Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Spojení prostorů

Úloha číslo: 1369

Uvažujme definici

(i) Spojení vektorových podprostorů

Spojením (součtem) dvou (nebo více) podprostorů prostoru \(V\) budeme rozumět lineární obal jejich množinové sjednocení.

Značíme \(V_1 + V_2\).

Direktní součet podprostorů \(V_1,V_2\) je spojení dvou podprostorů, které mají nulový průnik.

Značíme \(V_1 \oplus V_2\).

Poznámka: \(V_1+V_2\) je nejmenší podprostor obsahující \(V_1\) a \(V_2\), tj.: \(V_1 + V_1 \overset{\mathrm{def.}}{=} \left\{ v_1 + v_2;\, v_1\in V_1 , v_2 \in V_2\right\}\).

Úkol:

Uvažujte podprostory

\[ \begin{eqnarray} U &=& \left[ (1{,}3,5{,}2),(2{,}3,1{,}3) \right]\subset \mathbb{Z}_5^4,\\ V &=& \left[ (3{,}1,1{,}2),(0{,}4,2{,}3) \right]\subset \mathbb{Z}_5^4. \end{eqnarray} \]

Jaká je dimenze jejich spojení?

  • Rozbor

    Spojení dvou podprostorů není obecně jejich množinové sjednocení! Nelze tedy ani v případě, kdy bychom znali počty prvků bazí obou prostorů za dimenzi spojení považovat prostý součet jejich dimenzí.

    Spojení podprostorů je lineární obal jejich množinového sjednocení – právě lineárním obalem máme zajištěno, že spojení bude opět vektorový (pod)prostor.

    Spojení realizujeme tak, že vektory množin generátorů obou podprostorů napíšeme do řádků matice. Provedeme úpravu matice do odstupňovaného tvaru a na základě počtu nenulových řádků určíme dimenzi spojení.

  • Nápověda

    Napište vektory generující oba podprostory do řádků matice. Tu upravte na odstupňovaný tvar. Jak určíme dimenzi z takto upravené matice?

    Pozor, pracujeme na polem \(\mathbb{Z}_5\)!

  • Odpověď

    Dimenze spojení prostorů \(U,V\) je \(3\).

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze