Sbírka řešených úloh

Podprostor vektorového prostoru

Úloha číslo: 1359

• 1) Nápověda

  Chceme-li zjistit, zda-li je daná podmnožina podprostorem vektorového prostoru, je třeba vždy ověřit vlastnosti (i)-(iii) obsažené v definici.

  Zjistěte zda-li jsou pro jednotlivé případy splněny všechny vlastnosti vektorového podprostoru.

• 1) Řešení nápovědy

  1. Případ \(W = \lbrace~~\rbrace.\)
     • Je-li podmnožina prázdná, není splněna první vlastnost.
     Prázdná podmnožina vektorového prostoru není jeho podprostorem.
  
  
  2. Případ \(W = \lbrace o \rbrace.\)
     • Podmnožina je neprázdná – první vlastnost je splněna.
     • Sečteme-li libovolné dva prvky – dva nulové vektory, získáme opět nulový vektor, který je prvkem podmnožiny. Druhá vlastnost je také splněna.
     • Libovolný násobek nulového vektoru je opět nulový vektor, který je prvkem podmnožiny. Třetí vlastnost je také splněna.
     Podmnožina vektorového prostoru obsahující pouze nulový vektor je jeho podprostorem. Jedná se o nulový (triviální) podprostor.
  
  
  3. Případ \(W = V.\)

  • Podmnožina je přímo vektorový prostorem. Na základě definice jsou všechny vlastnosti automaticky splněny.

  Vektorový prostor je svým podprostorem, nazýváme jej nevlastní.

• 2) Nápověda

  Vzpomeňme si na grafické sčítání vektorů. Existují v prostoru nějaké množiny představující podprostory?

  Můžete na to jít od lesa. Vezměte si množinu s libovolným nenulovým vektorem. Do množiny přidejte všechny vektory, které vzniknou libovolným sčítáním vektorů množiny a libovolným násobením skalárem. Jaký geometrický útvar budou tvořit koncové body všech vektorů množiny?

  Dále vezměte dva různé vektory vycházející z téhož bodu. Jaký podprostor vektory nagenerují nyní?

  Ve výčtu všech podprostorů nezapomeňte na extrémní případy podprostorů zkoumané v minulé úloze.

• 2) Řešení nápovědy

  Vezměme libovolný nenulový vektor vycházející z daného bodu. Násobme jej nyní libovolnými skaláry z pole reálných čísel. Násobením nezápornými čísly získáme polopřímku ve směru daného vektoru, násobením nekladnými čísly získáme polopřímku opačnou. Pro množinu vektorů ležící v přímce platí, že

  • je neprázdná,
  • součet libovolných vektorů je v množině obsažen,
  • libovolný násobek každého vektoru je v množině obsažen.

  Množina všech vektorů ležící v přímce procházející daným bodem tvoří podprostor udaného vektorového prostoru.

  Vezmeme dva nekolineární vektory vycházející z daného bodu a provedeme stejnou myšlenkovou konstrukci. Nyní již oproti předchozímu případu plnohodnotně využijeme sčítání vektorů. Množinou všech koncových bodů vektorů, které jsou libovolnými součty či násobky původních dvou vektorů, je rovina procházející daným bodem určená příslušnými vektory. Pro tuto podmnožinu vektorového prostoru opět platí, že

  • je neprázdná,
  • součet libovolných vektorů je v množině obsažen,
  • libovolný násobek každého vektoru je v množině obsažen.

  Množina všech vektorů ležící v rovině procházející daným bodem tvoří podprostor udaného vektorového prostoru.

  Nezapomeneme na to, že množina obsahující nulový vektor a sám vektorový prostor tvoří podprostor vektorového prostoru.

  ---

  Vektorový prostor všech vektorů v prostoru s počátkem v daném bodě má následující podprostory

  • množina obsahující nulový vektor,
  • vektory s počátkem v daném bodě ležící v přímce tímto bodem procházející,
  • vektory s počátkem v daném bodě ležící v rovině tímto bodem procházející,
  • přímo celý vektorový prostor.

  Vzhledem k tomu, že bodem lze proložit nekonečně mnoho přímek i rovin, má udaný vektorový prostor nekonečně mnoho podprostorů.

• 3) Nápověda

  Osvěžte si, co jsou to symetrické, antisymetrické, trojúhelníkové, diagonální a skalární matice.

  Netvoří množina všech matic některého z vyjmenovaných druhů podprostor udaného vektorového prostoru?

  Pro symetrické matice proveďte precizní prověření.

• 3) Řešení nápovědy

  Zkoumejme nejprve množinu všech symetrických matic \(\mathbb{S}\left(T^{3\times 3}\right)\).

  • Množina je neprázdná. Nulovým vektorem je nulová matice \[ 0= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right). \]

    Množina je neprázdná, obsahuje nulový vektor - nulovou matici

  • Uvažme dvě symetrické matice \(A,B\) \[ A = \left( \begin{array}{ccc} a & b & c\\ b & d & e\\ c & e & f\\ \end{array} \right) \in \mathbb{S}\left(T^{3\times 3}\right) ,\quad B = \left( \begin{array}{ccc} g & h & i\\ h & j & k\\ i & k & l\\ \end{array} \right) \in \mathbb{S}\left(T^{3\times 3}\right), \] kde \(a,b,\dots k,l \in T\).

    Je zřejmé, že i jejich součet je symetrická matice.

    \[ A + B = \left( \begin{array}{ccc} a+g & b+h & c+i\\ b+h & d+j & e+k\\ c+i & e+k & f+l\\ \end{array} \right) \in \mathbb{S}\left(T^{3\times 3}\right) \]

    Součet symetrických matic z \(\mathbb{S}\left(T^{3\times 3}\right)\) je opět symetrická matice.

  • Uvažme symetrickou matici \(A\) \[ A = \left( \begin{array}{ccc} a & b & c\\ b & d & e\\ c & e & f\\ \end{array} \right) \in \mathbb{S}\left(T^{3\times 3}\right), \] kde \(a,b,\dots e,f \in T\).

    Je zřemé, že i její násobek prvkem \(\alpha\in T\) je symetrická matice

    \[ \alpha \cdot A = \left( \begin{array}{ccc} \alpha \cdot a & \alpha \cdot b & \alpha \cdot c\\ \alpha \cdot b & \alpha \cdot d & \alpha \cdot e\\ \alpha \cdot c & \alpha \cdot e & \alpha \cdot f\\ \end{array} \right) \in \mathbb{S}\left(T^{3\times 3}\right). \]

    Násobek symetrické matice z \(\mathbb{S}\left(T^{3\times 3}\right)\) je opět symetrická matice.

  Množina \(\mathbb{S}\left(T^{3\times 3}\right)\) tvoří podprostor vektorového prostoru \(T^{3\times 3}\).

  Rozšířením precizního ověření je zřejmě, že i množina \(\mathbb{S}\left(T^{n\times n}\right)\) tvoří podprostor vektorového prostoru \(T^{n\times n}\).

  ---

  Je zřejmé, že množiny antisymetrických, horních trojúhelníkových, dolních trojúhelníkových, diagonálních a skalárních matic stejného řádu jsou neprázdné. Součtem prvků množiny je opět prvek množiny. Násobkem prvku množiny je opět prvek množiny. Precizní ověření by bylo analogické výše uvedenému.

  Množiny všech

  • symetrických,
  • antisymetrických,
  • horních trojúhelníkových,
  • dolních trojúhelníkových,
  • diagonálních a
  • skalárních

  čtvercových matic řádu \(n\) tvoří podprostor vektorového prostoru \(T^{n\times n}.\)

• Odpověď

  1. Množina
  1. \(W = \lbrace~~\rbrace\) není podprostorem,
  2. \(W = \lbrace o \rbrace\) je triviálním podprostorem,
  3. \(W = V\) je nevlastním podprostorem.

  2. Vektorový prostor všech vektorů v prostoru s počátkem v daném bodě má následující podprostory

     • množina obsahující nulový vektor,
     • vektory s počátkem v daném bodě ležící v přímce tímto bodem procházející,
     • vektory s počátkem v daném bodě ležící v rovině tímto bodem procházející,
     • přímo celý vektorový prostor.
  3. Množiny všech
     • symetrických,
     • antisymetrických,
     • horních trojúhelníkových,
     • dolních trojúhelníkových,
     • diagonálních a
     • skalárních
     čtvercových matic řádu \(n\) tvoří podprostor vektorového prostoru \(T^{n\times n}.\)