Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Algebraická struktura III.

Úloha číslo: 1315

Vyšetřete, jakou algebraickou strukturu tvoří struktura \((M;\oplus,\odot)\), kde \(M=\big\{ a-b\sqrt{3};\ a,b \in \mathbb{Z} \big\}\). Binární operace \(\oplus\) a \(\odot\) jsou dány předpisy \[ \begin{eqnarray} a\oplus b &=& a+b, \\ a \odot b &=& a\cdot b. \\ \end{eqnarray} \] Během výpočtu budeme využívat již známých vlastností reálných a celých čísel.
  • Rozbor

    Máme-li určit, o jakou algebraickou strukturu se jedná, musíme vyšetřit, které z charakteristických vlastností jsou splněny.

    Budeme postupovat obdobně, jako v úloze Algebraické struktury a binární operace.

    Konkrétně se jedná o tyto vlastnosti.

    \[ \begin{array}{rlrcl} \mathrm{(i)} & \forall\,a,b,c \in M:& (a+b)+c &=& a + (b+c)\\ \mathrm{(ii)} & \forall\,a,b\in M: & a+b &=& b+a\\ \mathrm{(iii)} & \exists 0\in M:~~\forall a\in M: & 0 + a &=& a\\ \mathrm{(iv)} & \forall a \in M~~\exists ~(-a) \in M: & a + (-a) &=& 0\\ \mathrm{(v)} & \forall\,a,b,c \in M:& (a\cdot b)\cdot c &=& a \cdot (b\cdot c)\\ \mathrm{(vi)} & \forall\,a,b\in M: & a\cdot b &=& b\cdot a\\ \mathrm{(vii)} & \exists 1 \in M:~~\forall a \in M: & 1\cdot a &=& a\\ \mathrm{(viii)} & \forall a \in M \setminus \{0\}:\,\exists a^{-1}\in M: & a \cdot a^{-1} &=& 1\\ \mathrm{(ix)} & \forall a,b,c \in M: & a\cdot(b+c) &=& a\cdot b + a\cdot c\\ \mathrm{~} & \forall a,b,c \in M: & (a+b)\cdot c &=& a\cdot c + b\cdot c\\ \mathrm{(x)} & \forall a,b \in M:~~a,b\neq 0: & a\cdot b &\neq& 0\\ \end{array}\]

    Je dobré během postupu zachovat posloupnost ověřování jednotlivých vlastností v pořadí, jak jsou uvedeny výše, protože například neexistence neutrálního prvku vylučuje možnost platnosti existence prvků inverzních, stejně jako neplatnost komutativního zákonu.

  • Nápověda 1 – asociativita sčítání

    Platnost asociativního zákonu pro binární operaci \(\oplus\) na \(M\) ověřte přímým dosazením do znění zákonu.

  • Nápověda 2 – komutativita sčítání

    Platnost komutativního zákonu pro binární operaci \(\oplus\) na \(M\) ověřte přímým dosazením do znění zákonu.

  • Nápověda 3 – existence nulového prvku

    Existenci neutrálního prvku pro binární operaci \(\oplus\) na \(M\) prokažte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále využijte vlastností reálných čísel \(M\).

  • Nápověda 4 – existence opačných prvků

    Existenci inverzních prvků pro binární operaci \(\oplus\) na \(M\) prokažte přímým dosazením do znění této vlastnosti.

  • Nápověda 5 – asociativita násobení

    Platnost asociativního zákonu pro binární operaci \(\odot\) na \(M\) ověřte přímým dosazením do znění zákonu.

  • Nápověda 6 – komutativita násobení

    Platnost komutativního zákonu pro binární operaci \(\odot\) na \(M\) ověřte přímým dosazením do znění zákonu.

  • Nápověda 7 – existence jednotkové prvku

    Existenci neutrálního prvku pro binární operaci \(\odot\) na \(M\) prokažte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále využijte definice množiny \(M\).

  • Nápověda 8 – existence inverzních prvků

    Existenci inverzních prvků pro binární operaci \(\odot\) na \(M\) prokážte/vyvraťte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále pak využijte definice množiny \(M\).

  • Nápověda 9 – distributivní zákon

    Platnost distributivního zákonu (svazu operací) pro binární operace \(\odot\) a \(\oplus\) na \(M\) ověřte přímým dosazením do znění zákonu.

  • Nápověda 10 – neexistence netriviálních dělitelů nuly

    Neexistenci netriviálních dělitelů nuly pro binární operaci \(\odot\) na \(M\) ověřte přímým dosazením do znění této vlastnosti a využijte vlastností definice množiny \(M\).

  • Nápověda 11 – pojmenování algebraické struktury

    Na základě platnosti jednotlivých vlastností rozhodněte, o jakou algebraickou strukturu se jedná.

  • Odpověď

    Struktura \((M;\oplus,\odot)\) je oborem integrity.
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze