Sbírka řešených úloh

Algebraická struktura III.

Úloha číslo: 1315

• Rozbor

  Máme-li určit, o jakou algebraickou strukturu se jedná, musíme vyšetřit, které z charakteristických vlastností jsou splněny.

  Budeme postupovat obdobně, jako v úloze Algebraické struktury a binární operace.

  Konkrétně se jedná o tyto vlastnosti.

  $$\begin{array}{rlrcl} \mathrm{(i)} & \forall\,a,b,c \in M:& (a+b)+c &=& a + (b+c)\\ \mathrm{(ii)} & \forall\,a,b\in M: & a+b &=& b+a\\ \mathrm{(iii)} & \exists 0\in M:~~\forall a\in M: & 0 + a &=& a\\ \mathrm{(iv)} & \forall a \in M~~\exists ~(-a) \in M: & a + (-a) &=& 0\\ \mathrm{(v)} & \forall\,a,b,c \in M:& (a\cdot b)\cdot c &=& a \cdot (b\cdot c)\\ \mathrm{(vi)} & \forall\,a,b\in M: & a\cdot b &=& b\cdot a\\ \mathrm{(vii)} & \exists 1 \in M:~~\forall a \in M: & 1\cdot a &=& a\\ \mathrm{(viii)} & \forall a \in M \setminus \{0\}:\,\exists a^{-1}\in M: & a \cdot a^{-1} &=& 1\\ \mathrm{(ix)} & \forall a,b,c \in M: & a\cdot(b+c) &=& a\cdot b + a\cdot c\\ \mathrm{~} & \forall a,b,c \in M: & (a+b)\cdot c &=& a\cdot c + b\cdot c\\ \mathrm{(x)} & \forall a,b \in M:~~a,b\neq 0: & a\cdot b &\neq& 0\\ \end{array}$$

  Je dobré během postupu zachovat posloupnost ověřování jednotlivých vlastností v pořadí, jak jsou uvedeny výše, protože například neexistence neutrálního prvku vylučuje možnost platnosti existence prvků inverzních, stejně jako neplatnost komutativního zákonu.

• Nápověda 1 – asociativita sčítání

  Platnost asociativního zákonu pro binární operaci $\oplus$ na $M$ ověřte přímým dosazením do znění zákonu.

• Řešení nápovědy 1 – asociativita sčítání

  Víme, že asociativní zákon pro binární operaci $+$ na obecné množině $M$ zní

  $$\forall a,b,c \in M:\qquad (a+ b) + c =a+ (b +c).$$

  Po dosazení naší konkrétní binární operace $\oplus$ získáváme na levé straně rovnosti

  $$(a\oplus b)\oplus c = (a+b)\oplus c = a+b+c,$$

  a na straně pravé pak

  $$a\oplus(b\oplus c) = a \oplus (b+ c) = a+b+c.$$

  Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme

  $$a+b+c = a+b+c.$$

  Z toho plyne, že pro binární operaci $\oplus$ na $M$ vlastnost (i) platí.

• Nápověda 2 – komutativita sčítání

  Platnost komutativního zákonu pro binární operaci $\oplus$ na $M$ ověřte přímým dosazením do znění zákonu.

• Řešení nápovědy 2 – komutativita sčítání

  Víme, že komutativní zákon pro binární operaci $+$ na obecné množině $M$ zní

  $$\forall a,b \in M:\qquad a + b =b + a.$$

  Po dosazení naší konkrétní operace $\oplus$ na množině $M$ získáváme na levé straně rovnosti

  $$a\oplus b = a+b,$$

  a na straně pravé pak

  $$b\oplus a = b+a.$$

  Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme

  $$a+b = b+a.$$

  Z toho plyne, že pro binární operaci $\oplus$ na $M$ vlastnost (ii) platí.

• Nápověda 3 – existence nulového prvku

  Existenci neutrálního prvku pro binární operaci $\oplus$ na $M$ prokažte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále využijte vlastností reálných čísel $M$.

• Řešení nápovědy 3 – existence nulového prvku

  Víme, že vlastnost existence neutrálního prvku vzhledem k binární operaci $+$ na obecné množině $M$ zní

  $$\exists n_0 \in M: \forall a \in M:\qquad a + n_0 = a.$$

  Po dosazení naší konkrétní operace $\oplus$ na množině $M$ získáváme na levé straně rovnosti

  $$a\oplus n_0 = a+n_0,$$

  a na straně pravé pak

  $$a.$$

  Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme

  $$a+n_0 = a \qquad \Rightarrow \qquad n_0=0,$$ $$0=0-0\sqrt{3} \in M.$$

  Z čehož plyne, že pro binární operaci $\oplus$ na $M$ je neutrální prvek jednoznačně určen, je to prvek $0-0\sqrt{3}$, a tedy vlastnost (iii) pro operaci $\oplus$ na $M$ platí.

• Nápověda 4 – existence opačných prvků

  Existenci inverzních prvků pro binární operaci $\oplus$ na $M$ prokažte přímým dosazením do znění této vlastnosti.

• Řešení nápovědy 4 – existence opačných prvků

  Víme, že vlastnost existence inverzních prvků vzhledem k binární operaci $+$ na obecné množině $M$ zní

  $$\forall a \in M~~\exists a^{-1}:\qquad a+ a^{-1}=n_0.$$

  Po dosazení naší konkrétní operace $\oplus$ na množině $M$ získáváme na levé straně rovnosti

  $$a\oplus a^{-1} = a+a^{-1},$$

  a na straně pravé pak

  $$n_0=0.$$

  Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme

  $$a+a^{-1} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad a^{-1} = -a,$$ Tj. k prvku $a = a_1 - b_1\sqrt 3$ je inverzním prvkem $$a^{-1} = -a = -a_1+b_1\sqrt 3.$$

  Z toho plyne, že pro binární operaci $\oplus$ na $M$ existuje vždy k danému prvku $a$ prvek $a^{-1}$ a je jednoznačně určen jako $a^{-1} = -a_1 + b_1\sqrt 3$.
  Vlastnost (iv) pro operaci $\oplus$ na $M$ platí.

• Nápověda 5 – asociativita násobení

  Platnost asociativního zákonu pro binární operaci $\odot$ na $M$ ověřte přímým dosazením do znění zákonu.

• Řešení nápovědy 5 – asociativita násobení

  Víme, že asociativní zákon pro binární operaci $\cdot$ na obecné množině $M$ zní

  $$\forall a,b,c \in M: \qquad (a \cdot b) \cdot c =a \cdot (b \cdot c).$$

  Po dosazení naší konkrétní binární operace $\odot$ získáváme na levé straně rovnosti

  $$(a\odot b)\odot c = (a\cdot b)\odot c = a\cdot b \cdot c,$$

  a na straně pravé pak

  $$a\odot (b\odot c) = a \odot (b \cdot c) = a \cdot b \cdot c.$$

  Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme

  $$a\cdot b \cdot c = a \cdot b \cdot c.$$

  Z toho plyne, že pro binární operaci $\odot$ na $M$ vlastnost (v) platí.

• Nápověda 6 – komutativita násobení

  Platnost komutativního zákonu pro binární operaci $\odot$ na $M$ ověřte přímým dosazením do znění zákonu.

• Řešení nápovědy 6 – komutativita násobení

  Víme, že komutativní zákon pro binární operaci $\cdot$ na obecné množině $M$ zní

  $$\forall a,b \in M:\qquad a \cdot b =b \cdot a.$$

  Po dosazení naší konkrétní operace $\odot$ na množině $M$ získáváme na levé straně rovnosti

  $$a\odot b = a \cdot b,$$

  a na straně pravé pak

  $$b\odot a = b \cdot a.$$

  Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme

  $$a \cdot b = b \cdot a.$$

  Z toho plyne, že pro binární operaci $\odot$ na $M$ vlastnost (vi) platí.

• Nápověda 7 – existence jednotkové prvku

  Existenci neutrálního prvku pro binární operaci $\odot$ na $M$ prokažte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále využijte definice množiny $M$.

• Řešení nápovědy 7 – existence jednotkové prvkučehož

  Víme, že vlastnost existence neutrálního prvku vzhledem k binární operaci $\cdot$ na obecné množině $M$ zní

  $$\exists n_0 \in M~~\forall a \in M:\qquad a \cdot n_1 = a.$$

  Po dosazení naší konkrétní operace $\odot$ na množině $M$ získáváme na levé straně rovnosti

  $$a \odot n_1 = a \cdot n_1,$$

  a na straně pravé pak

  $$a.$$

  Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme

  $$a \cdot n_1 = a \qquad \Rightarrow \qquad n_1=1,$$ $$1 = (1-0\cdot\sqrt{3}) \in M.$$

  Z toho plyne, že pro binární operaci $\odot$ na $M$ existuje jednoznačně určený neutrální prvek, protože číslo $1-0\cdot\sqrt{3}$ je prvkem $M$.
  Tedy vlastnost (vii) pro operaci $\odot$ na $M$ platí.

• Nápověda 8 – existence inverzních prvků

  Existenci inverzních prvků pro binární operaci $\odot$ na $M$ prokážte/vyvraťte přímým dosazením do znění této vlastnosti a dále pak využijte definice množiny $M$.

• Řešení nápovědy 8 – existence inverzních prvků

  Víme, že vlastnost existence inverzních prvků vzhledem k binární operaci $\cdot$ na obecné množině $M$ zní

  $$\forall a \in M~~ \exists a^{-1}:\qquad a \cdot a^{-1}=n_1.$$

  Po dosazení naší operace $\odot$ a neutrálního prvku $n_1=1-0\sqrt{3}$ získáváme

  $$\begin{eqnarray} a\odot a^{-1} &=& 1,\\ a \cdot a^{-1} &=& 1,\\ a^{-1} &=& \frac{1}{a}.\\ \end{eqnarray}$$

  Z toho plyne, že pro operaci $\odot$ na $M$ nexistují ke každému prvku inverzní prvky, protože například $\frac{1}{7}$ není prvkem M.
  Můžeme tedy prohlásit, že vlastnost (viii) pro operaci $\odot$ na $M$ neplatí.

• Nápověda 9 – distributivní zákon

  Platnost distributivního zákonu (svazu operací) pro binární operace $\odot$ a $\oplus$ na $M$ ověřte přímým dosazením do znění zákonu.

• Řešení nápovědy 9 – distributivní zákon

  Víme, že distributivní zákon pro binární operace $+$ a $\cdot$ na obecné množině $M$ zní

  $$\forall a,b,c \in M:\qquad a\cdot\left(b+c\right)=\left(a\cdot b\right) + \left(a\cdot c\right),$$

  a

  $$\forall a,b,c \in M:\qquad \left(a+b\right)\cdot c=\left(a\cdot c\right) + \left(b\cdot c\right).$$

  Po dosazení našich konkrétních binárních operací $\oplus$ a $\odot$ získáváme na levé straně rovnosti

  $$(a\oplus b)\odot c = (a+b)\odot c = (a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c,$$

  a na straně pravé pak

  $$(a\odot c) \oplus (b \odot c) = (a\cdot c)\oplus (b \cdot c) = a\cdot c + b\cdot c.$$

  Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme

  $$a\cdot c + b\cdot c = a\cdot c + b\cdot c.$$

  ---

  Zbývá ověřit druhou část distributivního zákonu.

  Po dosazení našich konkrétních binárních operací $\oplus$ a $\odot$ získáváme na levé straně rovnosti

  $$c\odot(a\oplus b)c = c\odot(a+b) = c\cdot(a+b) = c\cdot a + c\cdot b,$$

  a na straně pravé pak

  $$(c\odot a) \oplus (c \odot b) = (c\cdot a)\oplus (c \cdot b) = c\cdot a + c\cdot b.$$

  Prostým porovnáním obou stran rovnice zjišťujeme

  $$c\cdot a + c\cdot b = c\cdot a + c\cdot b.$$

  ---

  Z výše uvedeného plyne, že pro binární operace $\oplus$ a $\odot$ na $M$ vlastnost (ix) platí.

• Nápověda 10 – neexistence netriviálních dělitelů nuly

  Neexistenci netriviálních dělitelů nuly pro binární operaci $\odot$ na $M$ ověřte přímým dosazením do znění této vlastnosti a využijte vlastností definice množiny $M$.

• Řešení nápovědy 10 – neexistence netriviálních dělitelů nuly

  Víme, že neexistence netriviálních dělitelů pro binární operaci $\cdot$ na obecné množině $M$ říká

  $$\forall a,b \in M:~~ a,b \ne 0 \qquad a\cdot b \ne 0.$$

  Po dosazení naší konkrétní binární operace $\odot$ získáváme:

  $$a\odot b \ne 0$$

  $$a \cdot b \ne 0$$

  Což zjevně platí pro všechna $a,b\in M$ různá od $0-0\sqrt{3}$.

  Z toho plyne, že pro binární operaci $\odot$ na $M$ vlastnost (x) platí.

• Nápověda 11 – pojmenování algebraické struktury

  Na základě platnosti jednotlivých vlastností rozhodněte, o jakou algebraickou strukturu se jedná.

• Řešení nápovědy 11 – pojmenování algebraické struktury

  Vyšetřování ukázalo, že platí charakteristické vlastnosti (i) až (vii) a (ix) až (x). Z toho pro algebraickou strukturu $(M; \oplus,\odot)$ plyne následující.

  Struktura $(M;\oplus,\odot)$ je oborem integrity.

  Poznámka: struktura splňuje také vlastnosti okruhu, komutativního okruhu a komutativního okruhu s jednotkovým prvekm .

• Odpověď

  Struktura $(M;\oplus,\odot)$ je oborem integrity.