Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Jordanův kanonický tvar

Úloha číslo: 1423

(i) Jordanův kanonický tvar

Jestliže je matice \(A\) podobná Jordanově matici \(J\), potom říkáme, že matice \(A\) má Jordanův kanonický tvar, resp. že \(J\) je Jordanovým kanonickým tvarem matice \(A\).

Máme množinu matic \(A,\dots,D\) nad polem \(T\) s charakteristickými polynomy

\[ \begin{eqnarray} p_\mathrm{A}(\lambda) &=& (\lambda + 1)(\lambda - 5)(\lambda +3),\\ p_\mathrm{B}(\lambda) &=& (\lambda + 2)(\lambda-3)(\lambda +4)^3,\\ p_\mathrm{C}(\lambda) &=& (\lambda^2 + 4)(\lambda - 3),\\ p_\mathrm{D}(\lambda) &=& (\lambda^2 + 4)(\lambda - 3)^2. \end{eqnarray} \]

Které z matic mají Jordanův kanonický tvar, je-li \(T=\mathbb{R}\), případně \(T=\mathbb{C}\)?

  • Kdy má matice Jordanův kanonický tvar?

    Při řešení této úlohy nám pomůže věta
    (i) Jordanův kanonický tvar

    Následující tvrzení jsou ekvivalentní.

    • Matice \(A\) má nad polem \(T\) Jordanův kanonický tvar.
    • Charakteristický polynom matice \(A\) je nad \(T\) rozložitelný na lineární faktory.
    • Minimální polynom matice \(A\) je nad \(T\) rozložitelný na lineární faktory.
    Z této věty plyne, že nad algebraicky uzavřeným polem má každá matice Jordanův kanonický tvar.
  • Nápověda

    U každé matice rozhodněte o existenci Jordanova kanonického tvaru nad příslušným polem podle věty uvedené výše.

    Je příslušný charakteristický polynom nad daným polem rozložitelný na lineární faktory? Musí mít jednoduché kořeny?
  • Odpověď

    Nad \(\mathbb{C}\) mají všechny matice Jordanův kanonický tvar, nad \(\mathbb{R}\) pouze matice \(A\) a \(B\).

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze