Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Algebraická struktura III.
Úloha číslo: 1315
Rozbor
Máme-li určit, o jakou algebraickou strukturu se jedná, musíme vyšetřit, které z charakteristických vlastností jsou splněny.
Budeme postupovat obdobně, jako v úloze Algebraické struktury a binární operace.
Konkrétně se jedná o tyto vlastnosti.
(i)∀a,b,c∈M:(a+b)+c=a+(b+c)(ii)∀a,b∈M:a+b=b+a(iii)∃0∈M: ∀a∈M:0+a=a(iv)∀a∈M ∃ (−a)∈M:a+(−a)=0(v)∀a,b,c∈M:(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)(vi)∀a,b∈M:a⋅b=b⋅a(vii)∃1∈M: ∀a∈M:1⋅a=a(viii)∀a∈M∖{0}:∃a−1∈M:a⋅a−1=1(ix)∀a,b,c∈M:a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c ∀a,b,c∈M:(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c(x)∀a,b∈M: a,b≠0:a⋅b≠0Je dobré během postupu zachovat posloupnost ověřování jednotlivých vlastností v pořadí, jak jsou uvedeny výše, protože například neexistence neutrálního prvku vylučuje možnost platnosti existence prvků inverzních, stejně jako neplatnost komutativního zákonu.
Nápověda 1 – asociativita sčítání
Platnost asociativního zákonu pro binární operaci ⊕ na M ověřte přímým dosazením do znění zákonu.
Nápověda 2 – komutativita sčítání
Platnost komutativního zákonu pro binární operaci ⊕ na M ověřte přímým dosazením do znění zákonu.
Nápověda 3 – existence nulového prvku
Existenci neutrálního prvku pro binární operaci ⊕ na M prokažte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále využijte vlastností reálných čísel M.
Nápověda 4 – existence opačných prvků
Existenci inverzních prvků pro binární operaci ⊕ na M prokažte přímým dosazením do znění této vlastnosti.
Nápověda 5 – asociativita násobení
Platnost asociativního zákonu pro binární operaci ⊙ na M ověřte přímým dosazením do znění zákonu.
Nápověda 6 – komutativita násobení
Platnost komutativního zákonu pro binární operaci ⊙ na M ověřte přímým dosazením do znění zákonu.
Nápověda 7 – existence jednotkové prvku
Existenci neutrálního prvku pro binární operaci ⊙ na M prokažte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále využijte definice množiny M.
Nápověda 8 – existence inverzních prvků
Existenci inverzních prvků pro binární operaci ⊙ na M prokážte/vyvraťte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále pak využijte definice množiny M.
Nápověda 9 – distributivní zákon
Platnost distributivního zákonu (svazu operací) pro binární operace ⊙ a ⊕ na M ověřte přímým dosazením do znění zákonu.
Nápověda 10 – neexistence netriviálních dělitelů nuly
Neexistenci netriviálních dělitelů nuly pro binární operaci ⊙ na M ověřte přímým dosazením do znění této vlastnosti a využijte vlastností definice množiny M.
Nápověda 11 – pojmenování algebraické struktury
Na základě platnosti jednotlivých vlastností rozhodněte, o jakou algebraickou strukturu se jedná.
Odpověď
Struktura (M;⊕,⊙) je oborem integrity.