Sbírka řešených úloh

Jordanův kanonický tvar

Úloha číslo: 1423

• Kdy má matice Jordanův kanonický tvar?

  Při řešení této úlohy nám pomůže věta

  (i) Jordanův kanonický tvar

  Následující tvrzení jsou ekvivalentní.

  • Matice \(A\) má nad polem \(T\) Jordanův kanonický tvar.
  • Charakteristický polynom matice \(A\) je nad \(T\) rozložitelný na lineární faktory.
  • Minimální polynom matice \(A\) je nad \(T\) rozložitelný na lineární faktory.

  Z této věty plyne, že nad algebraicky uzavřeným polem má každá matice Jordanův kanonický tvar.

• Nápověda

  U každé matice rozhodněte o existenci Jordanova kanonického tvaru nad příslušným polem podle věty uvedené výše.

  Je příslušný charakteristický polynom nad daným polem rozložitelný na lineární faktory? Musí mít jednoduché kořeny?

• Řešení nápovědy

  Charakteristické polynomy matic \(A,B\) jsou rozložitelné na lineární faktory jak nad \(\mathbb{R}\), tak nad \(\mathbb{C}\). Zmíněná věta neklade požadavky na násobnost kořenů.

  \[ \begin{eqnarray} p_\mathrm{A}(\lambda) &=& (\lambda + 1)(\lambda - 5)(\lambda +3)\\ p_\mathrm{B}(\lambda) &=& (\lambda + 2)(\lambda-3)(\lambda +4)^3\\ \end{eqnarray} \]

  Polynomy matic \(C,D\) nejsou nad \(\mathbb{R}\) rozložitelné na lineární faktory. Nad \(\mathbb{C}\) takový rozklad existuje.

  \[ \begin{eqnarray} p_\mathrm{C}(\lambda) &=& (\lambda^2 + 4)(\lambda - 3) = (\lambda + 2i)(\lambda - 2i)(\lambda - 3) \\ p_\mathrm{D}(\lambda) &=& (\lambda^2 + 4)(\lambda - 3)^2 = (\lambda + 2i)(\lambda - 2i)(\lambda - 3)^2 \end{eqnarray} \]

  Shrňme tyto poznatky do tabulky.

  Polynom	\(T = \mathbb{R}\)	\(T=\mathbb{C}\)
  	\(\exists\) rozklad na lineární faktory	\(\exists\) rozklad na lineární faktory
  \(m_A\)	\(1\)	\(1\)
  \(m_B\)	\(1\)	\(1\)
  \(m_C\)	\(0\)	\(1\)
  \(m_D\)	\(0\)	\(1\)

  Nad \(\mathbb{C}\) mají všechny matice Jordanův kanonický tvar, nad \(\mathbb{R}\) pouze matice \(A\) a \(B\).

• Odpověď

  Nad \(\mathbb{C}\) mají všechny matice Jordanův kanonický tvar, nad \(\mathbb{R}\) pouze matice \(A\) a \(B\).