Algebraická struktura III.

Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Algebraická struktura III.

Úloha číslo: 1315

Vyšetřete, jakou algebraickou strukturu tvoří struktura \((M;\oplus,\odot)\), kde \(M=\big\{ a-b\sqrt{3};\ a,b \in \mathbb{Z} \big\}\). Binární operace \(\oplus\) a \(\odot\) jsou dány předpisy \[ \begin{eqnarray} a\oplus b &=& a+b, \\ a \odot b &=& a\cdot b. \\ \end{eqnarray} \] Během výpočtu budeme využívat již známých vlastností reálných a celých čísel.

Rozbor
Máme-li určit, o jakou algebraickou strukturu se jedná, musíme vyšetřit, které z charakteristických vlastností jsou splněny.

Budeme postupovat obdobně, jako v úloze Algebraické struktury a binární operace.

Konkrétně se jedná o tyto vlastnosti.
\[ \begin{array}{rlrcl} \mathrm{(i)} & \forall\,a,b,c \in M:& (a+b)+c &=& a + (b+c)\\ \mathrm{(ii)} & \forall\,a,b\in M: & a+b &=& b+a\\ \mathrm{(iii)} & \exists 0\in M:~~\forall a\in M: & 0 + a &=& a\\ \mathrm{(iv)} & \forall a \in M~~\exists ~(-a) \in M: & a + (-a) &=& 0\\ \mathrm{(v)} & \forall\,a,b,c \in M:& (a\cdot b)\cdot c &=& a \cdot (b\cdot c)\\ \mathrm{(vi)} & \forall\,a,b\in M: & a\cdot b &=& b\cdot a\\ \mathrm{(vii)} & \exists 1 \in M:~~\forall a \in M: & 1\cdot a &=& a\\ \mathrm{(viii)} & \forall a \in M \setminus \{0\}:\,\exists a^{-1}\in M: & a \cdot a^{-1} &=& 1\\ \mathrm{(ix)} & \forall a,b,c \in M: & a\cdot(b+c) &=& a\cdot b + a\cdot c\\ \mathrm{~} & \forall a,b,c \in M: & (a+b)\cdot c &=& a\cdot c + b\cdot c\\ \mathrm{(x)} & \forall a,b \in M:~~a,b\neq 0: & a\cdot b &\neq& 0\\ \end{array}\]
Je dobré během postupu zachovat posloupnost ověřování jednotlivých vlastností v pořadí, jak jsou uvedeny výše, protože například neexistence neutrálního prvku vylučuje možnost platnosti existence prvků inverzních, stejně jako neplatnost komutativního zákonu.
Nápověda 1 – asociativita sčítání
Platnost asociativního zákonu pro binární operaci \(\oplus\) na \(M\) ověřte přímým dosazením do znění zákonu.
Řešení nápovědy 1 – asociativita sčítání
Víme, že asociativní zákon pro binární operaci \(+\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a,b,c \in M:\qquad (a+ b) + c =a+ (b +c). \]
Po dosazení naší konkrétní binární operace \(\oplus\) získáváme na levé straně rovnosti
\[(a\oplus b)\oplus c = (a+b)\oplus c = a+b+c,\]
a na straně pravé pak
\[a\oplus(b\oplus c) = a \oplus (b+ c) = a+b+c.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[a+b+c = a+b+c.\]
Z toho plyne, že pro binární operaci \(\oplus\) na \(M\) vlastnost (i) platí.
Nápověda 2 – komutativita sčítání
Platnost komutativního zákonu pro binární operaci \(\oplus\) na \(M\) ověřte přímým dosazením do znění zákonu.
Řešení nápovědy 2 – komutativita sčítání
Víme, že komutativní zákon pro binární operaci \(+\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a,b \in M:\qquad a + b =b + a. \]
Po dosazení naší konkrétní operace \(\oplus\) na množině \(M\) získáváme na levé straně rovnosti
\[a\oplus b = a+b,\]
a na straně pravé pak
\[b\oplus a = b+a.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[a+b = b+a.\]
Z toho plyne, že pro binární operaci \(\oplus\) na \(M\) vlastnost (ii) platí.
Nápověda 3 – existence nulového prvku
Existenci neutrálního prvku pro binární operaci \(\oplus\) na \(M\) prokažte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále využijte vlastností reálných čísel \(M\).
Řešení nápovědy 3 – existence nulového prvku
Víme, že vlastnost existence neutrálního prvku vzhledem k binární operaci \(+\) na obecné množině \(M\) zní
\[\exists n_0 \in M: \forall a \in M:\qquad a + n_0 = a. \]
Po dosazení naší konkrétní operace \(\oplus\) na množině \(M\) získáváme na levé straně rovnosti
\[a\oplus n_0 = a+n_0,\]
a na straně pravé pak
\[a.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[a+n_0 = a \qquad \Rightarrow \qquad n_0=0,\] \[0=0-0\sqrt{3} \in M.\]
Z čehož plyne, že pro binární operaci \(\oplus\) na \(M\) je neutrální prvek jednoznačně určen, je to prvek \(0-0\sqrt{3}\), a tedy vlastnost (iii) pro operaci \(\oplus\) na \(M\) platí.
Nápověda 4 – existence opačných prvků
Existenci inverzních prvků pro binární operaci \(\oplus\) na \(M\) prokažte přímým dosazením do znění této vlastnosti.
Řešení nápovědy 4 – existence opačných prvků
Víme, že vlastnost existence inverzních prvků vzhledem k binární operaci \(+\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a \in M~~\exists a^{-1}:\qquad a+ a^{-1}=n_0.\]
Po dosazení naší konkrétní operace \(\oplus\) na množině \(M\) získáváme na levé straně rovnosti
\[a\oplus a^{-1} = a+a^{-1},\]
a na straně pravé pak
\[n_0=0.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[a+a^{-1} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad a^{-1} = -a,\] Tj. k prvku \(a = a_1 - b_1\sqrt 3\) je inverzním prvkem \[a^{-1} = -a = -a_1+b_1\sqrt 3.\]
Z toho plyne, že pro binární operaci \(\oplus\) na \(M\) existuje vždy k danému prvku \(a\) prvek \(a^{-1}\) a je jednoznačně určen jako \(a^{-1} = -a_1 + b_1\sqrt 3\).
Vlastnost (iv) pro operaci \(\oplus\) na \(M\) platí.
Nápověda 5 – asociativita násobení
Platnost asociativního zákonu pro binární operaci \(\odot\) na \(M\) ověřte přímým dosazením do znění zákonu.
Řešení nápovědy 5 – asociativita násobení
Víme, že asociativní zákon pro binární operaci \(\cdot\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a,b,c \in M: \qquad (a \cdot b) \cdot c =a \cdot (b \cdot c). \]
Po dosazení naší konkrétní binární operace \(\odot\) získáváme na levé straně rovnosti
\[(a\odot b)\odot c = (a\cdot b)\odot c = a\cdot b \cdot c,\]
a na straně pravé pak
\[a\odot (b\odot c) = a \odot (b \cdot c) = a \cdot b \cdot c.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[a\cdot b \cdot c = a \cdot b \cdot c.\]
Z toho plyne, že pro binární operaci \(\odot\) na \(M\) vlastnost (v) platí.
Nápověda 6 – komutativita násobení
Platnost komutativního zákonu pro binární operaci \(\odot\) na \(M\) ověřte přímým dosazením do znění zákonu.
Řešení nápovědy 6 – komutativita násobení
Víme, že komutativní zákon pro binární operaci \(\cdot\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a,b \in M:\qquad a \cdot b =b \cdot a. \]
Po dosazení naší konkrétní operace \(\odot\) na množině \(M\) získáváme na levé straně rovnosti
\[a\odot b = a \cdot b,\]
a na straně pravé pak
\[b\odot a = b \cdot a.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[a \cdot b = b \cdot a.\]
Z toho plyne, že pro binární operaci \(\odot\) na \(M\) vlastnost (vi) platí.
Nápověda 7 – existence jednotkové prvku
Existenci neutrálního prvku pro binární operaci \(\odot\) na \(M\) prokažte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále využijte definice množiny \(M\).
Řešení nápovědy 7 – existence jednotkové prvkučehož
Víme, že vlastnost existence neutrálního prvku vzhledem k binární operaci \(\cdot\) na obecné množině \(M\) zní
\[\exists n_0 \in M~~\forall a \in M:\qquad a \cdot n_1 = a. \]
Po dosazení naší konkrétní operace \(\odot\) na množině \(M\) získáváme na levé straně rovnosti
\[a \odot n_1 = a \cdot n_1,\]
a na straně pravé pak
\[a.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[a \cdot n_1 = a \qquad \Rightarrow \qquad n_1=1,\] \[1 = (1-0\cdot\sqrt{3}) \in M.\]
Z toho plyne, že pro binární operaci \(\odot\) na \(M\) existuje jednoznačně určený neutrální prvek, protože číslo \(1-0\cdot\sqrt{3}\) je prvkem \(M\).
Tedy vlastnost (vii) pro operaci \(\odot\) na \(M\) platí.
Nápověda 8 – existence inverzních prvků
Existenci inverzních prvků pro binární operaci \(\odot\) na \(M\) prokážte/vyvraťte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále pak využijte definice množiny \(M\).
Řešení nápovědy 8 – existence inverzních prvků
Víme, že vlastnost existence inverzních prvků vzhledem k binární operaci \(\cdot\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a \in M~~ \exists a^{-1}:\qquad a \cdot a^{-1}=n_1.\]
Po dosazení naší operace \(\odot\) a neutrálního prvku \(n_1=1-0\sqrt{3}\) získáváme
\[ \begin{eqnarray} a\odot a^{-1} &=& 1,\\ a \cdot a^{-1} &=& 1,\\ a^{-1} &=& \frac{1}{a}.\\ \end{eqnarray} \]
Z toho plyne, že pro operaci \(\odot\) na \(M\) nexistují ke každému prvku inverzní prvky, protože například \(\frac{1}{7}\) není prvkem M.
Můžeme tedy prohlásit, že vlastnost (viii) pro operaci \(\odot\) na \(M\) neplatí.
Nápověda 9 – distributivní zákon
Platnost distributivního zákonu (svazu operací) pro binární operace \(\odot\) a \(\oplus\) na \(M\) ověřte přímým dosazením do znění zákonu.
Řešení nápovědy 9 – distributivní zákon
Víme, že distributivní zákon pro binární operace \(+\) a \(\cdot\) na obecné množině \(M\) zní
\[\forall a,b,c \in M:\qquad a\cdot\left(b+c\right)=\left(a\cdot b\right) + \left(a\cdot c\right),\]
a
\[\forall a,b,c \in M:\qquad \left(a+b\right)\cdot c=\left(a\cdot c\right) + \left(b\cdot c\right).\]
Po dosazení našich konkrétních binárních operací \(\oplus\) a \(\odot\) získáváme na levé straně rovnosti
\[(a\oplus b)\odot c = (a+b)\odot c = (a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c,\]
a na straně pravé pak
\[(a\odot c) \oplus (b \odot c) = (a\cdot c)\oplus (b \cdot c) = a\cdot c + b\cdot c.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[a\cdot c + b\cdot c = a\cdot c + b\cdot c.\]

Zbývá ověřit druhou část distributivního zákonu.

Po dosazení našich konkrétních binárních operací \(\oplus\) a \(\odot\) získáváme na levé straně rovnosti
\[c\odot(a\oplus b)c = c\odot(a+b) = c\cdot(a+b) = c\cdot a + c\cdot b,\]
a na straně pravé pak
\[(c\odot a) \oplus (c \odot b) = (c\cdot a)\oplus (c \cdot b) = c\cdot a + c\cdot b.\]
Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme
\[c\cdot a + c\cdot b = c\cdot a + c\cdot b.\]

Z výše uvedeného plyne, že pro binární operace \(\oplus\) a \(\odot\) na \(M\) vlastnost (ix) platí.
Nápověda 10 – neexistence netriviálních dělitelů nuly
Neexistenci netriviálních dělitelů nuly pro binární operaci \(\odot\) na \(M\) ověřte přímým dosazením do znění této vlastnosti a využijte vlastností definice množiny \(M\).
Řešení nápovědy 10 – neexistence netriviálních dělitelů nuly
Víme, že neexistence netriviálních dělitelů pro binární operaci \(\cdot\) na obecné množině \(M\) říká
\[\forall a,b \in M:~~ a,b \ne 0 \qquad a\cdot b \ne 0. \]
Po dosazení naší konkrétní binární operace \(\odot\) získáváme:

\[a\odot b \ne 0\]
\[a \cdot b \ne 0\]
Což zjevně platí pro všechna \(a,b\in M\) různá od \(0-0\sqrt{3}\).

Z toho plyne, že pro binární operaci \(\odot\) na \(M\) vlastnost (x) platí.
Nápověda 11 – pojmenování algebraické struktury
Na základě platnosti jednotlivých vlastností rozhodněte, o jakou algebraickou strukturu se jedná.
Řešení nápovědy 11 – pojmenování algebraické struktury
Vyšetřování ukázalo, že platí charakteristické vlastnosti (i) až (vii) a (ix) až (x). Z toho pro algebraickou strukturu \((M; \oplus,\odot)\) plyne následující.

Struktura \((M;\oplus,\odot)\) je oborem integrity.

Poznámka: struktura splňuje také vlastnosti okruhu, komutativního okruhu a komutativního okruhu s jednotkovým prvekm .
Odpověď
Struktura \((M;\oplus,\odot)\) je oborem integrity.

Algebraická struktura III.

Úloha číslo: 1315

Rozbor

Nápověda 1 – asociativita sčítání

Řešení nápovědy 1 – asociativita sčítání

Nápověda 2 – komutativita sčítání

Řešení nápovědy 2 – komutativita sčítání

Nápověda 3 – existence nulového prvku

Řešení nápovědy 3 – existence nulového prvku

Nápověda 4 – existence opačných prvků

Řešení nápovědy 4 – existence opačných prvků

Nápověda 5 – asociativita násobení

Řešení nápovědy 5 – asociativita násobení

Nápověda 6 – komutativita násobení

Řešení nápovědy 6 – komutativita násobení

Nápověda 7 – existence jednotkové prvku

Řešení nápovědy 7 – existence jednotkové prvkučehož

Nápověda 8 – existence inverzních prvků

Řešení nápovědy 8 – existence inverzních prvků

Nápověda 9 – distributivní zákon

Řešení nápovědy 9 – distributivní zákon

Nápověda 10 – neexistence netriviálních dělitelů nuly

Řešení nápovědy 10 – neexistence netriviálních dělitelů nuly

Nápověda 11 – pojmenování algebraické struktury

Řešení nápovědy 11 – pojmenování algebraické struktury

Odpověď