Sbírka řešených úloh

Matice homomorfismu a změna bází I.

Úloha číslo: 1387

• Rozbor

  Schéma endomorfismu na každé straně rozšíříme identickým automorfismem na nové kanonické báze.

  \[ \overset{f}{\longleftarrow------------} \] \[ \begin{array}{ccccc} \mathbb{R}^3 & \overset{\bar{1}}{\longleftarrow} & \mathbb{R}^3 & \overset{f}{\longleftarrow} & \mathbb{R}^3 & \overset{\bar{1}}{\longleftarrow} & \mathbb{R}^3 \\ ^\mathrm{k.b.} & A & ^M & B & ^M & A^{-1} & ^\mathrm{k.b.}\\ \end{array} \] \[\underbrace{\phantom{\hspace{9em}}}_{ABC}\]

  • \(A\phantom{^{-1}}\) je matice přechodu od báze \(M\) ke kanonické bázi.
  • \(B\phantom{^{-1}}\) je matice endomorfismu vzhledem k bázi \(M\), je udána v zadání.
  • \(A^{-1}\) je matice přechodu od kanonické báze k bázi \(M\), je inverzní k \(A\).

  Naším úkolem bude vypočítat matice přechodu \(A,A^{-1}\). Matici homomorfismu vzhledem k novým kanonickým bázím určíme jako součin matic \(ABA^{-1}\).

• Nápověda 1 – matice přechodu A

  Jak vytvoříme matici přechodu od báze \(M\) ke kanonické bázi?

• Řešení nápovědy 1 – matice přechodu A

  Matici přechodu \(A\) od báze \(M\) ke kanonické bázi určíme tak, že vektory báze \(M\) zapíšeme do sloupců matice. \[ A = \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&0\\ 1&0&0\\ \end{pmatrix} \]

• Nápověda 2 – matice přechodu A^-1

  Maticí přechodu od kanonické báze k bázi \(M\) je matice, která je inverzní k právě nalezené matici \(A\). Vypočítejte inverzní matici k matici \(A\).

• Řešení nápovědy 2 – matice přechodu A^-1

  Matici přechodu \(A^{-1}\) od kanonické báze k bázi \(M\) vypočítáme jako inverzní matici k matici \(A\). \[ \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 1 \, & \, 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 \, & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \, & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ -II+I\\ -III+I\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ \uparrow\\ \end{array} \hspace{-0.6em} \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 1 \, & \, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \, & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \, & 1 & 0 & -1 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \downarrow\\ \phantom{III}\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 1 & 1 \, & \, 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \, & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \, & 1 & -1 & 0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{l} I - II\\ II - III\\ \phantom{III}\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \left( \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 \, & \, 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \, & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \, & 1 & -1 & 0 \\ \end{array} \right) \phantom{ \begin{array}{l} I\\ II\\ III\\ \end{array} } \] Na pravé straně jsme získali matici přechodu od kanonické báze k bázi \(M\): \[ A^{-1}= \left( \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 0\\ \end{array} \right). \]

• Nápověda 3 – matice vzhledem k novým bázím

  Dle věty o matici složeného homomorfismu je maticí endomorfismu součin matici\(ABA^{-1}\). Proveďte jej.

• Řešení nápovědy 3 – matice vzhledem k novým bázím

  Maticí endomorfismu vzhledem ke kanonickým bazím je součin matic \(ABA^{-1}\), který nyní provedeme. \[ ABA^{-1} = \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&0\\ 1&0&0\\ \end{pmatrix} \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ -1 &\phantom{-} 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 0\\ \end{array} \right) = \] \[ \phantom{hspace{5em}} = \begin{pmatrix} 1&3&1\\ 0&2&2\\ 1&2&1\\ \end{pmatrix} \left( \begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 0\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & -2\\ 2 & 0 & -2\\ 1 & 1 & -1\\ \end{array} \right). \] Všimněme si, že v případě endomorfismu jsou všechny matice čtvercové..

• Odpověď

  Maticí endomorfismu \(f\) prostoru \(\mathbb{R}^3\) vzhledem ke kanonické bázi je matice \[ \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & -2\\ 2 & 0 & -2\\ 1 & 1 & -1\\ \end{array} \right). \]