Lineární forma IV.
Úloha číslo: 1444
Rozhodněte, zda zobrazení \(g\) je lineární forma na prostoru \(\mathbb{R}^3\), jestliže platí:
\[\forall \vec{x} \in \mathbb{R}^3;\,\, \vec{x}=(x_1,x_2,x_3) : g(\vec{x})= 3x_1-x_2+2x_3\]Rozbor
Máme-li rozhodnout, zda zobrazení f je lineární formou, musíme vyjít přímo z definice:
Nechť \( V\) Vektorový prostor nad \(T\), lineární formou \(f\) na prostoru \(V\) rozumíme každé zobrazení \(f:V \to T\) splňující následující dvě podmínky:
- \(\forall x,y \in V: f(x+y) = f(x) + f(y)\)
- \(\forall x \in V;\,\, \forall a \in T: f(ax) = af(x)\)
Obě tyto vlastnosti lze shrnout jako: \(\forall x, y \in V; \forall a \in T: f(ax+by)=af(x) + bf(y)\) a udávají linearitu zobrazení.
Lineární forma je tedy speciálním případem homomorfismu (více o pojem Homomorfismus).
Splňuje-li zobrazení výše uvedenou definici, pak se jedná o lineární formu.
Nápověda 1. - Odkud Kam
Nejprve je nutné, v souladu s definicí, ověřit zda-li je \(g\) zobrazení z vektorového prostoru \(\mathbb{R}^3\) do tělesa \(\mathbb{R}\), nad kterým je prostor \(\mathbb{R}^3\) definován.
Postačí si tedy rozmyslet, jak přesně je \( g\) definováno, odkud kam je zobrazuje.
Nápověda 2. - Linearita zobrazení
V souladu s definicí nyní ověřme přímým dosazením, jestli zobrazení splňuje obě podmínky linearity zobrazení:
- \(\forall \vec{x},\vec{y} \in \mathbb{R}^3: g(\vec{x}+\vec{y}) = g(\vec{x}) + g(\vec{y})\)
- \(\forall \vec{x} \in \mathbb{R}^3;\,\, \forall a \in \mathbb{R}: g(a\vec{x}) = a g(\vec{x})\)
Řešení
Zobrazení \(g\) je definováno tak, že každému vektoru \(\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)\) prostoru \(\mathbb{R}^3\) přířadí součet \( 3x_1-x_2+2x_3\) (odčítání je definováno jako přičítání opačné hodnoty).
Složky vektou \(\vec{x}\) jsou ale reálná čísla a součet reálných čísel je také reálné číslo (uzavřenost na sčítání), proto můžeme říci, že pro \(g\) platí požadované:
\[g:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\]Překročme tedy k ověření linearity zobrazení \(g\)
Nejprve ověřme podmínku \(\forall \vec{x},\vec{y} \in \mathbb{R}^3: g(\vec{x}+\vec{y}) = g(\vec{x}) + g(\vec{y})\), kde:
\[\vec{x} = (x_1, x_2 , x_3)\] \[\vec{y}=(y_1, y_2, y_3)\]Přímým dosazením do levé strany rovnosti získáváme:
\[\mathrm{L}=g\big((x_1,x_2,x_3)+(y_1, y_2, y_3)\big)=g(x_1+y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3)=\]\((x_1+y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3)\) je také vektor prostoru \(\mathbb{R}^3\), který přes \(g\) zobrazíme jako:
\[=3(x_1+y_1)-(x_2 + y_2)+2(x_3 + y_3)=\] \[=3x_1+3y_1-x_2 - y_2+2x_3 + 2y_3\]Pravou stranu můžeme vyjádřit jako:
\[\mathrm{P}=g(\vec{x}) + g(\vec{y})= g(x_1, x_2 , x_3 )+g(y_1, y_2, y_3)=\]kdy stačí opět využít předpisu \(g\):
\[=(3x_1-x_1 +2x_3) +(3y_1 - y_2+ + 2y_3)=\] \[=3x_1+3y_1-x_2 - y_2+2x_3 + 2y_3\]Teď již na první pohled vidíme, že tato podmínka je splněna, neboť:
\[\mathrm{L}=3x_1+3y_1-x_2 - y_2+2x_3 + 2y_3=\mathrm{P}\]Přikročme nyní k ověření podmínky druhé \(\forall \vec{x} \in \mathbb{R}^3;\,\, \forall a \in \mathbb{R}: g(a\vec{x}) = ag(\vec{x})\).
Přímým dosazením do levé strany získáváme:
\[\mathrm{L}=g(a\vec{x})=f\big(a(x_1,x_2,x_3)\big)=g\big((a\cdot x_1,a\cdot x_2,a\cdot x_3)\big)=\]\((a x_1, a x_2 ,a x_3 )\) je také vektor prostoru \(\mathbb{R}^3\), který přes \(g\) zobrazíme jako:
\[= 3(ax_1) -(ax_2) +2(ax_3)=3ax_1 -ax_2 +2ax_3\]Pravou stranu můžeme vyjádřit jako:
\[\mathrm{P}=a g(\vec{x})= a g(x_1, x_2 , x_3 )=\]kdy stačí opět využít předpisu \(g\):
\[=a(3x_1-x_1 +2x_3)=a3x_1-ax_1 +2ax_3\]Teď již na první pohled vidíme, že druhá podmínka je také splněna, neboť:
\[\mathrm{L}=a3x_1-ax_1 +2ax_3=\mathrm{P}\]čímž je linearita zobrazení ověřena a můžeme prohlásit, že \(g\) je lineární formou na \(\mathbb{R}^3\) .
