Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Maticový rozbor VII.

Úloha číslo: 1430

Určete charakteristický polynom, spektrum, vlastní čísla, vlastní vektory, stopu, determinant a minimální polynom matice \(A\) nad tělesem \(\mathbb{R}\). Pomocí minimálního polynomu určete inverzní matici k matici \(A\). Najděte Jordanův kanonický tvar a příslušnou Jordanovu bázi matice \(A\). \[ A= \begin{pmatrix} 1 & -3 & 4 \\ 4 & -7 & 8 \\ 6 & -7 & 7 \end{pmatrix} \]
  • Poznámka

  • Nápověda 1 – char. polynom, spektrum, vlastní čísla

    Určete charakteristický polynom, spektrum a vlastní čísla matice \(A\).

    Charakteristický polynom je determinant matice \(\lambda E- A\), vlastní čísla jsou jeho kořeny. Spektrum je soubor vlastních čísel, zohledňující jejich násobnost v charakteristickém polynomu. Podrobněji v úloze Základní pojmy.

  • Nápověda 2 – vlastní vektory

    Určete vlastní vektory matice \(A\).

    Vlastní vektor matice \(A\) příslušný vlastnímu číslu \(\lambda\) je nenulový vektor splňující rovnost \(Av^\mathrm{T} = \lambda v^\mathrm{T}\). Více o vlastních vektorech viz úloha Vlastní vektory.

    Z definice vlastního vektoru plyne, že jej lze hledat jako nenulové řešení homogenní soustavy \((\lambda E -A)v^\mathrm{T} = 0\). Viz odvození.

  • Nápověda 3 – stopa, determinant

    Určete stopu a determinant matice \(A\).

    Absolutní člen charakteristického polynomu vynásobený \((-1)^{n}\), kde \(n\) je řád matice, určuje determinant. Opačný prvek ke koeficientu u \(\lambda^{n-1}\) určuje stopu.

    V případě úplně rozložitelného charakteristického polynomu matice lze stopu vypočítat i jako součet vlastních čísel, determinant pak jako jejich součin.

    Určení stopy a determinantu matice z charakteristického polynomu je popsáno v úloze Stopa, determinant a charakteristický polynom.

  • Nápověda 4 – minimální polynom

    Nalezněte minimální polynom matice \(A\).

    Minimální polynom je normovaný anulující polynom matice \(A\) nejmenšího možného stupně. Jeho hledáním jsme se zabývali v příkladě Minimální polynom.

  • Nápověda 5 – inverzní matice

    Určete inverzní matici k matici \(A\). K výpočtu užijte jejího anulujícího polynomu.

  • Nápověda 6 – Jordanův kanonický tvar

    Existuje nad \(\mathbb{R}\) Jordanův kanonický tvar \(J\) matice \(A\)? V kladném případě jej nalezněte a určete příslušnou bázi.

    Existenci Jordanova kanonického tvaru pomůže ukázat tato věta. Při řešení užijte homomorfní analogii, jako je tomu v části o diagonalizovatelnosti homomorfní náhled na podobnost.

  • Odpověď

    Pro matici \(A\) nad tělesem \(\mathbb{R}\) jsme našli

    • charakteristický polynom \(p(\lambda) = (\lambda-3)(\lambda+1)^2\),
    • minimální polynom \(m(\lambda) = (\lambda-3)(\lambda+1)^2\),
    • vlastní čísla \(\lambda_1 = -1\) a \(\lambda_2 = 3\),
    • spektrum \(\lbrace -1,-1,{}3 \rbrace\),
    • determinant \(\det A = 3\),
    • stopu \(\mathrm{tr\,}A = 1\),
    • vlastní vektor pro \(\lambda_1\) \(u=(1,{}2,{}1)\); pro \(\lambda_2\) \(v=(1,{}2,{}2)\),
    • inverzní matici \(\frac13\begin{pmatrix} 7 &-7 & 4 \\ 20 &-17& 8 \\ 14 &-11& 5 \end{pmatrix}\).

    Vzhledem k bázi

    \[ B = \big\lbrace (1,{}2,{}2), (0,{}1,{}1), (1,{}2,{}1)\big\rbrace \] má matice \(A\) Jordanův kanonický tvar \[ J = \left(\begin{array}{rrr} 3 & 0 & 0 \\ 0 &-1 & 0 \\ 0 & 1 &-1 \end{array}\right). \]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze