Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Lineární závislost

Úloha číslo: 1365

Máme-li za úkol zjistit, zda-li je množina lineárně závislá, či lineárně nezávislá, máme několik možností, jak výpočet provést. Definice lineárně závislé množiny:

(i) Lineárně závislá množina

Nechť \(V\) je vektorový prostor nad polem \(T\) a \(M\) je podmnožina \(V\).

Podmnožina \(M\) prostoru \(V\) se nazývá lineárně závislá, jestliže je nějaký její vektor lineární kombinací ostatních vektorů této množiny.

V opačném případě se \(M\) nazývá lineárně nezávislá, tj. žádný vektor z \(M\) není lineární kombinací ostatních vektorů z M.

Poznámka: Prázdná množina je lineárně nezávislá. Množina obsahující pouze nulový vektor je lineárně závislá, množina obsahující pouze nenulový vektor lineárně nezávislá.

Užitečná je i následující věta.

(ii) Lineární závislost a nulový vektor

Nechť \(V\) je vektorový prostor nad polem \(T\) a \(M\) je podmnožina \(V\).

  • Podmnožina \(M\) je lineárně závislá právě tehdy, když nulový vektor lze zapsat jako netriviální lineární kombinaci navzájem různých vektorů množiny \(M\).
  • Podmnožina \(M\) je lineárně nezávislá právě tehdy, když nulový vektor není možno zapsat jako netriviální lineární kombinaci navzájem různých vektorů množiny \(M\).

Dále si uvědomíme, jaká je souvislost mezi základními úpravami matic a vektorovým prostorem. Při Gaussově algoritmu provádíme následující úpravy

  • záměna řádků,
  • násobení řádku skalárem,
  • přičtení libovolného řádku k jinému.

Upravujeme-li tímto způsobem matici, která má v řádcích složky vektorů podmnožiny vektorového prostoru, máme po celou dobu úprav v matici vektory náležící do lineárního obalu dané podmnožiny, neboť uvedené úpravy nepředstavují nic jiného, než nahrazování vektorů jejich lineárními kombinacemi.

Utvoříme-li tedy matici tak, že do řádku zapíšeme složky vektorů zkoumané množiny a provedeme-li Gaussův eliminační algoritmus, pak je množina

  • lineárně závislá, jestliže matice obsahuje dva stejné řádky, resp. vznikne nulový řádek
  • lineárně nezávislá, jestliže není lineárně závislá.

Z uvedeného výkladu vyplývají tři možnosti, jak ověřovat lineární závislost:
  1. Přímo z definice (i) lineární závislosti.
  2. Užitím věty (ii) o lineární závislosti a nulovém vektoru.
  3. Elementárními úpravami v matici.

Úkol:

Rozhodněte, zda je množina \(M\) lineárně závislá nebo nezávislá.

\[M = \big\{ (1{,}4,3),(3{,}0,2),(6{,}1,4)\big\} \subset \mathbb{Z}_7^3\]
  • Nápověda – řešení přímo z definice lineární závislosti

    Zjistěte, jestli není některý z vektorů množiny \(M\) lineární kombinací ostatních. Pokud je některý vektor lineární kombinací ostatních, je množina lineárně závislá.
  • Nápověda – řešení užitím věty o lineární závislosti

    Zjistěte, zda-li lze nulový vektor zapsat jako netriviální lineární kombinaci ostatních navzájem různých vektorů množiny. Pokud ano, je množina lineárně závislá, v opačném případě je lineárně nezávislá.

    Pojmy triviální a netriviální lineární kombinace naleznete v definici lineární kombinace v úloze Lineární obal.

  • Nápověda – řešení elementárními úpravami v matici

    Zjistěte lineární závislost množiny pomocí matice. Složky vektorů zkoumané množiny napište do řádků. Proveďte úpravu do schodovitého tvaru pomocí Gaussova algoritmu. Množina je lineárně závislá, jestliže se některý z řádku matice vynuluje.
  • Opověď

    Množina \(M = \lbrace (1{,}4,3),(3{,}0,2),(6{,}1,4)\rbrace \subset \mathbb{Z}_7^3\) je lineárně závislá.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze