Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Obecné
«
«
«
Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Algebraická struktura III.

Úloha číslo: 1315

Vyšetřete, jakou algebraickou strukturu tvoří struktura (M;,), kde M={ab3; a,bZ}. Binární operace a jsou dány předpisy ab=a+b,ab=ab. Během výpočtu budeme využívat již známých vlastností reálných a celých čísel.
  • Rozbor

    Máme-li určit, o jakou algebraickou strukturu se jedná, musíme vyšetřit, které z charakteristických vlastností jsou splněny.

    Budeme postupovat obdobně, jako v úloze Algebraické struktury a binární operace.

    Konkrétně se jedná o tyto vlastnosti.

    (i)a,b,cM:(a+b)+c=a+(b+c)(ii)a,bM:a+b=b+a(iii)0M:  aM:0+a=a(iv)aM   (a)M:a+(a)=0(v)a,b,cM:(ab)c=a(bc)(vi)a,bM:ab=ba(vii)1M:  aM:1a=a(viii)aM{0}:a1M:aa1=1(ix)a,b,cM:a(b+c)=ab+ac a,b,cM:(a+b)c=ac+bc(x)a,bM:  a,b0:ab0

    Je dobré během postupu zachovat posloupnost ověřování jednotlivých vlastností v pořadí, jak jsou uvedeny výše, protože například neexistence neutrálního prvku vylučuje možnost platnosti existence prvků inverzních, stejně jako neplatnost komutativního zákonu.

  • Nápověda 1 – asociativita sčítání

    Platnost asociativního zákonu pro binární operaci na M ověřte přímým dosazením do znění zákonu.

  • Nápověda 2 – komutativita sčítání

    Platnost komutativního zákonu pro binární operaci na M ověřte přímým dosazením do znění zákonu.

  • Nápověda 3 – existence nulového prvku

    Existenci neutrálního prvku pro binární operaci na M prokažte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále využijte vlastností reálných čísel M.

  • Nápověda 4 – existence opačných prvků

    Existenci inverzních prvků pro binární operaci na M prokažte přímým dosazením do znění této vlastnosti.

  • Nápověda 5 – asociativita násobení

    Platnost asociativního zákonu pro binární operaci na M ověřte přímým dosazením do znění zákonu.

  • Nápověda 6 – komutativita násobení

    Platnost komutativního zákonu pro binární operaci na M ověřte přímým dosazením do znění zákonu.

  • Nápověda 7 – existence jednotkové prvku

    Existenci neutrálního prvku pro binární operaci na M prokažte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále využijte definice množiny M.

  • Nápověda 8 – existence inverzních prvků

    Existenci inverzních prvků pro binární operaci na M prokážte/vyvraťte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále pak využijte definice množiny M.

  • Nápověda 9 – distributivní zákon

    Platnost distributivního zákonu (svazu operací) pro binární operace a na M ověřte přímým dosazením do znění zákonu.

  • Nápověda 10 – neexistence netriviálních dělitelů nuly

    Neexistenci netriviálních dělitelů nuly pro binární operaci na M ověřte přímým dosazením do znění této vlastnosti a využijte vlastností definice množiny M.

  • Nápověda 11 – pojmenování algebraické struktury

    Na základě platnosti jednotlivých vlastností rozhodněte, o jakou algebraickou strukturu se jedná.

  • Odpověď

    Struktura (M;,) je oborem integrity.
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze