Sbírka řešených úloh

Spojení prostorů

Úloha číslo: 1369

• Rozbor

  Spojení dvou podprostorů není obecně jejich množinové sjednocení! Nelze tedy ani v případě, kdy bychom znali počty prvků bazí obou prostorů za dimenzi spojení považovat prostý součet jejich dimenzí.

  Spojení podprostorů je lineární obal jejich množinového sjednocení – právě lineárním obalem máme zajištěno, že spojení bude opět vektorový (pod)prostor.

  Spojení realizujeme tak, že vektory množin generátorů obou podprostorů napíšeme do řádků matice. Provedeme úpravu matice do odstupňovaného tvaru a na základě počtu nenulových řádků určíme dimenzi spojení.

• Nápověda

  Napište vektory generující oba podprostory do řádků matice. Tu upravte na odstupňovaný tvar. Jak určíme dimenzi z takto upravené matice?

  Pozor, pracujeme na polem \(\mathbb{Z}_5\)!

• Řešení nápovědy

  Vektory množin generátorů obou podprostorů poklademe na řádky matice. Matici upravíme na odstupňovaný tvar. Pracujeme nad polem \(\mathbb{Z}_5\)! \[ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ II+3I\\ III+II\\ \phantom{IV}\\ \end{array} \sim \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix} \begin{array}{l} \phantom{I}\\ \phantom{II}\\ 2III+II\\ 2IV + II\\ \end{array} \sim \] \[ \sim \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \]

  První tři řádky upravené matice jsou lineárně nezávislé, tvoří tedy bázi spojení \(U+V\). Dimenze spojení je počet prvků jeho báze, tj.

  \[\mathrm{dim\,}(U+V) = 3.\]

• Odpověď

  Dimenze spojení prostorů \(U,V\) je \(3\).