begin{pmatrix} 1&4&3\\ 3&0&2\\ 6&1&4\\ \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II + 4I \\ III + I\\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 1&4&3\\ 0&2&0\\ 0&5&0\\ \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II} \\ III + II\\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 1&4&3\\ 0&2&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix} \]

  Získali jsme nulový řádek. Některý z vektorů je lineární kombinací ostatních. Množina je lineárně závislá.

• Opověď

  Množina \(M = \lbrace (1{,}4,3),(3{,}0,2),(6{,}1,4)\rbrace \subset \mathbb{Z}_7^3\) je lineárně závislá.