Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Matice homomorfismu a změna bází I.

Úloha číslo: 1387

Maticí endomorfismu \(f\) prostoru \(\mathbb{R}^3\) vzhledem k bázi \[M = \big\{(1{,}1,1),(1{,}1,0),(1{,}0,0)\big\}\] je matice \[ \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ -1 &\phantom{-} 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ \end{array} \right). \] Najděte matici endomorfismu \(f\) vzhledem ke kanonické bázi.
  • Rozbor

    Schéma endomorfismu na každé straně rozšíříme identickým automorfismem na nové kanonické báze.

    \[ \overset{f}{\longleftarrow------------} \] \[ \begin{array}{ccccc} \mathbb{R}^3 & \overset{\bar{1}}{\longleftarrow} & \mathbb{R}^3 & \overset{f}{\longleftarrow} & \mathbb{R}^3 & \overset{\bar{1}}{\longleftarrow} & \mathbb{R}^3 \\ ^\mathrm{k.b.} & A & ^M & B & ^M & A^{-1} & ^\mathrm{k.b.}\\ \end{array} \] \[\underbrace{\phantom{\hspace{9em}}}_{ABC}\]
    • \(A\phantom{^{-1}}\) je matice přechodu od báze \(M\) ke kanonické bázi.
    • \(B\phantom{^{-1}}\) je matice endomorfismu vzhledem k bázi \(M\), je udána v zadání.
    • \(A^{-1}\) je matice přechodu od kanonické báze k bázi \(M\), je inverzní k \(A\).

    Naším úkolem bude vypočítat matice přechodu \(A,A^{-1}\). Matici homomorfismu vzhledem k novým kanonickým bázím určíme jako součin matic \(ABA^{-1}\).

  • Nápověda 1 – matice přechodu A

    Jak vytvoříme matici přechodu od báze \(M\) ke kanonické bázi?
  • Nápověda 2 – matice přechodu A-1

    Maticí přechodu od kanonické báze k bázi \(M\) je matice, která je inverzní k právě nalezené matici \(A\). Vypočítejte inverzní matici k matici \(A\).
  • Nápověda 3 – matice vzhledem k novým bázím

    Dle věty o matici složeného homomorfismu je maticí endomorfismu součin matici\(ABA^{-1}\). Proveďte jej.
  • Odpověď

    Maticí endomorfismu \(f\) prostoru \(\mathbb{R}^3\) vzhledem ke kanonické bázi je matice \[ \left( \begin{array}{rrr} 1 & 2 & -2\\ 2 & 0 & -2\\ 1 & 1 & -1\\ \end{array} \right). \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze