Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Podprostor vektorového prostoru

Úloha číslo: 1359

Připomeňte si následující definici podprostoru vektorového prostoru.

(i) Podprostor vektorového prostoru

Podmnožinu \(W\) vektorového prostoru \(V\), která je rovněž vektorovým prostorem vzhledem ke stejným operacím, tj. je

(i) \( W \neq \lbrace ~~ \rbrace\)  neprázdná (min. nulový vektor),
(ii) \(\forall u,v\in W:~~u+v\in W\)  uzavřená na sčítání vektorů,
(iii) \(\forall a\in T~~\forall u\in W:~~a\cdot u \in W\)  uzavřená na vzití násobku,

nazýváme podprostor vektorového prostoru \(V\). Obykle značíme \(W \subset \subset V\).

Úkoly:
  1. Uvažte, je-li \(W\) podprostorem vektorového prostoru \(V\) i v případech
    1. \(W = \lbrace~~\rbrace,\)
    2. \(W = \lbrace o \rbrace ,\)
    3. \(W = V\).
  2. Uvažujte geometrický případ množiny všech vektorů v prostoru vycházejících z daného bodu. Jedná se o reálný vektorový prostor. Nalezněte všechny jeho podprostory.

  3. Uvažujte prostor \(T^{n\times n}\) všech čtvercových matic nad \(T\).
    Dokážete nalézt některé z jeho podprostorů?
  • 1) Nápověda

    Chceme-li zjistit, zda-li je daná podmnožina podprostorem vektorového prostoru, je třeba vždy ověřit vlastnosti (i)-(iii) obsažené v definici.

    Zjistěte zda-li jsou pro jednotlivé případy splněny všechny vlastnosti vektorového podprostoru.

  • 2) Nápověda

    Vzpomeňme si na grafické sčítání vektorů. Existují v prostoru nějaké množiny představující podprostory?

    Můžete na to jít od lesa. Vezměte si množinu s libovolným nenulovým vektorem. Do množiny přidejte všechny vektory, které vzniknou libovolným sčítáním vektorů množiny a libovolným násobením skalárem. Jaký geometrický útvar budou tvořit koncové body všech vektorů množiny?

    Dále vezměte dva různé vektory vycházející z téhož bodu. Jaký podprostor vektory nagenerují nyní?

    Ve výčtu všech podprostorů nezapomeňte na extrémní případy podprostorů zkoumané v minulé úloze.

  • 3) Nápověda

    Osvěžte si, co jsou to symetrické, antisymetrické, trojúhelníkové, diagonální a skalární matice.

    Netvoří množina všech matic některého z vyjmenovaných druhů podprostor udaného vektorového prostoru?

    Pro symetrické matice proveďte precizní prověření.

  • Odpověď

    1. Množina
      1. \(W = \lbrace~~\rbrace\) není podprostorem,
      2. \(W = \lbrace o \rbrace\) je triviálním podprostorem,
      3. \(W = V\) je nevlastním podprostorem.
    2. Vektorový prostor všech vektorů v prostoru s počátkem v daném bodě má následující podprostory

      • množina obsahující nulový vektor,
      • vektory s počátkem v daném bodě ležící v přímce tímto bodem procházející,
      • vektory s počátkem v daném bodě ležící v rovině tímto bodem procházející,
      • přímo celý vektorový prostor.
    3. Množiny všech
      • symetrických,
      • antisymetrických,
      • horních trojúhelníkových,
      • dolních trojúhelníkových,
      • diagonálních a
      • skalárních
      čtvercových matic řádu \(n\) tvoří podprostor vektorového prostoru \(T^{n\times n}.\)
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze